高中数学《1.7.2定积分在物理中的应用》课件 新人教A版选修22.ppt

1 7 2定积分在物理中的应用 课标要求 1 通过具体实例了解定积分在物理中的应用 2 会求变速直线运动的路程 位移和变力作功问题 核心扫描 利用定积分求变速直线运动的路程 位移和变力所作的功 重点 自学导引定积分在物理中的应用 想一想 利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子吗 提示路程是标量 位移是矢量 路程和位移是两个不同的概念 1 当v t 0时 求某一时间段内的路程和位移均用求解 2 当v t 0时 求某一时间段内的位移用求解 这一时段的路程是位移的相反数 即路程为 名师点睛1 在变速直线运动中求路程 位移路程是位移的绝对值之和 从时刻t a到时刻t b所经过的路程s和位移s 分别为 1 若v t 0 则s v t dt s v t dt 2 若v t 0 则s v t dt s v t dt 3 若在区间 a c 上 v t 0 在区间 c b 上v t 0 则s v t dt v t dt s v t dt 2 定积分在物理中的应用 1 做变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v v t v t 0 在时间区间 a b 上的定积分 即s v t dt 2 一物体在恒力f 单位 n 的作用下做直线运动 如果物体沿着与f相同的方向移动了s 单位 m 则力f所作的功为w fs 而若是变力所做的功w 等于其力函数f x 在位移区间 a b 上的定积分 即w f x dx 说明 做变速直线运动的物体所经过的路程s在数值上其实就是时间一速度坐标系中对应曲边梯形的面积 而变力做功实际上也是位移 力坐标系中对应曲边梯形的面积 在变力做功时 不限定f x 为非负数 这样求出来的定积分可能为负数 当定积分为负数时 说明变力做负功 即克服变力做了功 题型一求变速直线运动的路程 位移 例1 有一动点p沿x轴运动 在时间t时的速度为v t 8t 2t2 速度的正方向与x轴正方向一致 求 1 p从原点出发 当t 6时 求点p离开原点的路程和位移 2 p从原点出发 经过时间t后又返回原点时的t值 思路探索 解 1 由v t 8t 2t2 0得0 t 4 即当0 t 4时 p点向x轴正方向运动 当t 4时 p点向x轴负方向运动 故t 6时 点p离开原点的路程当t 6时 点p的位移为 2 依题意 8t 2t2 dt 0 1 用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时 将物理问题转化为数学问题是关键 2 路程是位移的绝对值之和 因此在求路程时 要先判断速度在区间内是否恒正 若符号不定 应求出使速度恒正或恒负的区间 然后分别计算 否则会出现计算失误 变式1 变速直线运动的物体的速度为v t 1 t2 初始位置为x0 1 求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置 解当0 t 1时 v t 0 当1 t 2时 v t 0 所以前2秒钟内所走的路程 题型二求变力所作的功 例2 在底面积为s的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞 面积为s 从点a处推到b处 计算在移动过程中 气体压力所做的功 力f对物体所做的功为w f s 求出变力f的表达式是本题中求功的关键 题后反思 解决变力作功注意以下两个方面 1 首先要将变力用其方向上的位移表示出来 这是关键的一步 2 根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题 因为位置决定于位移 所以它是v t 在 0 4 上