高中数学 （学习导航+题型探究+备选例题+方法感悟） 3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较精品课件 北师大版必修1.ppt

6指数函数 幂函数 对数函数增长的比较 学习导航学习目标 重点难点重点 指数函数 对数函数 幂函数 直线增长的含义 难点 三种增长函数模型的应用 三种函数的增长趋势当a 1时 指数函数y ax是 并且当a越 时 其函数值的增长就越快 当a 1时 对数函数y logax是 并且当a越 时 其函数值的增长就越快 增函数 大 增函数 小 当x 0 n 1时 幂函数y xn显然也是 并且当n越 时 其函数值的增长就越快 由于指数函数值增长非常快 人们常称这种现象为 指数爆炸 增函数 大 想一想由于指数函数值增长非常快 所以对于x r都是2x x2 对吗 提示 不对 y 2x与y x2的图像有交叉现象 只有当x 4时 才有2x x2成立 做一做1 当a 1时 下列结论 指数函数y ax 当a越大时 其函数值的增长越快 指数函数y ax 当a越小时 其函数值的增长越快 对数函数y logax 当a越大时 其函数值的增长越快 对数函数y logax 当a越小时 其函数值的增长越快 其中正确的结论是 a b c d 答案 b 2 当x越来越大时 下列函数中 增长速度最快的是 a y 2xb y x10c y lgxd y 10 x2答案 a 题型一指数函数 幂函数 对数函数增长的比较四个变量y1 y2 y3 y4随变量x变化的数据如下表 关于x呈指数型函数变化的变量是 解析 指数型函数呈 爆炸式 增长 从表格中可以看出 四个变量y1 y2 y3 y4均是从5开始变化 变量y4的值越来越小 但是减小的速度很慢 故变量y4关于x不呈指数型函数变化 而变量y1 y2 y3的值都是越来越大 但是增长速度不同 其中变量y2的增长速度最快 画出它们的图像 图略 可知变量y2关于x呈指数型函数变化 故填y2 答案 y2 点师点睛 三种递增函数中 当自变量充分大时 指数函数的函数值最大 但必须是自变量的值达到一定程度 因此判断一个增函数是否为指数型函数时 要比较自变量增加到一定程度时 自变量增加相同的量 函数值的增长量是否为最大 若是 则这个函数就可能是指数型函数 变式训练1 三个变量y1 y2 y3随着变量x的变化情况如下表 则关于x分别呈对数型函数 指数型函数 幂函数型函数变化的变量依次为 a y1 y2 y3b y2 y1 y3c y3 y2 y1d y1 y3 y2解析 选c 通过指数型函数 对数型函数 幂函数型函数的增长规律比较可知 对数型函数的增长速度越来越慢 变量y3随x的变化符合此规律 指数型函数的增长是爆炸式增长 y2随x的变化符合此规律 幂函数型函数的增长速度越来越快 y1随x的变化符合此规律 故选c 题型二比较大小问题比较下列各组数的大小 方法小结 解决这类题目的关键在于构造适当的函数 若指数相同而底数不同 则考虑幂函数 若指数不同底数相同 则考虑指数函数 若底数不同 指数也不同 需引入中间量 利用幂函数与指数函数的单调性 也可以借助幂函数与指数函数的图像 变式训练2 y1 2x y2 x2 y3 log2x 当2 x 4时 有 a y1 y2 y3b y2 y1 y3c y1 y3 y2d y2 y3 y1解析 选b 在同一平面直角坐标系中画出函数y 2x y x2 y log2x的图像 图略 在区间 2 4 上从上往下图像依次是y x2 y 2x y log2x 所以y2 y1 y3 题型三几种增长函数模型的应用 本题满分12分 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且奖金y 万元 随销售利润x 万元 的增加而增加 但奖励总数不超过5万元 同时奖金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型能符合公司要求 解 借助计算器或计算机作出函数y 5 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x的图像如图所示 观察图像发现 在区间 10 1000 上模型y 0 25x y 1 002x的图像都有一部分在y 5的上方 这说明只有按模型y log7x 1进行奖励才能符合公司要求 下面通过计算确认上述判断 对于模型y 0 25x 它在区间 10 1000 上是单调递增的 当x 20 1000 时 y 5 因此该模型不符合要求 5分 对于模型y 1 002x 利用计算器 可知1 002806 5 005 由于y 1 002x是增函数 故当x 806 1000 时 y 5 因此 也不符合题意 6分对于模型y log7x 1 它在区间 10 1000 上单调递增且当x 1000时 y log71000 1 4 55 5 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求 8分 再计算按模型y log7x 1奖励时 奖金是否超过利润x的25 即当x 10 1000 时 利用计算器或计算机作f x log7x 1 0 25x的图像 由图像可知f x 是减函数 因此f x f 10 0 3167 0 即log7x 1 0 25x 10分 所以当x 10 1000 时 y 0 25x 这说明 按模型y log7x 1奖励不超过利润的25 11分综上所述 模型y log7x 1确实符合公司要求 12分 思维总结 借助函数图像 研究它们的变化是这类题的常用方法 变式训练3 18世纪70年代 德国科学家提丢斯发现金星 地球 火星 木星 土星离太阳的平均距离 天文单位 如下表所示 他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星 后来果然发现了一颗谷神星 但不算大行星 它可能是一颗大行星爆炸后的产物 请你推测谷神星的位置 在土星外面是什么星 它与太阳的距离大约是多少 1 试比较函数y x100 y 5x y log5x的增长情况 解 三个函数中 y log5x增长的速度要比y x100和y 5x增长的速度慢得多 且y log5x增长得越来越慢 图像几乎渐渐与x轴平行 而y x100和y 5x 当x比较小时 y x100要比y 5x增长得快 但当x逐渐增大 增大到一定程度后 y 5x要比y x100增长得快 2 某城市现有人口总数为100万人 如果年自然增长率为1 2 试解答下面的问题 1 写出该城市人口总数y 万人 与年数x 年 的函数关系式 2 计算10年以后该城市人口总数 精确到0 1万人 3 计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人 精确到1年 1 01210 1 127 1 01215 1 196 1 01216 1 210 解 1 1年后该城市人口总数为 y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该城市人口总数为 y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 3年后该城市人口总数为 y 100 1 1 2 2 100 1 1 2 2 1 2 100 1 1 2 2 1 1 2 100 1 1 2 3 x年后该城市人口数为 y 100 1 1 2 x x n 2 10年后该城市的人口数为100 1 1 2 10 112 7 万人 3 设x年后该城市人口将达到120万人 即100 1 1 2 x 120 x log1 0121 20 16 年 因此 大约16年以后该城市人口将达到120万人 方法技巧选择增长型函数描述实际问题的标准是 指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律 对数函数增长模型