高考数学 专题辅导与训练 5.1《直线、平面、棱柱、棱锥、球》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1命题真假的判断 例1 2011 四川高考 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 a l1 l2 l2 l3 l1 l3 b l1 l2 l2 l3 l1 l3 c l1 l2 l3 l1 l2 l3共面 d l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 解题指导 利用空间中线线平行 垂直 共面的判定方法 规范解答 选b 对于a 空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行 对于b 由l1 l2 l2 l3 根据异面直线所成角知l1与l3所成角为90 对于c 空间中三条互相平行的直线不一定共面 如三棱柱的三条侧棱不共面 对于d 空间中共点的三条直线不一定共面 如三棱锥中共顶点的三条棱不共面 判断立体几何中命题真假的解题策略 1 明确立体几何中常见几何体 如棱柱 棱锥 正方体 长方体等 的概念 2 熟练掌握线线 线面 面面的平行 垂直的判定定理和性质定理 3 注意借助常见几何体 判断命题的真假 4 正确的命题给出证明 错误的命题举出反例 1 设 是三个不同的平面 a b是两条不同的直线 给出下列四个命题 若a b 则a b 若a b a b 则 若a b a b 则 若a b在平面 内的射影互相垂直 则a b 其中正确的命题是 a b c d 解析 选b 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab 平面a1b1c1d1 bc 平面a1b1c1d1 但ab bc b 故 错 ab 平面a1b1c1d1 cd 平面a1b1ba ab cd 但平面a1b1c1d1 平面a1b1ba a1b1 故 错 c1d在平面abc 内的射影是 c1b在平面abcd内的射影是cb cb cd 但c1d与c1b不垂直 故 错 对于a b 表示平面 与 所成的角等于直线a b所成角或其补角 而a b 故 故 正确 2 给定下列四个命题 分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 a 和 b 和 c 和 d 和 解析 选d 分别与两条异面直线都相交的两条直线可以相交 不一定异面 正确 由面面垂直的判定定理可知 垂直于同一直线的两条直线可以异面 相交 平行 正确 若该直线与另一平面垂直 则一定垂直于交线 热点考向2线线 线面 面面的位置关系 例2 12分 2011 太原模拟 如图所示 正方形adef与梯形abcd所在平面互相垂直 ad cd ab cd cd 2ab 2ad 2 1 求证 bc be 2 在ec上找一点m 使得bm 平面adef 请确定m点的位置 并给出证明 解题指导 1 面面垂直 线线垂直 线面垂直 线线垂直 2 线面平行 线线平行 面面平行 线面平行 规范解答 1 连结bd 平面adef 平面abcd de ad de 平面abcd de bc 1分 ab ad 1 dab 90 bd 2分 取cd中点n连结bn 则四边形abnd为正方形 bc 又cd 2 则 bdc为等腰直角三角形 bd bc 4分 bc 平面edb 则bc be 6分 2 取ec中点m 则bm 平面adef 8分证明如下 连结mn 由 1 知bn ad bn 平面adef 又 m n分别为ce cd的中点 mn de 则mn 平面adef 10分则平面bmn 平面adef 所以bm 平面adef 12分 空间直线与平面的平行与垂直的内在联系 1 在解决线面 面面平行的判定时 一般遵循从 低维 到 高维 的转化 即从 线线平行 到 线面平行 再到 面面平行 而在应用性质定理时 其顺序恰好相反 但也要注意 转化的方向总是由题目的具体条件而定 绝不能过于 模式化 2 注意利用由数量关系到平行关系的转化 如利用中位线转化为线线平行 如图所示 ad 平面abc ce 平面abc ac ad ab 1 bc 凸多面体abced的体积为f为bc的中点 1 求证 af 平面bde 2 求证 平面bde 平面bce 证明 1 ad 平面abc ce 平面abc 四边形aced为梯形 且平面abc 平面aced bc2 ac2 ab2 ab ac 平面abc 平面aced ac ab 平面aced 即ab为四棱锥b aced的高 vb aced saced ab 1 ce 1 1 ce 2 取be的中点g 连结gf gd gf为三角形bce的中位线 gf ec da gf ce da 四边形gfad为平行四边形 af gd 又gd 平面bde af 平面bde 2 ab ac f为bc的中点 af bc 又gf af af 平面bce af gd gd 平面bce 又gd 平面bde 平面bde 平面bce 热点考向3与翻折有关的几何问题 例3 12分 2011 陕西高考 如图 在 abc中 abc 45 bac 90 ad是bc上的高 沿ad把 abd折起 使 bdc 90 1 证明 平面 平面 2 设bd 1 求三棱锥d 的表面积 解题指导 1 确定图形在折起前后的不变量 如角的大小不变 线段长度不变 