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第二节综合法与分析法 课标要求 1 理解综合法 分析法证明不等式的原理和思维特点 2 掌握综合法 分析法证明简单不等式的方法和步骤 3 能综合运用综合法 分析法证明不等式 核心扫描 1 综合法 分析法证明不等式是本节的热点 2 不等式常与函数 数列及三角相结合 考查综合论证不等式的思维能力 难点 自学导引1 综合法 一般地 从出发 利用 等 经过一系列的 而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫或 已知条件 定义 公理 定理 性质 推理 论证 顺推证法 由因导果法 试一试 归纳综合法证明不等式时常用的基本不等式 2 分析法 证明命题时 从出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为或 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种的思考和证明方法 要证的结论 充分条件 已知条件 一个明显成立的事实 执果索因 想一想 分析法有哪几种书写格式 提示第一种 要证 只需证 只需证 直到出现已知条件或已知定理或明显成立的事实 第二种 有些命题的证明上 下步之间都是充要条件 所以分析法证明每步之间都可用符号 直到出现已知条件 定理 明显的事实 第三种 各步之间用符号 答案d 答案d 答案 思维启迪 对比不等式左右两边的特点 联想基本不等式 利用同向不等式相加 找到不等式的证明方法 规律方法 1 综合法证明不等式 揭示出条件和结论之间的因果联系 为此要着力分析已知与求证之间 不等式的左右两端之间的差异与联系 合理进行转换 恰当选择已知不等式 这是证明的关键 题型二用分析法证明不等式 规律方法 1 当所证不等式与重要不等式 基本不等式没有什么直接联系 或很难发现条件与结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 2 像本例这样条件简单 结论较复杂的题目 往往采用分析法 另外 对于无理不等式的证明 常采用分析法通过平方将其有理化 但在乘方的过程中 要注意其变形的等价性 3 分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件 证明的关键是推理的每一步都必须可逆 题型三综合利用综合法与分析法证明不等式 例3 在某两个正数x y之间 若插入一个数a 使x a y成等差数列 若插入两个数b c 使x b c y成等比数列 求证 a 1 2 b 1 c 1 思维启迪 利用分析法与综合法证明 规律方法综合法和分析法是思路完全相反的两种方法 分析法易于探求解题思路 综合法易于表述 在证明较复杂的不等式时 有时把分析法和综合法结合起来使用 方法技巧不等式的证明与应用 方法点评1 本题考查了利用基本不等式证明问题 其实此问题也可看成利用基本不等式求最值 事实上基本不等式有两个常用变形 当和为定值时 积有最大值 当积为定
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