高中数学《2.1.2 曲线与方程》课件 新人教A版选修21.pptVIP

掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法 熟悉求曲线方程的五个步骤 掌握求轨迹方程的几种常用方法 2 1 2求曲线的方程 课标要求 核心扫描 利用坐标法根据曲线的性质求曲线的方程和已知曲线的方程讨论曲线的类型 重点 利用不同的方法求曲线的方程及对坐标法的理解 难点 1 2 1 2 解析几何研究的主要问题 1 根据已知条件 求出表示 2 通过曲线的方程 研究曲线的 试一试 尝试说明 建立平面直角坐标系是解析几何的基础 提示只有建立了坐标系 才有点的坐标 才能把曲线代数化 才能用代数法研究几何问题 自学导引 1 曲线的方程 性质 求曲线方程的一般步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p 3 用 表示条件p m 列出方程 4 化方程f x y 0为最简形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 想一想 求曲线方程的步骤是否可以省略 提示可以 如果化简前后方程的解集是相同的 可以省略步骤 结论 如有特殊情况 可以适当说明 也可以根据情况省略步骤 写集合 直接列出曲线方程 2 x y m p m f x y 0 坐标 求曲线方程的常见方法 1 直接法 建立适当的坐标系后 设动点为 x y 根据几何条件寻求x y之间的关系式 2 定义法 如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义 则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程 3 代入法 利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系 把所求动点转换为已知动点 具体地说 就是用所求动点的坐标 x y 来表示已知动点的坐标 并代入已知动点满足的曲线的方程 由此可求得动点坐标 x y 满足的关系 名师点睛 4 参数法 如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出 也没有明显的相关点 但能发现这个动点受某个变量 像角度 斜率 比值 截距 时间 速度等 的影响 此时 可先建立x y分别与这个变量的关系 然后将该变量 参数 消去 即可得到x y的关系式 题型一直接法求曲线方程 已知在直角三角形abc中 角c为直角 点a 1 0 点b 1 0 求满足条件的点c的轨迹方程 例1 解如图 设c x y x 1 x 1 y2 0 化简得x2 y2 1 a b c三点要构成三角形 a b c不共线 y 0 点c的轨迹方程为x2 y2 1 y 0 规律方法直接法是求轨迹方程的最基本的方法 根据所满足的几何条件 将几何条件 m p m 直接翻译成x y的形式f x y 0 然后进行等价变换 化简为f x y 0 要注意轨迹上的点不能含有杂点 也不能少点 也就是说曲线上的点一个也不能多 一个也不能少 设两定点a b距离为8 求到a b两点距离的平方和是50的动点的轨迹方程 解以a b两点连线为x轴 a为坐标原点建立直角坐标系 如图所示 则a 0 0 b 8 0 设曲线上的动点p x y 变式1 已知圆c x 1 2 y2 1 过原点o作圆的任意弦 求所作弦的中点的轨迹方程 思路探索 利用圆心与弦中点的连线垂直于弦 可知弦中点的轨迹是圆 题型二定义法求曲线方程 例2 规律方法如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程 利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征 已知定长为6的线段 其端点a b分别在x轴 y轴上移动 线段ab的中点为m 求m点的轨迹方程 解作出图象如图所示 根据直角三角形的性质可知 变式2 所以m的轨迹为以原点o为圆心 以3为半径的圆 故m点的轨迹方程为x2 y2 9 12分 已知动点m在曲线x2 y2 1上移动 m和定点b 3 0 连线的中点为p 求p点的轨迹方程 题型三代入法求曲线方程 例3 又 m在曲线x2 y2 1上 2x 3 2 4y2 110分 p点的轨迹方程为 2x 3 2 4y2 1 12分 题后反思 代入法求轨迹方程就是利用所求动点p x y 与相关动点q x0 y0 坐标间的关系式 且q x0 y0 又在某已知曲线上 则可用所求动点p的坐标 x y 表示相关动点q的坐标 x0 y0 即利用x y表示x0 y0 然后把x0 y0代入已知曲线方程即可求得所求动点p的轨迹方程 已知 abc的顶点a 3 0 b 0 3 另一个顶点c在曲线x2 y2 9上运动 求 abc重心m的轨迹方程 解设 abc顶点c x0 y0 则x02 y02 9 设 abc重心m x y 由三角形重心坐标公式得 变式3 代入 式得 3x 3 2 3y 3 2 9 化简得 x 1 2 y 1 2 1 此即为 abc重心m的轨迹方程 已知等腰三角形的顶点是a 4 2 底边一个顶点是b 3 5 求另一个顶点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 错解 设另一顶点c的坐标为 x y 依题意 得 ac ab 由两点间距离公式 得 误区警示未对所求结果进行检验致误 示例 造成以上错误的原因是没有认真思考题目的几何条件 由于a b c是构成三角形的三顶点 所以a b c三点不能共线 正解 设另一顶点c的坐标为 x y 依题意 得 ac ab 由两点间距离公式 得 化简 得 x 4 2 y 2 2 10 因为a b c为三角形的三个顶点 所以a b c三点不共线 即点b c不能重合 且b c不能为 a的一直径的两个端点 因为b c不重合 所以点c的坐标不能为 3 5 又因为点b c不能为 a的一直径的两个端点 求曲线的方