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文档简介

向量的内积的概念 向量的长度 向量的正交性 向量空间的正交规范基的概念 向量组的正交规范化 正交阵 正交变换的概念 1 预备知识 向量的内积 下页 关闭 n维向量是空间三维向量的推广 本节通过定义向量的内积 从而引进n维向量的度量概念 向量的长度 夹角及正交 定义1设有n维向量 向量内积的概念 在空间解析几何中 两向量的数量积 在直角坐标系中表示为 推广到n维向量即有 上页 下页 返回 内积 内积的运算规律 上页 下页 返回 向量的长度 由向量内积的性质 v 自然引入向量的长度 定义1令 向量长度的性质 上页 下页 返回 单位向量 正交向量组 指一组两两正交的非零向量 向量的正交性 空间解析几何中两向量垂直推广到n维向量 可得向量的正交性概念 上页 下页 返回 夹角 定理1 证 上页 下页 返回 例1 解 已知3维向量空间R3中两个向量 上页 下页 返回 上页 下页 返回 就是R4的一个正交规范基 向量空间的规范正交基 定义3 上页 下页 返回 上页 下页 返回 向量组的正交规范化 上页 下页 返回 上页 下页 返回 就得V的一个正交规范基 然后只要把它们单位化 即取 上页 下页 返回 试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化 解 例2 上页 下页 返回 再把它们单位化 取 上页 下页 返回 解 例3 它的基础解系为 上页 下页 返回 把基础解系正交化 即为所求 取 上页 下页 返回 由于正交化过程十分繁锁 因而在求正交向量组时 只要抓住向量正交的本质 可以避免正交化过程 x1 x2 x3 0 的基础解系为例 使得前两个分量与 的前两个分量对应 乘积之和为零即可 容易验证 要求两两正交的基础解系 只要取 从而取 以例3中求齐次线性方程组 上页 下页 返回 Ex 1 解 其基础解系可取为 上页 下页 返回 定义4如果n阶方阵A满足ATA E 即A 1 AT 那么称A为正交阵 上式用A的列向量表示 即是 上页 下页 返回 是正交阵 例4 解P的每一个行向量都是单位向量 且两两正交 所以P是正交阵 验证矩阵 上页 下页 返回 这就说明 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列 行 向量都是单位向量且两两正交 从而正交阵A的n个列 行 向量构成向量空间Rn的一个规范正交基 定义5若P为正交阵 则线性变换y Px称为正交变换 这就说明 正交变换保持线段长度保持不变 从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征 设y Px是正交变换 则有 上页 下页 返回 i 正交矩阵A的行列式 A 1或 A 1 ii 正交矩阵A是可逆的 且A 1 AT iii 正交矩阵A的逆矩阵A 1也是正交矩阵
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