高中数学 函数的概念（2）课件 新人教A版必修1.ppt

学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 1 设a b是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合a中的 在集合b中都有和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作 2 1 对于函数y f x x a 其中 x叫做自变量 x的取值范围a叫做 与x的值相对应的y值叫做 函数值的集合 f x x a 叫做函数的 2 函数的三要素 3 对于函数y f x 以下说法正确的有 填正确选项的序号 y是x的函数 对于不同的x y的值也不同 f a 表示当x a时 函数f x 的值 是一个常量 f x 一定可以用一个具体的式子表示出来 y f x x a 函数的定义域 函数值 值域 定义域a 值域b 对应关系 任意一个数x 唯一确定的数f x 4 函数y x2 x r 表明的 对应关系 是 它的定义域是 值域是 5 设a b是两个实数 而且a b 1 我们规定 满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间 表示为 满足不等式a x b的实数x的集合叫做 表示为 满足不等式a x b或a x b的实数x的集合叫做 分别表示为 a b 或 a b 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点 2 实数集r可以用区间表示为 读作 无穷大 3 我们可以把满足x a x b的实数x的集合表示为 b 6 求函数定义域的主要依据 整式函数的定义域为 分式的分母 偶次方根的被开方数是 求函数的值域主要有观察分析法 二次函数的法 二次方程的法等 取平方 r y y 0 a b 开区间 a b 半开半闭区间 a r 非负实数 配方 判别式 不等于0 学点一函数的概念 分析 两个函数是否为同一函数 取决于函数的定义域 值域 对应法则是否相同 故只需由此判定 下列各组函数中 表示同一函数的是 填正确选项的序号 1 f x x g x x2 2 f x g x x 1 3 评析 当两个函数相同时 需定义域 值域 对应法则分别相同 而当定义域相同 对应法则也相同时 值域必相同 故只需判定定义域和对应法则相同即可 若否定相同的函数可以从定义域 值域 对应法则三方面中找不同 只要找到一方面不同即可 解析 1 f x x 与g x x2 x 的解析式和定义域完全相同 所以是同一函数 2 f x x 1 x 1 与函数g x x 1的解析式相同 但定义域却不同 所以不是同一函数 3 求f x 的定义域 由x2 1 0得 x x 1或x 1 而g x 的定义域 由x 1 0 x 1 0 得x 1 即 x x 1 所以两函数定义域不同 故不是同一函数 下列函数中 哪个与函数相同 1 y x 2 y x 3 y 4 y 解 1 y x x 0 与y 定义域相同 但对应法则不相同 所以这两个函数是不同的 2 y x x 0 与y 对应法则是相同的 定义域也是相同的 所以这两个函数是相同的 3 y x 0 与函数y 对应法则不同 定义域也不相同 所以这两个函数是不同的 4 y x 0 与函数y x 0 对应法则是相同的 但它们的定义域不同 所以这两个函数不是同一个函数 学点二求具体函数的定义域 分析 要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围 可考虑列不等式或不等式组 求函数的定义域 评析 求函数的定义域主要是解不等式 组 或方程来获得 如果不加说明 所谓函数的定义域就是自变量使函数式有意义的集合 1 若f x 为整式 则定义域为r 2 若f x 为分式 则定义域是使分母不为零的x的集合 3 若f x 为偶次根式 则定义域为使被开方式非负的x的集合 学点三抽象函数的定义域 分析 正确理解函数定义域的概念 理解函数f x 定义域是x的取值范围 1 已知函数f x 的定义域是 0 4 求函数f x2 的定义域 2 已知函数f 2x 1 的定义域是 1 3 求函数f x 的定义域 3 已知函数f x2 2 的定义域是 1 求函数的定义域 评析 1 已知f x 的定义域 求f g x 的定义域 一般设u g x 则u的取值范围就是f x 的定义域 通过解不等式可求 2 已知f g x 的定义域为d 求f x 的定义域 就是求g x 在d上的值域 解析 1 f x 的定义域为 0 4 0 x2 4 x 2 0 0 2 f x2 的定义域为 2 2 2 f 2x 1 的定义域为 1 3 1 x 3 1 2x 1 7 f x 的定义域为 1 7 3 f x2 2 的定义域为 1 x 1 x2 2 1 x2 1 即x 2 的定义域为 2 1 f x 的定义域为 1 4 使f x 2 有意义的条件是1 x 2 4 即 1 x 2 故f x 2 的定义域为 1 2 2 的定义域为 0 3 1 x 1 4 1 2 f x 的定义域为 1 2 1 若函数f x 的定义域为 1 4 求f x 2 的定义域 2 若f的定义域为 0 3 求f x 的定义域 学点四函数的值域 分析 根据各个式子不同的结构特点 