重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第三章第二节 导数与函数的单调性指导课件 新人教A版 .ppt

第二节导数与函数的单调性 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 处理导数与函数的单调性的问题时要搞懂如下三个关系 1 f x 0与f x 为增函数的关系 f x 0能推出f x 为增函数 但反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 3 f x 0与f x 为增函数的关系 f x 为增函数 一定可以推出f x 0 但反之不一定 因为f x 0 即为f x 0或f x 0 当函数在某个区间内恒有f x 0时 f x 为常数 函数不具有单调性 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 2 f x 0时 f x 0与f x 为增函数的关系 f x 为增函数 就一定有f x 0 反之 f x 0 一定有f x 为增函数 当f x 0时 f x 0是f x 为增函数的充分必要条件 1 教材改编题 函数y x3 x在r上是 a 增函数b 减函数c 先增后减d 先减后增 解析 y x3 x y 3x2 1 0恒成立 y x3 x在r上是增函数 答案 a 2 教材改编题 函数y x sinx x 的单调增区间是 a 0 b 0 c d 解析 y x sinx y 1 cosx 当x 时 恒有y 0 x 0时 号成立 y x sinx在 上是增函数 答案 c 3 函数f x x3 3x2 2的单调递减区间为 a 2 b 2 c 0 2 d 0 解析 y 3x2 6x 3x x 2 令y 0 即3x x 2 0 解得0 x 2 答案 ck 4 原创 若函数f x x3 3x2 ax 1是r上的增函数 则实数a的取值范围是 解析 f x x3 3x2 ax 1 f x 3x2 6x a 又f x 是r上的增函数 f x 0 即3x2 6x a 0恒成立 即 a 3x2 6x y 3x2 6x 3 x 1 2 3 3 即 3x2 6x min 3 a 3 即a 3 答案 3 5 文 教材改编题 设函数f x cosx x x 0 则f 与f 的大小关系是 解析 f x sinx 1 0 f x 在 0 上是增函数又 f f 答案 f f 答案 f f 理 教材改编题 如果函数f x ln x 1 x 则f 1 与f e 的大小关系为 解析 f x ln x 1 x f x 1 令f x 0 即 0 x x 1 0 即x 0或x 1 舍 因为f x 的定义域为 x x 1 即在 0 上 f x 是减函数 又e 1 f e f 1 答案 f e f 1 1 当a 0时 若x 0 则f x 0 若x 0 则f x 0 当a 0时 函数f x 在区间 0 内为减函数 在区间 0 内为增函数 求函数的单调区间 2 当a 0时 由2x ax2 0 解得x 或x 0 由2x ax2 0 解得 x 0 当a 0时 函数f x 在区间 内为增函数 在区间 0 内为减函数 在区间 0 内为增函数 3 当a 0时 由2x ax2 0 解得0 x 由2x ax2 0 解得x 0或x 当a 0时 函数f x 在区间 0 为减函数 在区间 0 内增函数 在区间 内为减函数 变式探究 1 求函数y 2x2 lnx的单调区间 解 y 4x 函数的定义域为 0 令y 0 得x 0 令y 0 得x 函数的增区间为 函数的减区间为 0 方法技巧 求可导函数单调区间的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 求出它在定义域内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据 f x 的符号判定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 当f x 不含参数时 可直接通过解不等式f x 0 或f x 0 得到函数f x 的单调区间 带有参数的问题要注意分类讨论 根据函数的单调性 求参数的取值范围 思路点拨 由图象 可确定f x 的单调区间 再由极值定义 即可求出x 0 由图知f 1 f 2 0 且f x 0 5 或f x 0 0 可列出关于a b c的方程组 解 法一 1 由图象知 在 1 上 f x 0 在 1 2 上 f x 0 在 2 上 f x 0 故f x 在 1 2 上是增函数 在 1 2 上是减函数 因此 在 x 1 处取得极大值 所以x0 1 2 f x 3ax 2 2bx c 且f 1 f 2 0 f 1 5 得3a 2b c 0 12a 4b c 0 a b c 5 解得a 2 b 9 c 