1213高一数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质2课件 新人教A版.ppt

2 3 4平面与平面垂直的性质 要点一平面与平面垂直的性质的应用在运用面面垂直性质定理时必须注意 1 线在面内 2 线垂直于两面的交线 由此才可以得出线面垂直 在应用线面平行 垂直的判定和性质定理证明有关问题时 在善于运用转化思想的同时 还应注意寻找线面平行 垂直所需的条件 例1如下图所示 p是四边形abcd所在平面外的一点 abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 若g为ad边的中点 求证 bg 平面pad 2 求证 ad pb 分析 abcd是边长为a的菱形 面pad 面abcd 解答本题可先由面 面得线 面 再进一步得出线 线 证明 1 连接pg 由题知 pad为正三角形 g是ad的中点 pg ad 又平面pad 平面abcd pg 平面abcd pg bg 又 四边形abcd是菱形且 dab 60 abd是正三角形 bg ad 又ad pg g bg 平面pad 2 由 1 可知bg ad pg ad 所以ad 平面pbg 所以ad pb 规律方法 证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 再一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故可考虑面面垂直的性质定理 变式1如图所示 cd cd ab ce ef fec 90 求证 面efd 面dce 证明 cd cd ab ab cd 又 ef cd ef 又 fec 90 ef ec 又ec cd c ef 面dce 又ef 面efd 面efd 面dce 例2已知 如图 平面pab 平面abc 平面pac 平面abc ae 平面pbc e为垂足 1 求证 pa 平面abc 2 当e为 pbc的垂心时 求证 abc是直角三角形 分析 由面面垂直向线面垂直转化 一般要作一条垂直于交线的直线 才能应用性质定理 证明 1 在平面abc内取一点d 作df ac于f 平面pac 平面abc 且交线为ac df 平面pac 又 pa 平面pac df pa 作dg ab于g 同理可证dg pa dg df d pa 平面abc 2 连接be并延长交pc于h e是 pbc的垂心 pc bh 又ae 平面pbc 故ae pc 且ae be e pc 平面abe pc ab 又 pa 平面abc pa ab 且pa pc p ab 平面pac ab ac 即 abc是直角三角形 规律方法 已知两个平面垂直时 过其中一个平面内的一点作交线的垂线 则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面 于是面面垂直转化为线面垂直 由此得到结论 两个相交平面同时垂直于第三个平面 则它们的交线也垂直于第三个平面 证明 2 题的关键是要灵活利用 1 题的结论 变式2如图 已知平面 平面 平面 平面 a b 且a b 求证 证明 如图 在平面 内作直线pq a 在平面 内作直线mn b 垂足分别为q n a pq 同理mn pq mn pq mn pq 同理a pq a pq a q 要点二线线 线面 面面垂直的综合应用在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直 最终达到目的 其转化关系如下 例3如图 在四棱锥p abcd中 侧面pad是正三角形 且与底面abcd垂直 底面abcd是边长为2的菱形 bad 60 n是pb的中点 过a d n三点的平面交pc于m e为ad的中点 求证 1 en 平面pdc 2 bc 平面peb 3 平面pbc 平面admn 分析 1 利用线面平行的判定定理证明 证en dm 2 先证ad 平面peb 再由ad bc证明 3 转化为证明pb 平面admn 证明 1 ad bc bc 平面pbc ad 平面pbc ad 平面pbc 又平面admn 平面pbc mn ad mn 又 bc ad mn bc 又n是pb的中点 点m为pc的中点 2 四边形abcd是边长为2的菱形 且 bad 60 be ad 又 侧面pad是正三角形 且e为中点 pe ad ad 平面pbe 又 ad bc bc 平面peb 3 由 2 知ad 平面pbe 又pb 平面pbe ad pb 又 pa ab n为pb的中点 an pb 且an ad a pb 平面admn 又 pb 平面pbc 平面pbc 平面admn 规律方法 运用平面垂直的性质定理时 一般需作辅助线 基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线 这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直 变式3如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 证明 1 设g为ad的中点 连接pg pad为正三角形 pg ad 在菱形abcd中 dab 60 g为ad的中点 bg ad 又bg pg g ad 平面pgb pb 平面pgb ad pb 2 当f为pc的中点时 满足平面def 平面abcd 取pc的中点f 连接de ef df 在 pb