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科学计算课程设计Riemann积分对于一在区间a,b上之给定非负函数f(x)，我们想要确定f(x)所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为积分，黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。function y=f(x) y=exp(-x2)m=0;n=100000 /. /(n用100、1000、10000、100000分别代入)for s=1:nx=s/n;m=m+f(x);endt=m/nn积分结果10000.74650801121977100000.746792526171351000000.7468209722034910000000.74682381675210复合梯形积分将 a, b 分成 n 等分 xi , xi+1 ，其中 (i = 0, 1, , n)复合梯形公式余项 function y=f(x) y=exp(-x2)n=10000;h=1/n;m=0;for k=1:n-1 x=k*h;f=exp(-x2); m=m+f;endm=m*2;t=1;s=exp(-1);T=h/2*(t+s+m)n积分结果10000.74682407149918100000.746824132199291000000.7468241328062910000000.74682413281238复合simpson积分复合 Simpson 公式 余项function y=f(x) y=exp(-x2)n=10000;m=0;t=0;h=1/n;for k=0:n-1 x=k*h+h/2; f=exp(-x2); m=m+f;endm=m*4;for k=1:n-1 x=k*h; f=exp(-x2); t=t+f;endt=t*2;S=h/6*(1+m+t+exp(-1)n积分结果10000.74682413281243100000.746824132812431000000.7468241328124210000000.74682413281245Romberg积分龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。 作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度. 在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程 。function y=f(x) y=exp(-x2)s=4;q=0;T(1,1)=1/2*(1+exp(-1);for k=1:s for i=1:2(k-1) y=f(2*i-1)/(2k); q=q+y; end T(k+1,1)=1/2k*T(k,1)+q/2k; for m=1:k T(k+1,m+1)=4m/(4m-1)*T(k+1,m)-1/(4m-1)*T(k,m); endendp=T(s+1,s+1)d=T(s+1,s+1)-T(s,s)投点式Monte Calor法蒙特卡罗分析，是一种使用随机抽样统计来估算数学函数的计算方法。它需要一个良好的随机数源。这种方法往往包含一些误差，但是随着随机抽取样本数量的增加，结果也会越来越精确。蒙特卡罗方法在纯数学方面一般用来求解一个函数的定积分。它的计算过程如下：先在一个区间或区域内随机抽取一定数量的独立变量样本，然后求相应的独立因变量的平均值，最后用随机样本所在区间（或区域）的长度（或大小）除以所求出的平均值。它与传统的估算定积分的方法有很大差别，传统方法在区间或区域内抽取样本点时是间隔相等、均匀抽取的。蒙特卡罗方法以其在第二次世界大战时被用于原子弹的设计而闻名于世。现在它也已经被应用于多种领域，如超高速公路的运输流量分析、行星演变模型的建立以及股票市场波动的预测。这种方法同样也可应用于集成电路设计、量子力学和通信工程。function y=f(x) y=exp(-x2)n=1000;X=rand(n);Y=rand(n);s=0;for i=1:n if Y(i)f(X(i) s=s+1; endendt=s/nn积分结果1000100001000001000000Metropolis随机有走法function y=f(x) y=exp(-x2)n=10000;i=1;r(1)=1;x(1)=0.5;while i=n y=(rand-0.5)*8; x(i+1)=x(i)+y; if x(i+1)=0 r(i+1)=1; else r(i+1)=0; end t=r(i+1)/r(i); if tt i=i-1; end end i=i+1;endm=0;for i=1:n m=m+f(x(i);endm=m/n n积分结果10000.73953250835078100000.748852218722101000000.7469670925687810000000.74617546672680一、Lebesgue积分与Riemann积分主要性质的比较这部分我们主要通过一些例子来了解Lebesgue积分及Riemann积分的性质在题目中的应用:而Riemann积分的主要的性质与Lebesgue积分的主要的性质是基本相似的,只不过Riemann积分是在有界区间 上成立的,在这里我们只做简单的总结概述一下Riemann积分的主要性质:二、Lebesgue积分相比较Riemann积分的优越性1.正如Riemann积分一样,从定义出发如果计算某个具体的函数的积分值是非常繁琐的,因此在现实问题中可以利用我们刚才所提到的定理,可以把不便于计算的Riemann积分转化为比较容易计算的Lebesgue积分,而这个定理常常与控制收敛定理、单调收敛定理结合使用效果会更好。我们来看这样的一道典型的题:计算定义在(0,1)上的Riemann函数的积分值。解析:因为R(x)是有界函数且在 上是几乎处处连续的,所以R(x)是Riemann可积的。但是用Riemann积分计算这个函数将比较复杂,所以采用Lebesgue积分来求解。2.与Riemann积分相比,Lebesgue积分有着更大的应用范围,并且在处理极限运算时有着更大的弹性。看这道求极限运算典型的例题:从这些题中可以看出对于Riemann积分所不容易计算的积分,我们就可以用Lebesgue积分来计算,这样相对比较简单方便。三、Lebesgue积分与Riemann积分在有关计算上的比较有些函数在区间上不Riemann可积,但是却Lebesgue可积,这里有一道例题,我们来讨论一下:从这个例子可以看出,我们充分利用Lebesgue积分的性质,各种收敛定理,以及Lebesgue积分与Riemann积分的之间的关系,就可以使问题得以解决。龙贝格数值积分法收