中考数学复习 第一章数与式 第1课 实数及其运算课件.ppt

第一章数与式第1课实数及其运算 1 实数的分类按实数的定义分类 要点梳理 正无理数 负无理数 有理数 正整数 零 正分数 负分数 根据需要 我们也可以按符号进行分类 如 实数 2 实数的有关概念 1 数轴 规定了 和的直线叫做数轴 数轴上所有的点与全体实数一一对应 2 相反数 只有 不同 而 相同的两个数称为互为相反数 若a b互为相反数 则a b 3 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的 叫做这个数的倒数 若a b互为倒数 则ab 原点 正方向 单位长度 符号 绝对值 0 商 1 4 绝对值 在数轴上 一个数对应的点离开原点的叫做这个数的绝对值 距离 a 0 a a 是一个非负数 即 a 0 5 科学记数法 近似数 有效数字 科学记数法就是把一个数表示成的形式 一个近似数 到哪一位 就说这个数精确到哪一位 这时 从左边第一个不是零的数字起 到末位数字止 所有的数字都叫做这个近似数的有效数字 6 平方根 算术平方根 立方根 如果x2 a 那么x叫做a的平方根 记作 正数a的正的平方根 叫做这个数的算术平方根 如果x3 a 那么x叫做a的立方根 记作 a 10n 1 a 10 n是整数 四舍五入 3 零指数幂 负整数指数幂 任何非零数的零次幂都等于1 即 任何不等于的数的 p次幂 等于这个数p次幂的倒数 即 4 实数的大小比较 大于零 小于零 大于一切负数 在数轴上表示的两个数 右边的点所表示的数总比 的点所表示的数 差值法比较 a b 0 a ba b 0 a ba b 0 a b a0 1 a 0 a p a 0 p为正整数 正数 负数 正数 左边 大 5 实数的运算 实数的运算顺序是先算 再算 最后算 如果有括号 先算 再算 最后算 同级运算应 乘方和开方 乘除 加减 小括号 中括号 大括号 从左到右 按顺序进行 难点正本疑点清源 1 正确理解实数相关的概念在实数范围内 由于对数学概念的理解不清楚 导致出现各种判断和列式错误 这些概念包括 正数 负数 有理数 无理数 实数 相反数 倒数 平方根 算术平方根 立方根 绝对值 数轴 零指数 负整数指数等 2 注意基本技能的掌握及正确的运算在实数范围内 由于对基本技能掌握不熟练 导致出现一系列变形和计算错误 这些技能包括 分数的通分与约分 运算的灵活应用 实数的运算 实数的大小比较 近似数的表示 用科学记数法表示数等 3 利用数形结合的数学思想直观地解决问题数本身是无形的 抽象的 而点 线等图形却是直观的 数轴正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来 把 数 与 形 有机地结合起来 从而便于学习和研究 4 运用分类讨论思想 全面解答问题在学习相反数 绝对值和有理数乘方运算的符号法则时 应把实数分成正实数 零 负实数三类分别研究 运用分类讨论的思想 在一些看上去较复杂的计算题中 可通过分类讨论 全面地把代数式的值一一求出来 如 已知abc 0 且m 根据a b c的不同取值 m有 a 唯一确定的值b 三种不同的值c 四种不同的值d 八种不同的值 b 基础自测 1 2011 金华 有四包真空小包装火腿 每包以标准克数 450克 为基准 超过的克数记作正数 不足的克数记作负数 以下数据是记录结果 其中表示实际克数最接近标准克数的是 a 2b 3c 3d 4解析 四个选项中 2的绝对值最小 故最接近标准 a 2 2011 衢州 数 2的相反数为 a 2b c 2d 解析 一个数的相反数就是在这个数前面加 号 3 2011 义乌 3的绝对值是 a 3b 3c d 解析 3 3 一个负数的绝对值是它的相反数 a a 4 2011 宁波 下列各数中 是正整数的是 a 1b 2c 0 5d 解析 选项中只有2既是正数 又是整数 5 2011 陕西 我国第六次人口普查显示 全国人口为1370536875人 将这个总人口数 保留三个有效数字 用科学计数法表示为 a 1 37 109b 