12 变式探究 2 文 2010年福建龙岩一模 已知函数 的图象经过点m 1 4 曲线在点m处的切线恰好与直线x 9y 0垂直 变式探究 2 理 2009年北京卷 设函数f x xekx k 0 解 1 f x 1 kx ekx f 0 1 f 0 0 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 的单调区间 3 若函数f x 在区间 1 1 内单调递增 求k的取值范围 2 由f x 1 kx ekx 0得x k 0 若k 0 则当x 时 f x 0 函数f x 单调递减 当x 时 f x 0 函数f x 单调递增 若k 0 则当x 时 f x 0 函数f x 单调递增 当x 时 f x 0 函数f x 单调递减 3 由 2 知 若k 0 则当且仅当 1 则0 k 1时 函数f x 在 1 1 内单调递增 若k 0 则当且仅当 1 即 1 k 0时 函数f x 在 1 1 内单调递增 综上可知 函数f x 在区间 1 1 内单调递增时 k的取值范围是 1 0 0 1 方法技巧 已知函数的单调性 求参数的取值范围 运用条件f x 0 或f x 0 x a b 转化为不等式恒成立求解 若给出导函数的图象 则可通过分析f x 的图象 确定单调区间 再建立方程 组 或不等式 组 求得有关参数的值 或范围 函数 导数与方程 或不等式 的综合 解析 由题图知 在 0 上 f x 0 所以函数y f x 在 0 上为增函数 且a b为正数 所以有目标函数 可看成是点 a b 与点c 2 2 两点 所确定的直线的斜率 作出可行域如图 kac kbc 3 故 3 答案 c 方法技巧 以导数与函数单调性入手 运用函数的单调性研究函数的零点 或不等式 问题 充分显示了导数的工具作用 例1 2008年福建卷 已知函数y f x y g x 的导函数的图象如图 1 那么y f x y g x 的图象可能是图 2 中的 解析 由题意知函数f x g x 都为增函数 当x x0时 由图象知f x g x 即f x 的增长速度大于g x 的增长速度 当x x0时 f x g x g x 的增长速度大于f x 的增长速度 且在x x0处两图象的切线斜率相等 故选d 答案 d 例2 2010年北京卷 已知函数f x ln 1 x x x2 k 0 1 当k 2时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 的单调区间 解 1 当k 2时 f x ln 1 x x x2 f x 1 2x 由于f 1 ln2 f 1 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y ln2 x 1 即3x 2y 2ln2 3 0 2 f x x 1 当k 0时 f x 所以 在区间 1 0 上 f x 0 在区间 0 上 f x 0 故f x 的单调递增区间是 1 0 单调递减区间是 0 当0 k 1时 由f x 0 得x1 0 x2 0 所以 在区间 1 0 和 上 f x 0 在区间 0 上 f x 0 故f x 的单调递增区间是 1 0 和 单调递减区间是 0 当k 1时 f x 故f x 的单调递增区间是 1 当k 1时 由f x 0 得x1 1 0 x2 0 所以 在区间 1 和 0 上 f x 0 在区间 0 上 f x 0 故f x 的单调递增区间是 1 和 0 单调递减区间是 0 类型审题不清致错 例1 若函数f x x3 mx2 2m2 5的单调递减区间是 9 0 求m的值 正解 由f x 3x2 2mx 0得m x 0 所以f x 单调递减区间是 m 0 所以m 9 所以m 分析 解答本题易出现如下解法 由f x 3x2 2mx 0得m x 0 所以f x 的递减区间是 m 0 9 0 m 0 m 9 即m 错因在于对 单调减区间是 9 0 与 在 9 0 上递减 理解有误 若题意是 在 9 0 上递减 则上述解答正确 一 选择题 1 2009年广东卷 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 解析 f x x 3 ex f x ex x 2 0 x 2 f x 的单调递增区间为 2 答案 d 2 若函数h x 2x 在 1 上是增函数 则实数k的取值范围是 a 2 b 2 c 2 d 2 解析 因为h x 2 所以h x 2 0在 1 上恒成立 即k 2x2在 1 上恒成立 所以k 2 答案 a 3 已知对任意实数x 都有f x f x g x g x 且当x 0时 f x 0 g x 0 则当x 0时 a f x 0 g x 0b f x 0 g x 0c f x 0 g x 0d f x 0 g x 0 解析 由题意知f x 是奇函数 g x 是偶函数 当x 0时 f x g x 