高考数学 专题辅导与训练 4.3《定点、定值与最值问题》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1圆锥曲线中的直线过定点问题 例1 2011 南宁模拟 在平面直角坐标系xoy中 设点p x y m x 4 以线段pm为直径的圆经过原点o 1 求动点p的轨迹w的方程 2 过点e 0 4 的直线l与轨迹w交于两点a b 点a关于y轴的对称点为a 试判断直线a b是否恒过一定点 并证明你的结论 解题指导 1 利用op om建立x y间的关系即可 2 根据条件求出直线a b的方程 然后根据所求直线方程进行判断 规范解答 1 由题意可得op om 所以 0 即 x y x 4 0整理得x2 4y 0 即动点p的轨迹w的方程为x2 4y 2 直线a b恒过定点 0 4 证明如下 当直线l的斜率不存在时不成立 故设直线l的方程为y kx 4 a x1 y1 b x2 y2 则a x1 y1 由消去y整理得x2 4kx 16 0 则 16k2 64 0 即 k 2 x1 x2 4k x1x2 16 直线a b y y2 x x2 所以直线a b恒过定点 0 4 互动探究 本题条件不变 其中 2 改为 不过原点的直线l与轨迹w交于两点a b 若求证直线l过定点 并求出该点的坐标 则怎样求解 解析 1 同例题 2 由题意知 当直线l的斜率不存在时不合题意 设直线l的方程为y kx m 由消去y整理得x2 4kx 4m 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 4k x1x2 4m x1x2 y1y2 x1x2 kx1 m kx2 m k2 1 x1x2 mk x1 x2 m2 k2 1 4m mk 4k m2 m2 4m 0解得m 4或m 0 舍去 故直线l的方程为y kx 4 过定点 0 4 解决直线过定点问题的方法当要解决动直线过定点问题时 可以根据确定直线的条件建立直线系方程 通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标 其解题的关键是用合适的参数表示相关变量 解答圆锥曲线的综合问题时 不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念 定理 公式 还要善于综合代数的知识和方法 如讨论一元二次方程根的情况 求代数式的最值或范围等 已知椭圆e的方程为 1 a b 0 的右焦点坐标为 1 0 点p 1 在椭圆e上 1 求椭圆e的方程 2 过椭圆e的左顶点a作两条互相垂直的直线分别与椭圆e交于不同于点a的两点m n 问 直线mn是否一定经过x轴上一定点 若是 求出定点坐标 若不是 说明理由 解析 1 右焦点为 1 0 c 1 左焦点为 1 0 点p 1 在椭圆e上 2a pf1 pf2 a 2 b 所以椭圆方程为 2 若直线mn垂直于x轴 则由直线am的方程为y k x 2 和椭圆的方程联立易解得点m的横坐标为 此时直线mn经过x轴上的一点 0 当直线mn不垂直于x轴时 设直线mn的方程为 y kx n 由 3 4k2 x2 8knx 4n2 12 0 设m x1 y1 n x2 y2 则有x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 而 x1 2 y1 x2 2 y2 由题意可知故 x1x2 2 x1 x2 4 y1y2整理得7n2 16kn 4k2 0 解得 n 2k或n 当n 2k时 直线mn的方程为y k x 2 过点a与题意不符 舍去 当n k时 直线mn的方程为y k x 显然过定点 0 综合 知直线mn一定经过x轴上一定点 0 热点考向2圆锥曲线中的定值问题 例2 12分 2011 四川高考 椭圆有两顶点a 1 0 b 1 0 过其焦点f 0 1 的直线l与椭圆交于c d两点 并与x轴交于点p 直线ac与直线bd交于点q 1 当 cd 时 求直线l的方程 2 当点p异于a b两点时 求证 为定值 解题指导 1 求出椭圆的方程 利用弦长公式求出斜率即可 2 点p的坐标随直线l斜率的变化而变化 用直线l的斜率表示点p 要证为定值 只需用k表示q点的横坐标 通过联立直线ac bd的方程求点q的横坐标 规范解答 1 因椭圆的焦点在y轴上 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 由已知得b 1 c 1 a 则椭圆方程为 x2 1 2分直线l垂直于x轴时与题意不符 3分 设l的方程为y kx 1 c x1 y1 d x2 y2 由消去y得 2 k2 x2 2kx 1 0 则x1 x2 x1x2 由解得k l的方程为y x 1或y x 1 6分 2 直线l垂直于x轴时与题意不符 设l的方程为y kx 1 k 0且k 1 点p的坐标为 0 7分设c x1 y1 d x2 y2 由 1 知x1 x2 x1x2 直线ac的方程为y 直线bd的方程为y x 1 8分将两直线方程联立 消去y得 1 x1 1 1 x2 1 与异号 与y1y2异号 与同号 解得x k q点的坐标为 k yq 11分 0 k yq 1 故为定值 12分 圆锥曲线综合问题中的定值问题及解法 1 在几何问题中 有些几何量与参数无关 这就形成了定值问题 解决这类问题常通过参数和特殊值来确定 定值 是多少 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式 