1 37 107c 1 37 108d 1 37 1010解析 1370536875 1 370536875 109 1 37 109 b a 题型分类深度剖析 题型一实数的分类 例1 1 在0 1 2 3 5这四个数中 是负整数的是 a 0b 1c 2d 3 5解析 负整数既是负数 又是整数 这里只有 2符合 2 在实数0 1 0 1235中 无理数的个数为 a 0个b 1个c 2个d 3个解析 无理数是无限不循环小数 开不尽方 是无限不循环小数 c b 探究提高判断一个数是不是无理数 关键就看它能否写成无限不循环小数 初中常见的无理数共分三种类型 1 含根号且开不尽方的数 2 化简后含 圆周率 的式子 3 有规律但不循环的无限小数 掌握常见无理数类型有助于识别无理数 知能迁移1 1 下列五个实数 0 tan45 3 1 其中正数的和为 a 4b 5c 6d 7解析 3 0 tan45 1 1 1 2 4 这三个正数的和等于4 选a 2 下列四个数中 在0到3之间的无理数是 a b c d 1解析 0 只有是0到3之间的无理数 选b b a 题型二科学记数法与近似值 有效数字 例2 1 2011 浙江 中国是严重缺水的国家之一 人均淡水资源为世界人均量的四分之一 所以我们要为中国节水 为世界节水 若每人每天浪费水0 32l 那么100万人每天浪费的水 用科学记数法表示为 a 3 2 107lb 3 2 106lc 3 2 105ld 3 2 104l解析 0 32 100万 0 32 106 3 2 105 l 2 下列近似数中精确到千位的是 a 90200b 3 450 102c 3 4 104d 3 4 102解析 3 4 104表示3万4千 精确到千位 选c c c 探究提高 1 科学记数法一般表示的数较大 所以解题时一定要仔细 确定n的值时 从最后一位起数到最高位的下一位即可 最后可将答案还原成原数进行检验 2 用有效数字表示的数 在确定其精确度时 要还原成原数后再进行判断 知能迁移2 1 近似数2 5万精确到 位 有效数字分是 解析 2 5万 2万5千 精确到千位 有效数字分别是2 5 2 0 5796保留三个有效数字的近似数是 由四舍五入法得到的近似数2 30亿精确到 位 有 个有效数字 解析 0 5796 0 580 保留三位有效数字的近似数是0 580 2 30亿 2亿3千0百万 精确到百万位 有3个有效数字 千 2 5 0 580 百万 3 3 2011 安徽芜湖 我们身处在自然环境中 一年接受的宇宙射线及其它天然辐射照射量约为3100微西弗 1西弗等于1000毫西弗 1毫西弗等于1000微西弗 用科学记数法可表示为 a 3 1 106西弗b 3 1 103西弗c 3 1 10 3西弗d 3 1 10 6西弗解析 3100 10 3 10 3 3 1 10 3 c 题型三实数的运算 例3 1 计算 0 2 计算 2 2 2 3 1 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 1 4 1 0 4 1 2 3分 5 2 4分 2 2 2 2 3 1 4 6 3 3分 1 4分 探究提高实数运算要严格按照法则进行 对于实数混合运算 注意符号和顺序是非常重要的 知能迁移3 1 2011 温州 计算 2 2 2011 0 解 2 2 2011 0 4 1 2 5 2 2 2011 舟山 计算 22 3 0 2 解 原式 4 3 1 2 4 题型四与实数相关的概念 例4 1 已知 a 1 b 2 c 3 且a b c 那么a b c 解析 由 a 1 b 2 c 3 得a 1 b 2 c 3 又a b c 可以a 1 b 2 c 3 所以a b c 1 2 3 2 或a b c 1 2 3 0 2或0 2 设 a 4 b 2 且 a b a b 试求a b所有值的和 解 a 4 b 2 a 4 b 2 又 a b a b 0 a b 0 可知a 4 b 2 所以a b 4 2 6 或a b 4 2 2 6 2 8 a b所有值的和是 8 探究提高 