高考数学 专题辅导与训练 5.2《空间角与距离》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1异面直线所成的角及直线与平面所成的角 例1 2011 绵阳模拟 如图 四棱锥s abcd中 ab cd bc cd 侧面sab为等边三角形 ab bc 2 cd sd 1 1 证明 sd 平面sab 2 求ab与平面sbc所成角的正弦值 解题指导 1 证明的突破口是利用等边三角形sab这个条件 找出ab的中点e 连结se de 就作出了解决这个问题的关键辅助线 2 本题直接找线面角不易找出 要找到与ab平行的其他线进行转移求解 规范解答 1 取ab中点e 连结de 则四边形bcde为矩形 de cb 2 连结se 则se ab se 又sd 1 故ed2 se2 sd2 所以 dse为直角 由ab de ab se de se e 得ab 平面sde 所以ab sd sd与两条相交直线ab se都垂直 所以sd 平面sab 2 由ab 平面sde知 平面abcd 平面sde 作sf de 垂足为f 则sf 平面abcd 作fg bc 垂足为g 则fg dc 1 连结sg 则sg bc 又fg bc sg fg g 故bc 平面sfg 平面sbc 平面sfg 作fh sg h为垂足 则fh 平面sbc 即f到平面sbc的距离为由于ed bc 所以ed 平面sbc e到平面sbc的距离d也为设ab与平面sbc所成的角为 则sin 求空间角的一般方法计算空间角 其一般方法是根据定义通过作辅助线或辅助面构造出要求的角 并作出含有角 的三角形 从而通过解三角形得角 的值 其步骤是 一作 二证 三计算 1 异面直线所成的角一般可以通过平移转化为两条相交直线的夹角 进而利用解三角形的方法进行求解 在实际图形中往往根据其特点选择一些特殊位置 例如三角形的中位线等 作平行线 有时候也可以通过构造平行四边形而得到平行线 这样得到的角比较容易计算 2 求直线和平面所成的角的关键是 作出直线在平面内的射影 一般射影也是一些特殊的位置 把直线和平面所成的角转化为平面内两条直线所成的角进行求解 异面直线所成的角的范围是 0 故作出的角在图形中所反映的未必是所求的角 在解三角形时 若其余弦值大于或等于0 则就是此角 若小于0 则是其补角 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 2 ab 1 bm pd于点m 1 求证 am pd 2 求直线cd与平面acm所成的角的余弦值 解析 1 pa 平面abcd ab 平面abcd pa ab ab ad ad pa a ad 平面pad pa 平面pad ab 平面pad pd 平面pad ab pd bm pd ab bm b ab 平面abm bm 平面abm pd 平面abm am 平面abm am pd 2 由 1 知 am pd 又pa ad 则m是pd的中点 在rt pad中 得am 在rt cdm中 得 s acm am mc 设点d到平面acm的距离为h 由vd acm vm acd 得s acm h s acd pa 解得h 设直线cd与平面acm所成的角为 则sin 0 cos 直线cd与平面acm所成的角的余弦值为 热点考向2二面角 例2 2011 攀枝花模拟 如图 四棱锥s abcd的底面是矩形 sa 底面abcd p为bc边的中点 sb与平面abcd所成的角为45 且ad 2 sa 1 1 求证 pd 平面sap 2 求二面角a sd p的正切值 解题指导 1 利用线线垂直证明线面垂直 2 先作出二面角的平面角 再进行计算 规范解答 1 因为sa 底面abcd 所以 sba是sb与平面abcd所成的角 由已知得 sba 45 所以ab sa 1 易求得ap pd 又因为ad 2 所以ad2 ap2 pd2 所以ap pd 因为sa 底面abcd pd 平面abcd 所以sa pd 由于sa ap a 所以pd 平面sap 2 设q为ad的中点 连结pq 由于sa 底面abcd 且sa 平面sad 则平面sad 平面pad 因为pq ad 所以pq 平面sad 过q作qr sd 垂足为r 连结pr 由三垂线定理可知pr sd 所以 prq是二面角a sd p的平面角 容易证明 drq das 则因为dq 1 sa 1 sd 所以qr 