线线关系不变 再由面面垂直的判定定理进行推理证明 2 充分利用垂直所得的直角三角形 根据直角三角形的面积公式计算 规范解答 1 折起前 是 边上的高 当 abd折起后 ad ad 2分又db 平面 4分又 ad 平面abd 平面abd 平面bdc 6分 2 由 1 知 da db db dc dc da db da dc 1 ab bc ca 8分s dab s dbc s dca s abc 10分 三棱锥d 的表面积是s 12分 互动探究 若例题的条件不变 在第 2 问中 设e为bc的中点 求ae与bd夹角的余弦值 解析 如图取dc的中点f 连结ef af 则ef bd aef即为ae与bd的夹角 ef bd 连结de 则de 在rt ade中 ad bd 1 ae2 ad2 de2 1 在rt adf中 af2 ad2 df2 1 所以ae与bd夹角的余弦值为 立体几何中折叠问题的解题策略 1 解决折叠问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量 经过折叠后的空间图形 随着位置关系的改变 有些元素间的位置 数量关系发生变化 因此 辨清哪些是变量 哪些是不变量是解决折叠 展开问题的关键 一般应在平面图形中求得空间图形所需的数据 然后在空间图形中应用 其中 线段的长度肯定是不变的 而平行与垂直关系则会发生不同程度的变化 因此抓住不变量往往是解决问题的突破口 2 在将平面图形翻折成空间图形的问题中 一般来说 位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变 位于不同平面内的几何元素 相对位置和数量关系要发生变化 如图 在一个由矩形abcd与正三角形apd组合而成的平面图形中 ad 2 dc 现将正三角形apd沿ad折成四棱锥p abcd 使p在平面abcd内的射影恰好在边bc上 1 求证 平面pab 平面pbc 2 求直线ac与平面pab所成角的正弦值 解析 1 折起后 因p在平面abcd内的射影在边bc上 所以 平面pbc 平面abcd且交线为bc 又四边形abcd为矩形 所以 ab bc 由两平面垂直的性质定理 ab 平面pbc 平面pab 平面pbc 2 折起后 由 1 知在 pab中 abp 90 ab ap 2 pb 同理得pc pc2 pb2 2 2 4 bc2 pc pb 而ab 平面pbc pc ab 又ab pb b pc 平面pab 知 pac是所求角 矩形abcd中 ac 在rt apc中 sin pac 即直线ac与平面pab所成角的正弦值为 热点考向4多面体与球 例4 如图 在三棱锥s abc中 sa 底面abc 侧面sba和侧面sbc成直二面角 1 求证 sbc为直角三角形 2 若 bsc 45 sb a 求三棱锥s abc的外接球的体积 解题指导 1 可考虑证线线垂直 2 在球的直径上找球心 求半径 求体积 规范解答 1 过a作ad sb于点d 平面sba 平面sbc ad 平面sbc bc 平面sbc bc ad sa 底面abc bc 底面abc sa bc bc 平面sab bc sb sbc为直角三角形 2 取sc的中点o 连结ao bo 在rt sac与rt sbc中 oa so oc ob 即o到三棱锥s abc的四个顶点的距离相等 o为外接球的球心 sb a bsc 45 sbc 90 sc a 球半径r a v 三棱锥s abc的外接球的体积为 a3 球与多面体的组合问题的解题策略 1 关于球与多面体的组合问题 关键是寻找球与其他几何体的联系 确定球心位置 利用多面体中的线线关系 线面关系 面面关系及球中r r d的关系求出半径 从而使问题得以解决 2 球与正方体的组合体 当球是正方体的内切球时 球的直径等于正方体的棱长 当球是正方体 或长方体 的外接球时 球的直径等于正方体 或长方体 的体对角线长 许多球的问题可以通过球心 球面上的点以及切点等的连线构造多面体 把球的问题转化为多面体问题来加以解决 1 长方体的三条棱长分别为1 则此长方体外接球的体积与面积之比为 a b 1 c 2 d 解析 选d 长方体的外接球的半径r 2 已知矩形abcd的顶点都在半径为4的球o的球面上 且ab 6 bc 2则棱锥o abcd的体积为 解析 设abcd所在的截面圆的圆心为m 则am om vo abcd 答案 分类讨论思想 立体几何中的分类讨论问题立体几何中的分类讨论问题一般有以下几种情况 1 直线与直线的位置关系 要考虑到共面与异面两类情形 共面又分为平行和相交两种情形 2 直线与平面 平面与平面的位置关系 既要考虑到各类情形 又要注意特殊情形 3 几何体的不同分类 如柱体 锥体等多面体 4 在求几何体的体积时 注意底面与高可以有几种不同的分类情形 5 按照题中的点 线 面的所有可能情形进行分类讨论 忽略以上各种分类讨论情形 都会导致错误而失分 典例 有四根长都为2的直铁条 若再选两根长都为a的直铁条 使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则a的取值范围是 a 0 b 1 c d 0 解题指导 1 三棱锥的六条棱中已知四条长度 如何标注这四条棱是关键 标注完已知棱长后 尝试让另两条长为a的棱在已知条件下变化 观察变化规律 2 由于需要求出a的长度的范围 因此围绕三角形的有关性质 如边角不等关系 计算公式 如勾股定理 三角