1 两个互为相反数的和为0 2 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 知能迁移4 1 2011 镇江 计算 0 1 1 2 2 若ab 0 则 的值等于 解析 由ab 0 得a 0且b 0或a 0且b 0 于是 1 1 1 1或 1 1 1 3 1或 3 题型五与数轴联系 例5 1 如图 若a是实数a在数轴上对应的点 则关于a a 1的大小关系 表示正确的是 a a 1 ab a a 1c 1 a ad a a 1解析 如图 在数轴上找出 a所对应的位置 易知a 1 a 选a a 2 观察图中的数轴 用字母a b c依次表示点a b c所对应的数 则 的大小关系是 a 1 03 3 选c c 探究提高数形结合借助数轴找到数的位置 或由数找到在数轴上点的位置 及其相反数的位置 再根据数轴上右边的数大于左边的数 确定各数的大小 知能迁移5 1 2011 宜昌 如图 数轴上a b两点分别对应实数a b 则下列结论正确的是 a abd ab 0解析 因为a 0 bb c 2 有理数a b满足a0 且 a b 试用 号把a b a b连接起来 解析 据题意 把有理数a b表示在数轴上 并把 a b也表示在同一条数轴上 如图 易得a b b a a b b a 易错警示 1 实数概念中的常见错误试题若一个实数的 1 倒数 2 绝对值 3 平方数 4 立方 5 平方根 6 算术平方根 7 立方根等于它的本身 则这个数分别为 1 2 3 4 5 6 7 学生答案展示 1 1 2 正数 3 1 4 1或 1 5 1 6 0 7 1和 1 剖析实数概念理解往往似是而非或不够全面 出现一些不该有的错误 上述给出的答案不完整 漏掉了一些符合条件的数 产生错误的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不适应 试题若一个实数的 1 倒数 2 绝对值 3 平方数 4 立方 5 平方根 6 算术平方根 7 立方根等于它的本身 则这个数分别为 1 2 3 4 5 6 7 正解 1 1和 1 2 正数和0 或非负数 3 1和0 4 1 0和1 5 0 6 0和1 7 1 0和1 批阅笔记本题考查了实数的基本概念 有的同学对所学的倒数 绝对值 平方与平方根等概念没有全面理解 因而造成错误 思想方法感悟提高 方法与技巧1 重视实数概念的学习 理解实数与数轴上的点是一一对应的 2 注意实数乘方概念的理解 防止概念之间的混淆 3 可借助数轴 数形结合 找到数与点的关系 根据对称性质找出互为相反数的位置 再比较大小 失误与防范引进负数 使数的概念得以扩展 实现了算术数到有理数的飞跃 许多小学形成的认识被推翻了 1 除了仍表示运算符号外 还可以看作一个数的性质符号 还可以用来表示原数的相反数 即在一个数前面添上 号 可得到原数的相反数 2 减法可以转化为加法 在小学里 加法与减法是两回事 但引进负数后 减法就不再作为独立的运算而存在 而是把减法转化为加法 3 原来的一些结论不再成立 如 差一定小于或等于被减数 这个结论就是不一定正确了 4 数 0 被赋予新的含义 具有独特的性质 思考相关问题要全面 否则的话 极易落入 0 设置的陷阱 完成考点跟踪训练1 搞清实数的分类标准 尤其要弄懂无理数的三种常见形式 无限不循环小数 如0 1010010001 开方开不尽的数 如等 绝对值的性质 要注意正确区分数的三种情况 尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数 实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法 才能更好地有的放矢 方法小结 2 有关实数的非负性 若几个非负数的和等于0 那么这几个非负数都0 解 由 3a 4 4b 3 2 0得 3a 4 0且 4b 3 3a 4 0且4b 3 a 4 3 b 3 4 ab 4 3 3 4 1 有理数集合 课时训练 1 把下列各数填在相应的大括号内 整数集合