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1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式学习目标1探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程2会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值3会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究1满足不等式成立的a，b，c的范围是什么？探究2应用三个正数的算术几何平均不等式，求最值应注意什么？探究3利用不等式求最值的条件是什么？探究4如何求yx2的最小值？例1 已知xR，求函数yx(1x2)的最大值变式练习1已知xR，求函数yx2(1x)的最大值例2 设a、b、cR，求证：(1)(abc)227；(2)(abc).变式练习2设0a1，0b1，0c1，求证：abc(1a)(1b)(1c).例3 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积变式练习3制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它的尺寸，才能使所用的材料最少？参考答案探究1【提示】a，b，c的范围为a0，b0，c0探究2【提示】三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值当且仅当三个正数相等时取得探究3【提示】“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值探究4 【提示】yx233，当且仅当，即x时，等号成立，ymin3.其中把x2拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件若这样变形：yx2x2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为x2时x无解，不能求出y的最小值例1【解析】yx(1x2)，y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2).2x2(1x2)(1x2)2，y2.当且仅当2x21x21x2，即x时取“”号y.y的最大值为.变式练习1解：yx2(1x)xx(1x)xx(22x).当且仅当x22x，即x时取等号此时，ymax.例2 【解析】(1)a，b，cR，abc30，从而(abc)290，又30，(abc)23927当且仅当abc时，等号成立(2)a，b，cR，(ab)(bc)(ca)30，30，(abc).当且仅当abc时，等号成立变式练习2证明：0a0.0a(1a).同理0b(1b)，0c(1c).当且仅当abc时，以上三个式子等号成立将以上三个不等式相乘得abc(1a)(1b)(1c).例3 【解析】设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得，r(Hh)V圆柱r2h(Hh)2h(0hH)根据平均不等式可得V圆柱hR2H.当且仅当h，即hH时，V圆柱最大R2H.变式练习3解：设圆柱形饮料盒的体积为V(定值)，底面半径为r，高为h，表面积为S.则Vr2h
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