高中数学《2.3.1数学归纳法》课件 新人教A版选修22.ppt

2 3数学归纳法第1课时数学归纳法 课标要求 1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 核心扫描 1 用数学归纳法证明数学命题的两个步骤相辅相成 缺一不可 2 对数学归纳法的考查主要是在解答题中出现 用数学归纳法证明不等式是高考的热点 自学导引1 数学归纳法公理对于某些的数学命题 可以用数学归纳法证明 2 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取时命题成立 2 归纳递推 假设 与正整数n有关 第一个值n0 n0 n n k k n0 k n 时命题成立 证明 当n k 1时命题也成立 想一想 1 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1 提示不一定 如证明n边形的内角和为 n 2 180 第一个值n0 3 2 为什么可以先假设n k k n0 k n 时命题成立 再证n k 1时命题也成立就可说明命题成立 提示 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题成立 其本质是证明一个递推关系 有了这种向后传递的关系 就能从一个起点不断发展 以至无穷 如果没有它 即使前面验证了命题对许多正整数n都成立 也不能保证命题对后面的所有正整数都成立 名师点睛运用数学归纳法的注意点数学归纳法的步骤 1 是命题论证的基础 步骤 2 是判断命题的正确性能否递推下去的保证 这两个步骤缺一不可 如果缺少步骤 2 无法对n取n0后的数时的结论是否正确作出判断 如果缺少步骤 1 这个基础 假设就失去了成立的前提 步骤 2 就没有意义了 1 验证是基础一般情况下 用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题时 第一个允许值是命题成立的第一个正整数 并不一定所有的第一个允许值n0都是1 2 递推乃关键 假设n k k n0 k n 时命题成立 这一归纳假设起着已知的作用 n k 1时命题成立 则是求证的目标 在证明 n k 1时命题也成立 的过程中 必须利用归纳假设 再根据有关的定理 定义 公式 性质等数学结论推证出n k 1时命题成立 可见数学归纳法证明的关键在于第二步 说明 1 数学归纳法是直接证明的一种重要方法 应用十分广泛 一般来说 与正整数有关的恒等式 不等式 数的整除性 数列的通项及前n项和等问题 都可以考虑用数学归纳法证明 2 归纳推理可以帮助我们发现一般规律 但是其正确性需要通过证明来验证 一般情况下 有关正整数的归纳 猜想问题 都需要由不完全归纳法得到猜想 然后用数学归纳法证明猜想是否正确 在书写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是f k 1 中的最后一项 除此之外 多了哪些项 少了哪些项都要分析清楚 1 用数学归纳法证明命题时 两个步骤缺一不可 且书写必须规范 2 用数学归纳法证题时 要把n k时的命题当作条件 在证n k 1命题成立时须用上假设 要注意当n k 1时 等式两边的式子与n k时等式两边的式子的联系 弄清楚增加了哪些项 减少了哪些项 问题就会顺利解决 题后反思 1 数列 an 既不是等差数列 又不是等比数列 要求其通项公式 只能根据给出的递推式和初始值 分别计算出前几项 然后归纳猜想出通项公式an 并用数学归纳法加以证明 2 数学归纳法是重要的证明方法 常与其他知识结合 尤其是数学中的归纳 猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查 证明中要灵活应用题目中的已知条件 充分考虑 假设 这一步的应用 不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法 数学归纳法证明命题的步骤及注意事项 两个步骤 缺一不可 其中第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤中关键是第二步 即当n k 1时命题为什么成立 在证n k 1命题时成立时 必须