高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1.ppt

第三章函数的应用 3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 1 方程x2 2x 3 0的根为 函数y x2 2x 3与x轴的交点为 2 函数y 2x2 8x 1的对称轴为 顶点坐标为 3 函数图象作图方法 以解析式表示的函数作图象的方法有两种 即列表描点法和图象变换法 作函数图象的步骤 1 确定函数的定义域 2 化简函数的解析式 3 讨论函数的性质即单调性 奇偶性 周期性 最值 甚至变化趋势 4 描点连线 画出函数的图象 1 0 3 0 1 3 x 2 2 7 1 函数的零点对于函数y f x 把 叫做函数y f x 的零点 2 方程 函数 图象之间的关系方程f x 0 函数y f x 的图象 函数y f x 3 函数零点的判定如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是 的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 使f x 0的实数x 有实数根 与x轴 有交点 有零点 连续 不断 f a f b 0 f c 0 1 y x 2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是 a 2 2b 2 0 2c 2 2d 2 0 2解析 由y x 2 0 得x 2 故交点坐标为 2 0 零点是2 答案 b 答案 d 答案 1 4 函数f x x2 ax b的两个零点是2和3 求函数g x bx2 ax 1的零点 根据函数零点与相应方程的根之间的关系 知求函数的零点就是求相应方程的根 解题过程 1 f x x2 2x 3 x 3 x 1 方程 x2 2x 3 0的两根分别是 3或1 故函数的零点是 3 1 2 f x x4 1 x2 1 x 1 x 1 方程x4 1 0的实数根是 1或1 故函数的零点是 1 1 题后感悟 当函数对应的方程比较容易求解时 可通过解方程的方法求函数的零点 方程有几个解 函数就有几个零点 3 令f x 0 即x3 5x2 6x 0 x x2 5x 6 0 x x 6 x 1 0 x1 1或x2 0或x3 6 f x 有三个零点 1 0 6 判断区间左端点f a 的符号 判断区间右端点f b 的符号 判断f a f b 是否小于0 确定零点所在区间 答案 b 题后感悟 1 要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 若f x 图象在 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在 a b 上不一定没有零点 2 如果函数通过零点时函数值的符号发生改变 称这样的零点为变号零点 否则 若函数通过零点时不变号 称之为不变号零点 如函数y x2的零点就是不变号零点 解析 f x ex x 2f 0 e0 2 10 f 0 f 1 0 在区间 0 1 上至少存在一个零点 故选c 答案 c 策略点睛 2 若方程x2 m 1 x 2m 0有两个不相等的实根 当只有一根在 0 1 上时 f 0 f 1 0 即2m m 2 0 得 2 m 0 当f 0 0时 m 0 方程化为x2 x 0 根为x1 0 x2 1 满足题意 当f 1 0时 m 2 方程化为x2 3x 4 0 根为x1 1 x2 4 满足题意 综上所述 实数m的取值范围为 2 0 题后感悟 二次函数零点问题即是二次方程根的分布问题 解决有关根的分布问题应注意以下几点 1 首先画出符合题意的草图 转化为函数问题 2 结合草图考虑四个方面 与0的大小 对称轴与所给端点值的关系 端点的函数值与零的关系 开口方向 若方程2ax2 x 1 0有两个不相等的实根 其中一根在 0 1 内 则有f 0 f 1 1 综上所述 a的取值范围是 1 1 函数的零点的理解 1 函数的零点是一个实数 当自变量取该值时 其函数值等于零 2 根据函数零点定义可知 函数f x 的零点就是f x 0的根 因此判断一个函数是否有零点 有几个零点 就是判断方程f x 0是否有实根 有几个实根 注意 函数f x f x g x 的零点就是方程f x g x 的实数根 也就是函数y f x 的图象与y g x 的图象交点的横坐标 2 函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知 函数f x 的零点 就是方程f x 0的根 因此判断一个函数是否有零点 有几个零点 就是判断方程f x 0是否有实数根 有几个实数根 函数零点的求法 解方程f x 0 所得实数根就是f x 的零点 3 函数零点的判定判断一个函数是否有零点 首先看函数f x 在区间 a b 上的图象是否连续 并且是否存在f a f b 0 若存在 那么函数y f x 在区间 a b 内必有零点 注意 对于函数f x 若存在f a f b 0 则f x 在区间 a b 内有零点 若只有一个零点 则称此零点为变号零点 反过来 若f a 与f b 不变号 而是同号 即不满足f a f b 0 也不能说函数无零点