在rt prq中 因为pq ab 1 所以tan prq 所以二面角a sd p的正切值为 二面角的求法 二面角的大小是用它的平面角来度量的 找 或作 出二面角的平面角是关键 主要有以下几种方法 1 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面中作棱的垂线 得出平面角 用定义法时 要认真观察图形的特性 2 三垂线法 已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线 用三垂线定理或其逆定理作出平面角 注意 高考题中求二面角的大小时 基本上都是用三垂线定理或其逆定理作出平面角的 3 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角 由此可知 二面角的平面角所在的平面与棱垂直 4 射影法 利用面积射影公式s射 s投 cos 其中 为二面角的平面角的大小 此方法不必在图中画出平面角来 作出二面角的平面角后 必须证明该角就是二面角的平面角 已知矩形abcd与正三角形aed所在的平面互相垂直 m n分别为棱be ad的中点 ab 1 ad 2 1 证明 直线am 平面nec 2 求二面角n ce d的大小 解析 1 取ec的中点f 连结fm fn 则fm bc fm bc an bc an bc 所以fm an且fm an 所以四边形amfn为平行四边形 所以am nf 因为am 平面nec nf 平面nec 所以直线am 平面nec 2 由题设知面abcd 面ade cd ad cd 面ade 又 cd 面cde 面cde 面ade 作nh de于h 则nh 面cde 作ho ec于o 连结no 由三垂线定理可知no ce hon就是二面角n ce d的平面角 在正 ade中 可得nh 在rt edc中 可得oh 故在rt nho中 tan hon 所以二面角n ce d的大小为arctan 热点考向3空间距离 例3 2011 景德镇模拟 如图 四棱锥p abcd中 ad bc adc pc 平面abcd 点e f分别为ab pb中点 ac de 其中ad 1 pc 2 cd 证明 1 ef 平面pac 2 求点b到平面pde的距离 解题指导 利用线线平行证明线面平行 先作出点b到平面pde的距离 利用平面几何知识求解 规范解答 1 点e f分别为ab pb中点 ef为 bpa的中位线 ef pa ef 平面pac pa 平面pac ef 平面pac 2 pc 平面abcd pc de 而已知有ac de pc ac c 所以de 平面pac 又 de 平面pde 平面pde 平面pca ae eb e 平面pde 点b到平面pde的距离等于点a到平面pde的距离 设ac交de于g 连结pg 则点a到pg的距离就是点a到平面pde的距离 也就是点b到平面pde的距离 由 adc ad 1 cd 得ac 2 ag pg 过a作ah pg于h 则ah的长就是点b到平面pde的距离 如图则 pcg ahg 点b到平面pde的距离为 互动探究 在例题条件不变的情况下 若bc 2 试求三棱锥b pde的体积 解析 在底面abcd中 ad 1 cd bc 2 bad 120 de2 ad2 ae2 2ad aecos120 3 由例题解析知 在 pde中 pg de 且pg 又点b到平面pde的距离为所以vb dpe de pg 求空间距离的常用方法 1 点到平面距离的求解方法一般有两种 直接求解法 从该点向平面引垂线 确定垂足位置 求出点和垂足之间的距离即可 间接求解法 利用等体积法求点到平面的距离 一个几何体无论怎样转动 其体积是不变的 如果一个几何体的底面积或高较难求解时 我们可考虑利用等体积法求解 2 直线与它的平行平面的距离 求解时通常转化为直线上一个特殊点到平面的距离 3 两个平行平面的距离 求解时 在一个平面内任取一点 作它到另一平面的垂线段 垂线段的长就是所求距离 实质上也是点到平面的距离 4 两条异面直线间的距离 要特别注意对定义中的 都垂直且相交 的理解 两条异面直线间的距离是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条 可转化为线面垂直或线面平行 面面平行问题 再进一步转化为点到直线的距离或点到平面的距离 空间距离都要转化为两点间的距离即线段长来计算 