都单调递增 则当x 0时 f x 单调递增 g x 单调递减 即f x 0 g x 0 答案 b 4 文 已知a 0 函数f x x3 ax在 1 上是单调递增函数 则a的最大值是 a 0b 1c 2d 3 解析 f x x3 ax在 1 是增函数 f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 a 3x2 y 3x2在 1 上是增函数 ymin 3 a 3 答案 d 理 原创 若f x alnx x2在 1 上是减函数 则a的取值范围是 a 1 b 1 c 1 d 1 解析 f x x 且f x 在 1 上是减函数 f x 0 即a x2在x 1 上恒成立 设g x x2 g x x2在 1 上是增函数 g x min g 1 1 a 1 答案 c 5 文 设f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图象如图 1 所示 则y f x 的图象最有可能是图 2 中的 解析 由y f x 的图象易知当x 0或x 2时 f x 0 故函数y f x 在区间 0 和 2 上单调递增 当0 x 2时 f x 0 故函数y f x 在区间 0 2 上单调递减 答案 c 理 2009年湖南卷 若函数y f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数y f x 在区间 a b 上的图象可能是 解析 函数y f x 的导函数y f x 在区间 a b 上是增函数 y f x 在区间 a b 上各点处的导数大于0 由图易知应选a 答案 a 二 填空题 6 已知函数y ax与y 在 0 上都是减函数 则函数y ax3 bx2 5的单调减区间为 解析 根据题意a 0 b 0 由y ax3 bx2 5 得y 3ax2 2bx 令y 0 可得x 0或x 故所求减区间为 和 0 答案 和 0 7 2010年莆田模拟 比较大小 当x 0 ln 1 x x x2 用不等号填空 解析 令f x ln 1 x x x2 则f x 1 x 0 x 0 从而f x 在 0 上是增函数 f x f 0 0 ln 1 x x x2 答案 8 给出定义 若函数f x 在d上可导 即f x 存在 且导函数f x 在d上也可导 则称f x 在d上存在二阶导函数 记f x f x 若f x 0在d上恒成立 则称f x 在d上为凸函数 以下四个函数在 0 上不是凸函数的是 把你认为正确的序号都填上 f x sinx cosx f x lnx 2x f x x3 2x 1 f x xex 解析 对于 f x sinx cosx x 0 时 f x 0恒成立 对于 f x 在x 0 时 f x 0恒成立 对于 f x 6x 在x 0 时 f x 0恒成立 对于 f x 2 x ex在x 0 时f x 0恒成立 所以f x xex不是凸函数 答案 9 文 设函数f x ax3 3x 1 x r 若对任意x 1 1 都有f x 0成立 则实数a的值为 解析 若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 当x 0 即x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0可化为a 设g x 则g x 从而g x 在区间 0 上单调递增 在区间 1 上单调递减 因此g x max g 4 从而a 4 当x 0即x 1 0 时 f x ax3 3x 1 0可化为a 则g x 在区间 1 0 上单调递增 因此g x min g 1 4 a 4 综上a 4 答案 4 理 2010年江苏省无锡市模拟 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 f 1 0 0 x 0 则不等式f x 0的解集是 解析 设f x x 0 f x 是奇函数 f x 是偶函数又f x 0 x 0 在 0 上f x 为增函数 且f 1 0 画草图如图所示 f x 0 x f x 0 x 1 0 1 答案 1 0 1 三 解答题 10 设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求 1 a的值 2 函数f x 的单调区间 解 1 因f x x3 ax2 9x 1 所以f x 3x2 2ax 9 32 9 即当x 时 f x 取得最小值 9 因斜率最小的切线与12x y 6平行 即该切线的斜率为 12 所以 9 12 即a2 9 解得a 3 由题设a 0 所以a 3 2 由 1 知a 3 因此f x x3 3x2 9x 1 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 解得x1 1 x2 3 当x 1 时 f