然后证明该式是定值 2 解决定值问题时 可先求出表达式 再化简 根据已知条件列出方程 或不等式 然后进行求解 解答圆锥曲线的综合问题时 需要较强的代数运算能力和图形认识能力 要能准确地进行数与形的语言转换和运算 推理转换 并在运算过程中注意思维的严密性 以保证结果的完整性 已知焦点在x轴上 离心率为的椭圆的一个顶点是抛物线x2 4y的焦点 过椭圆右焦点f的直线l交椭圆于a b两点 交y轴于点m 且 1 求椭圆的方程 2 证明 1 2为定值 解析 1 依题意 设椭圆方程为 1 a b 0 因为抛物线x2 4y的焦点为 0 1 所以b 1 由e 得a 故椭圆方程为 y2 1 2 依题意设a b m的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 0 y0 由 1 得椭圆的右焦点f 2 0 所以 x1 y1 y0 2 x1 y1 x2 y2 y0 2 x2 y2 由得由得 因为a b在椭圆上 所以所以 1 2是方程 2 10 5 5y02 0的两根 故 1 2 10是定值 热点考向3圆锥曲线中的最值问题 例3 12分 2011 南充模拟 平面直角坐标系中 已知直线l x 4 定点f 1 0 动点p x y 到直线l的距离是到定点f的距离的2倍 1 求动点p的轨迹c的方程 2 若m为轨迹c上的点 以m为圆心 mf长为半径作圆m 若过点e 1 0 可作圆m的两条切线ea eb a b为切点 求四边形eamb面积的最大值 解题指导 1 利用直接法求曲线方程 2 利用直线与圆的位置关系 将四边形eamb的面积用半径r mf 表示 最后转化为函数的最值问题或利用不等式来解决 规范解答 1 设点p x y 到l的距离为d 依题意得d 2 pf 即 x 4 2 2分整理得 轨迹c的方程为 1 4分 2 方法一 设m x0 y0 圆m x x0 2 y y0 2 r2 其中r mf 由两切线存在可知 点e在圆m外 所以即x0 0 又m x0 y0 为轨迹c上的点 所以0 x0 2 而 mf x0 4 所以 1 mf 2 即1 r 2 6分 由 1 知 e 1 0 为椭圆的左焦点 根据椭圆定义知 me mf 4 所以 me 4 r 而 mb mf r 所以 在直角三角形meb中 eb s meb eb mb 由圆的性质知 四边形eamb面积s 2s meb 其中1 r 2 9分 即s 2 1 r0 y 2r3 4r2单调递增 当 r 2时 y 0 y 2r3 4r2单调递减 所以 当r 时 y取极大值 也是最大值 此时smax 12分 方法二 同法一 四边形eamb面积s 2s meb 2r其中1 r 2 9分所以s 当且仅当r 4 2r时 等号成立 由r 4 2r 解得r 1 2 所以smax 12分 最值问题的常用解法 1 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征 则考虑利用图形性质来解决 这就是几何法 2 代数法 若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系 则可先建立目标函数 再求这个函数的最值 这就是代数法 求函数最值常用的方法有配方法 判别式法 基本不等式法 利用函数的单调性等 解答圆锥曲线的综合问题时应根据曲线的几何特征 熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系 如方程 函数等 再结合代数 三角等知识解答 要重视函数与方程思想 等价转化思想的应用 已知直线x 2y 2 0经过椭圆c 1 a b 0 的左顶点a和上顶点d 椭圆c的右顶点为b 点s是椭圆c上位于x轴上方的动点 直线as bs与直线l x 分别交于m n两点 如图所示 1 求椭圆c的方程 2 求线段mn的长度的最小值 3 当线段mn的长度取最小值时 在椭圆c上是否存在这样的点t 使得 tsb的面积为 若存在 确定点t的个数 若不存在 请说明理由 解析 1 在x 2y 2 0中 令x 0 得y 1即d 0 1 令y 0 得x 2即a 2 0 故a 2 b 1 椭圆方程为 y2 1 2 设直线as的方程为y k x 2 k 0 从而可知m点的坐标为所以可得bs的方程为y x 2 从而可知n点的坐标为 mn 当且仅当k 时等号成立 故当k 时 线段mn的长度取最小值 3 由 2 知 当 mn 取最小值时 k 此时直线bs的方程为x y 2 0 可得s bs 要使椭圆c上存在点t 使得 tsb的面积等于只需t到直线bs的距离等于所以点t在平行于直线bs且与直线bs的距离等于的直线l 上 直线bs x y 2 0 设直线l x y m 0 则得m 或m 则直线l x y 0或x y 0 0有两个解所以这样的点t有两个 转化与化归思想 解答解析几何问题转化与化归解决问题的途径 待解决的问题转化为较易解决的问题 解决较易解决的问题 得出结论 将结论还原到待解决的问题中 常见的转化策略 1 正与反的转化 2 一般与特殊的转化 3 数与形的转化 4 常量与变量的转化 5 空间与平面的转化 6 等与不等的转化 7 实际问题与数学模型的转化 典例 已知椭圆c的左 右焦点坐标分别是 0 0 离心率是直线y t与椭圆c交于不同的两点m n 以线段mn为直径作圆p 圆心为p 1 求椭圆c的方程 2 若圆p与x轴相切 求圆心p的坐标 3 设q x y 是圆p上的动点 当t变化时 求y的最