选择不同的方法 求下列函数的值域 1 y x2 4x 6 x 1 5 2 y 3 y 4 y 5 y 解析 1 配方得y x 2 2 2 x 1 5 由图可知函数的值域为 y 2 y 11 2 借助反比例函数的特征求解 函数的值域为 3 又 当x 1时 原式 函数的值域为 5 函数关系式中有根式 去掉根号的常用方法就是换元法 令x 1 t 则t 0 x t2 1 y 2 t2 1 t 2t2 t 2 t 0 y 函数y 2x x 1的值域是 4 该函数的分子 分母分别是关于x的二次式 因而可考虑转化为关于x的二次方程 然后利用判别式法求值域 已知函数式可变形为yx2 2yx 3y 2x2 4x 7 即 y 2 x2 2 y 2 x 3y 7 0 当y 2时 将上式视为关于x的一元二次方程 x r 0 即 2 y 2 2 4 y 2 3y 7 0 解得 y 2 当y 2时 3 2 7 0 y 2 函数的值域为 评析 求函数的值域是一个比较复杂的问题 要通过不断练习及时总结 根据不同的题目类型选择不同的方法 1 与二次函数有关的函数 可用配方法 注意定义域 2 形如y ax b 的形式 可用换元法 即设t 转化成二次函数 再求值域 注意t 0 3 形如y 型的函数可借助反比例函数 求其值域 这种函数的值域为 4 形如y a m中至少有一个不为零 的函数求值域 可用判别式法求值域 但要注意以下三个问题 一是检验当二次项系数为零时 方程是否有解 若无解或使函数无意义 都应从值域中去掉该值 二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在 三是分子分母必须无公因式 求下列函数的值域 1 y x2 2x x 0 3 2 y x 3 y x 1 x 2 1 y x2 2x x 1 2 1 如图所示 函数的值域为 1 3 3 解法一 运用绝对值的几何意义 x 1 x 2 的几何意义表示数轴上的动点x与 1以及2的距离的和 结合数轴 易得 x 1 x 2 3 函数的值域为 3 2 换元法 令 t t 0 则x 函数化为 t 0 y 函数y x 的值域为 解法二 转化为函数图象 运用数形结合法 在函数y x 1 x 2 中 由 x 1 0 x 2 0得x 1 2 把定义域分成三个区间 1 1 2 2 该函数图象如图所示 由图象知函数的值域为 3 学点五函数定义域 值域的应用 分析 利用函数定义域为r mx2 6mx m 8 0在r上恒成立建立不等式或不等式组求m 评析 二次函数定义域为r 二次不等式在r上恒成立 也可转化为二次函数与二次方程关系求解 函数y 的定义域是r 求实数m的取值范围 解析 1 当m 0时 y 定义域为r 2 当m 0时 由已知得 0 m 1 综上所述 m的取值范围为 0 1 若函数的定义域为r 求实数a的取值范围 依题意得当x r时 a2 1 x2 a 1 x 0恒成立 1 当a2 1 0 即当a2 1 0由a 1 0时 有a 1 此时有 a2 1 x2 a 1 x 1 可知当x r时 a2 1 x2 a 1 x 0恒成立 a 1 2 当a2 1 0 即当a2 1 0 a 1 2 4 a2 1 0时 有a2 1a2 10a 9 0 1 a 9 综上所述 当x r时 a的取值范围为 1 9 判断两个函数是否是同一函数 主要看定义域及化简后的解析式是否相同 该类问题主要考查对函数三要素的理解 1 如何判断两个函数是否相同 2 怎样求函数的定义域 应注意什么问题 求函数的定义域主要是通过解不等式 组 或方程来获得 一般地 我们约定 如果不加说明 函数的定义域就是自变量中使函数的解析式有意义的自变量的集合 1 若f x 是整式 则定义域为r 2 若y 则g x 0 且f x 有意义 3 若y 则f x 0 求函数的值域是一个比较复杂的问题 虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后 值域就应该完全确定了 但求值域特别要注意方法 常用的方法有 1 观察法 通过对函数解析式的简单变形 利用熟知的基本函数的值域 或利用函数图象的 最高点 和 最低点 观察求得函数的值域 这就是观察法 2 配方法 对二次函数型的解析式可先进行配方 在充分注意到自变量取值范围的情况下 利用求二次函数的值域的方法求函数的值域 这就是配方法 3 判别式法 将函数视为关于自变量的二次方程 利用判别式求函数值的范围 常用于求一些 分式 函数 无理函数等的值域 使用此法要特别注意自变量的取值范围 3 求函数的值域的方法有哪些 4 换元法 通过对函数的解析式进行适当换元 可将复杂的函数化归为几个简单的函数 从而利用基本函数的取值范围求函数的值域 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式 要靠自己在解题过程中进行进一步探索和积累 除了上述常用的方法外 还有最值法 数形结合法等 应注意选择最优的解法 总之 求函数的值域关键是要重视对应法则的作用 还要特别注意定义域对值域的制约 为便于判断两个函数解析式是否是同一个函数 对于复杂的解析式可先化简 再比较 化简时 应保持同解变形 也就是说既不能扩大也不能缩小未知数的允许值的范围 函数与其自变量用什么字母表示无关 只要定义域与对应法则相同就是相同的函数 这就是