高中数学教学 复合函数初步课件 新人教A版必修1.ppt

复合函数初步 复合函数 如果y是u的函数 而u又是x的函数 即 y f u u g x 那么y关于x的函数y f g x 叫做函数f和g的复合函数 u叫做中间变量 注意 若y f u 定义域为a u g x 值域为b 则必须满足b a 求复合函数的定义域 1 已知函数y f x 的定义域 求它的复合函数f g x 的定义域 我们知道函数的定义域为 则f x 1 的定义域为 x 1 x 1 x 2 x 0 训练 已知f x 的定义域是 1 4 求g x f x 1 f 1 x 的定义域 x 2 x 2 说明 函数的定义域是指自变量x的取值范围 所以对于g x f x 1 f 1 x 的定义域 应设x 1 1 x的取值范围满足y f x 中的x的取值范围 结论 1 已知函数f x 的定义域为 a b 求其复合函数f g x 的定义域应有不等式a g x b解出x即得 求复合函数的定义域 我们知道函数的定义域为 则f x 的定义域为 x 0 x 1 2 已知复合函数y f g x 的定义域 求原函数y f x 的定义域 x 2 x 3 训练 已知f x 1 的定义域是 1 4 求f x 的定义域 x 0 5 结论 1 已知函数f x 的定义域为 a b 求其复合函数f g x 的定义域 应由不等式a g x b解出x即得 2 已知复合函数y f g x 的定义域为 a b 求原函数y f x 的定义域 应求出y g x 的值域 x a b 即得y f x 的定义域 练习 1 设函数f x 的定义域是 0 2 求函数f x2 的定义域 2 已知y f 2x 1 定义域是 0 1 求y f x 的定义域 3 已知f x2 的定义域是 1 1 求函数f x 的定义域 3 0 1 例1求下列函数的定义域 值域 解 1 由x 1 0得x 1所以 所求函数定义域为 x x 1 由 得y 1 所以 所求函数值域为 y y 0且y 1 求复合函数的值域 说明 对于值域的求解 可以令 考察指数函数y 并结合图象直观地得到 函数值域为 y y 0且y 1 解 2 由5x 1 0得 所以 所求函数定义域为 由 得y 1 所以 所求函数值域为 y y 1 解 3 所求函数定义域为r 由 可得 所以 所求函数值域为 y y 1 求下列函数的定义域和值域 解 要使函数有意义 必须 当 时 当 时 值域为 要使函数有意义 必须 又 值域为 练习 1 1 若函数f x 的定义域为 0 1 则的定义域为 2 函数的定义域为 练习 1求函数的定义域和值域 2已知函数的值域是 求f x 的定义域 3已知关于的方程有实根 求实数m的取值范围 练习 4 当x 0时 函数的值总大于1 则实数a的取值范围是 复合函数的单调性 规律 当两个函数的单调性相同时 其复合函数是增函数 当两个函数的单调性不相同时 其复合函数是减函数 同增异减 增函数 增函数 减函数 减函数 例 求函数的单调性 解 设 f u 和u x 的定义域均为r因为 u在上递减 在上递增 而在r上是减函数 所以 在上是增函数 在上是减函数 例 求的单调区间 解 设 u x2 2x 1 由u r 得原复合函数的定义域为x r 因为在定义域r内为增函数 所以由二次函数u x2 2x 1的单调性易知u x2 2x 1 x 1 2 2在x 1时单调减 由x r 复合函数定义域 x 1 u减 解得x 1 所以 1 是该复合函数的单调减区间 同理 1 是该复合函数的单调增区间 练习 求函数 的单调区间 答案 3 单减区间 2 单增区间 注意 求单调区间时 一定要先看定义域 复合函数的单调性小结 复合函数y f g x 的单调性可按下列步骤判断 1 将复合函数分解成两个简单函数 y f u 与u g x 其中y f u 又称为外层函数 u g x 称为内层函数 2 确定函数的定义域 3 分别确定分解成的两个函数的单调性 4 若两个函数在对应的区间上的单调性相同 即都是增函数 或都是减函数 则复合后的函数y f g x 为增函数 5 若两个函数在对应的区间上的单调性相异 即一个是增函数 而另一个是减函数 则复合后的函数y f g x 为减函数 复合函数的单调性可概括为一句话 同增异减 复合函数的奇偶性 函数的奇偶性 奇 奇 奇偶 偶 偶奇 奇 偶偶 偶 偶奇 偶 奇奇 偶 不确定 类比 负 负 负正 正 正负 负 正正 正 正负 正 负负 正 不确定 分析 因为x2 2x 3 x 1 2 2 2 函数y 2x为增函数 4 1 3 讨论函数f x 的奇偶性和单调性 分析 函数的定义域为r 1 f x f x f x 在r上是奇函数 2 设x1 x2 r 且x1 x2 f x 1 则f