在实际题型中 线线距 线面距和面面距 这些距离的核心是求点到平面的距离 除了能直接用定义计算的外 都要化为点到平面的距离来求解 如图 已知斜三棱柱abc a1b1c1 ac bc ac bc 2 a1在底面abc上的射影恰为ac的中点d 又知ba1 ac1 1 求证 ac1 a1c 2 求cc1到平面a1ab的距离 3 求二面角a a1b c的正弦值 解析 1 a1d 平面abc a1d bc 又ac bc ac a1d d bc 平面acc1a1 bc ac1又 ba1 ac1 ac1 平面a1bc ac1 a1c 2 ac1 a1c 四边形acc1a1为菱形 故aa1 ac 2 又d为ac的中点 a1ac 60 a1ac为等边三角形 取aa1的中点f 则aa1 平面bcf 从而平面a1ab 平面bcf 过c作ch bf于h 则ch 平面a1ab 故ch即为所求cc1到平面a1ab的距离在rt bcf中 bc 2 cf 故ch 即cc1到平面a1ab的距离为ch 3 过h作hg a1b于g 连结cg 由 2 可知 cgh为二面角a a1b c的平面角 在rt a1bc中 a1c bc 2 cg 在rt cgh中 sin cgh 故二面角a a1b c的正弦值为 热点考向4空间角与距离的探索性问题 例4 12分 2011 新乡模拟 已知四棱锥s abcd中 ab bc cd da sa 2 底面abcd是正方形 sd sb 2 1 在该四棱锥中 是否存在一条侧棱垂直于底面 如果存在 请给出证明 2 用多少个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1 说明你的结论 3 在 2 的条件下 设正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1的中点为n 棱dd1的中点为m 求二面角a mn c的余弦值 解题指导 1 由sa ab sa ad得sa 底面abcd 2 从割补法思想入手证得结论 3 先作出平面角后求即可 规范解答 1 存在侧棱sa 底面abcd 事实上因为ab bc cd da sa 2 sd sb 2由勾股定理的逆定理得sa ab sa ad ab ad a 故侧棱sa 底面abcd 4分 2 用三个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1 它们是 四棱锥a1 abcd 侧棱a1a 面abcd 四棱锥a1 b1bcc1 侧棱a1b1 面b1bcc1 四棱锥a1 d1dcc1 侧棱a1d1 面d1dcc1 8分 3 由正方体的对称性得在正方体abcd a1b1c1d1中 amn cmn均为等腰三角形 设o为mn的中点 aoc即为二面角a mn c的平面角 ao co 由余弦定理得故二面角a mn c的余弦值为 12分 探索性问题 通常有以下两种类型 1 是结论开放性问题 2 是条件开放性问题 此类问题的解题关键在于掌握常规的线面位置关系证明方法和空间角距离的计算方法 而最终问题往往要转化到同一个平面中 用平面几何知识处理 如图 已知四边形abcd是直角梯形 abc 90 ad bc ad 2 ab bc 1 沿ac将 abc折起 使点b落到点p的位置 且平面pac 平面acd 1 证明 pc cd 2 在pa上是否存在一点e 使得be 平面pcd 若存在 请指出点e的位置 并给出证明 若不存在 请说明理由 解析 1 在直角梯形abcd中 易知ac cd 平面pac 平面acd 交线为ac cd 平面pac 又 pc 平面pac pc cd 2 存在 当点e为pa的中点时 be 平面pcd 给出证明 取pa的中点为e ad的中点为f 连结be bf ef ad 2 bc 1 bc fd 又bc fd 四边形bcdf是平行四边形 bf cd bf 平面pcd bf 平面pcd e f分别是pa ad的中点 ef pd ef 平面pcd ef 平面pcd ef bf f 平面bef 平面pcd be 平面bef be 平面pcd 转化与化归思想 解答立体几何问题1 利用转化与化归的思想解决问题的模式 2 转化与化归思想在立体几何中应用的主要类型 1 角的转化 将空间角转化为平面角 2 距离的转化 将线面距 面面距转化为点面距 3 曲线向直线转化 利用立体图形的侧面展开图解决沿侧面绕行的最短线段问