高中数学《1.2 充分条件与必要条件》课件 新人教A版选修21.ppt

理解充分条件 必要条件 充要条件的意义 会求 判定 某些简单命题的条件关系 1 2 1充分条件与必要条件 1 2充分条件与必要条件 1 2 2充要条件 课标要求 1 2 判断充分条件 必要条件 充要条件 重点 证明充要条件和求充要条件 难点 核心扫描 1 2 充分条件与必要条件 自学导引 1 充分 必要 充分 必要 试一试 在逻辑推理中p q 能否表达成以下5种说法 若p 则q 为真命题 p是q的充分条件 q是p的必要条件 q的充分条件是p p的必要条件是q 提示可以 这五种说法表示的逻辑关系是一样的 都能表示p q 只是说法不同而已 充要条件的概念一般地 如果既有p q 又有q p 就记作p q 此时 我们说p是q的充分必要条件 简称 显然 如果p是q的充要条件 那么q也是p的 即如果p q 那么p与q互为充要条件 想一想 p是q的充要条件与p的充要条件是q有什么区别 提示p是q的充要条件指的是p q是充分性 q p是必要性 即p是条件 q是结论 p的充要条件是q中 q p是充分性 p q是必要性 即q是条件 p是结论 2 充要条件 充要条件 充分条件 必要条件 充要条件的判断 1 定义法若p q 但qp 则p是q的充分而不必要条件 若q p 但pq 则p是q的必要而不充分条件 若p q且q p 则p是q的充要条件 若pq且qp 则p是q的既不充分也不必要条件 2 集合法首先建立与p q相应的集合 即p a x p x q b x q x 若a b 则p是q的充分条件 名师点睛 1 若b a 则p是q的必要条件 若a b 则p是q的充分而不必要条件 若b a 则p是q的必要而不充分条件 若a b 则p是q的充要条件 若ab ba 则p是q的既不充分也不必要条件 3 传递性法由于逻辑联结符号 具有传递性 因此可根据几个条件的关系 经过若干次的传递 判断所给的两个条件之间的相互关系 4 等价命题法当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系 特别是对于否定形式或 形式的命题 时 可利用原命题与其逆否命题的等价性来解决 即等价转化为判断其逆否命题 应用充分条件 必要条件 充要条件时需注意的问题 1 确定条件是什么 结论是什么 2 尝试从条件推结论 从结论推条件 3 确定条件是结论的什么条件 4 要证明命题的条件是充要的 就是既要证明原命题成立 又要证明它的逆命题成立 证明原命题即证明条件的充分性 证明逆命题即证明条件的必要性 2 题型一充分条件 必要条件 充要条件的判断 指出下列各题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件 中选出一种作答 1 在 abc中 p a b q bc ac 2 对于实数x y p x y 8 q x 2或y 6 3 在 abc中 p sina sinb q tana tanb 4 已知x y r p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 例1 思路探索 解答本题首先判断是否有p q和q p 再根据定义下结论 也可用等价命题判断 解 1 在 abc中 显然有 a b bc ac 所以p是q的充要条件 2 因为 x 2且y 6 x y 8 即q p 但pq 所以p是q的充分不必要条件 3 取a 120 b 30 pq 又取a 30 b 120 qp 所以p是q的既不充分也不必要条件 4 因为p a 1 2 q b x y x 1或y 2 a b 所以p是q的充分不必要条件 规律方法 1 判断p是q的什么条件 主要判断p q及q p两命题的正确性 若p q真 则p是q成立的充分条件 若q p真 则p是q成立的必要条件 2 关于充要条件的判断问题 当不易判断p q真假时 也可从集合角度入手判断真假 所以结合集合关系理解 对解决与逻辑有关的问题是大有益处的 指出下列各组命题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 中选一种作答 1 p abc中 b2 a2 c2 q abc为钝角三角形 2 p abc有两个角相等 q abc是正三角形 3 若a b r p a2 b2 0 q a b 0 解 1 abc中 变式1 b为钝角 即 abc为钝角三角形 反之若 abc为钝角三角形 b可能为锐角 这时b2 a2 c2 p q qp 故p是q的充分不必要条件 2 有两个角相等不一定是等边三角形 反之一定成立 pq q p 故p是q的必要不充分条件 3 若a2 b2 0 则a b 0 故p q 若a b 0 则a2 b2 0 即q p 所以p是q的充要条件 求证 关于x的方程x2 mx 1 0有两个负实根的充要条件是m 2 思路探索 本题的条件是p m 2 结论是q 方程x2 mx 1 0有两个负实根 证明该问题 充分性的证明是p q 必要性的证明是q p 证明 1 充分性 因为m 2 所以 m2 4 0 所以方程x2 mx 1 0有实根 设两根为x1 x2 由根与系数的关系知 x1 x2 1 0 所以x1 x2同号 又x1 x2 m 2 0 所以x1 x2同为负数 题型二充要条件的证明 例2 即x2 mx 1 0有两个负实根的充分条件是m 2 2 必要性 因为x2 mx 1 0有两个负实根 设其为x1 x2 且x1x2 1 所以m 2 即x2 mx 1 0有两个负实根的必要条件是m 2 综上可知 m 2是x2 mx 1 0有两个负实根的充要条件 规律方法充要条件的证明 关键是确定哪是条件 哪是结论 并明确充分性是由条件推结论 必要性是由结论推条件 也可以理解为证明充分性就是证原命题成立 证必要性就是证原命题的逆命题成立 证明不等式ax2 2x 1 0恒成立的充要条件是a 1 证明当a 0时 2x 1 0不恒成立 当a 0时 ax2 2x 1 0恒成立 变式2 所以不等式ax2 2x 1 0恒成立的充要条件是a 1 12分 已知p 2x2 3x 2 0 q x2 2 a 1 x a a 2 0 若p是q的充分不必要条件 求实数a的取值范围 审题指导 题型三充分条件和必要条件的应用 例3 n x x2 2 a 1 x a a 2 0 x x a x a 2 0 x x a 2或x a 4分由已知p q 且qp 得m n 6分 题后反思 在涉及到求参数的取值范围又与充分 必要条件有关的问题时 常常借助集合的观点来考虑 注意推出的方向及推出与子集的关系 是否存在实数p 使4x p0的充分条件 如果存在 求出p的取值范围 否则 说明理由 解由x2 x 2 0 解得x 2或x2或x 1 变式3 当p 4时 4x p0的充分条件 一元二次方程ax2 2x 1 0 a 0 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 a a0c a 1d a 1 错解 一元二次方程ax2 2x 1 0 a 0 有一正根和一负根 误区警示各种条件混淆不清致错 示例 先按充要条件求解 求出a的范围后 缩小范围即可确定充分不必要条件 正解 错解求的其实是一元二次方程ax2