中考数学复习 第三章函数及其图象 第13课 反比例函数及其图象课件.ppt

第13课反比例函数及其图象 1 概念 函数叫做反比例函数 2 图象 反比例函数的图象是双曲线 是不与两坐标轴相交的两条曲线 3 性质 1 当k 0时 其图象位于 在每个象限内 y随x的增大而 2 当k 0时 其图象位于 在每个象限内 y随x的增大而 3 其图象是关于原点对称的中心对称图形 又是轴对称图形 要点梳理 y k 0 第一 三象限 减小 第二 四象限 增大 4 应用 如图 点a和点c是反比例函数y k 0 的图象上任意两点 画ab x轴于b cd y轴于d 则有s aob s cod 1 理解反比例与反比例函数的关系判断两个变量x y是否为反比例关系 就是要看两个变量的乘积是不是一个非零常数 若两个变量的乘积是一个非零常数 则x与y成反比例 由此得到的函数就是反比例函数 否则就不是反比例函数 由此可见 反比例和反比例函数之间是有一定联系的 难点正本疑点清源 2 正确理解反比例函数的概念 掌握反比例函数式的几种关系要判断实际问题中的两个变量之间是否成反比例函数关系 应该先根据题意分析数量关系 列出函数关系式后再根据反比例函数的概念判断 如果待判定的函数关系式已经给出 则可以直接根据反比例函数的定义判断 y k 0 y kx 1 k 0 xy k k 0 都表明y是x的反比例函数 其中自变量的取值范围是x 0 则函数y 0 这些反比例函数式的变式 在解题过程中会碰到 因此要熟练掌握 3 掌握反比例函数图象的画法及特点 理解比例系数k的几何意义画出函数图象是研究函数性质的基础 由于反比例函数图象是两条曲线 一般每条曲线要描5个点 共10个点 描的点越多 所画的图象越准确 x的取值一般以0为中心 不包括0 对称地取值 用描点法画双曲线 要结合图象的特征连线 y轴两侧的点之间不能连接 由于反比例函数的图象是双曲线 双曲线中的两个分支关于原点对称 分别位于第一 三象限或第二 四象限 因此 对于在双曲线一个分支上的任意一点都能找到它在另一个分支上的对称点 由图象可得知比例系数k的几何意义 即过双曲线上任意一点作x轴 y轴的垂线 所得的矩形面积为 1 2011 枣庄 已知反比例函数y 下列结论中不正确的是 a 图象经过点 1 1 b 图象在第一 三象限c 当x 1时 0 y 1d 当x 0时 y随着x的增大而增大解析 双曲线y 分布于第一 三象限 当x 0时 y随x的增大而减小 基础自测 d 2 2011 邵阳 已知点 1 1 在反比例函数y k为常数 k 0 的图象上 则这个反比例函数的大致图象是 解析 据题意 k 1 1 1 0 双曲线在第一 三象限 选c c 3 2011 黄石 双曲线y 的图象经过第二 四象限 则k的取值范围是 a k b k c k d 不存在解析 当2k 1 0 即k 时 双曲线在第二 四象限 b 4 2011 淮安 如图 反比例函数y 的图象经过点a 1 2 则当x 1时 函数值y的取值范围是 a y 1b 0 y 1c y 2d 0 y 2解析 由题意 得k 1 2 2 y 当x 1时 y 2 当x 1时 观察图象 得0 y 2 d 5 2011 杭州 如图 函数y1 x 1和函数y2 的图象相交于点m 2 m n 1 n 若y1 y2 则x的取值范围是 a x2c 12解析 当x 2或 1时 y1 y2 当 12时 y1 y2 d 题型一反比例函数图象的确定 例1 已知图中的曲线是反比例函数y m为常数 图象的一支 1 这个反比例函数图象的另一支在第几象限 常数m的取值范围是什么 2 若该函数的图象与正比例函数y 2x的图象在第一象限内的交点为a 过a点作x轴的垂线 垂足为b 当 oab的面积为4时 求点a的坐标及反比例函数的解析式 题型分类深度剖析 解 1 这个反比例函数图象的另一支在第三象限 m 5 0 m 5 2 点a在直线y 2x上 设点a的坐标为 x0 2x0 x0 0 则点b的坐标为 x0 0 s oab 4 x0 2x0 4 x02 4 x0 2 舍去负值 点a的坐标为 2 4 又 点a在双曲线y 上 4 m 5 8 反比例函数的解析式为y 探究提高一次函数与比例函数的图象的性质取决于系数的值 同样由图象的性质 反过来也可以确定系数的符号 要熟记函数的性质并灵活应用这些性质 知能迁移1 2011 聊城 如图 已知一次函数y kx b的图象交反比例函数y x 0 图象于点a b 交x轴于点c 1 求m的取值范围 2 若点a的坐标是 2 4 且 求m的值和一次函数的解析式 解 1 因反比例函数的图象在第四象限 所以4 2m 0 解得m 2 2 点a 2 4 在反比例函数图象上 4 解得m 6 得y 过点a b分别作am oc于点m bn oc于点n 所以 bnc amc 90 又因为 bcn acm 所以 bcn acm 所以 因为 所以 即 因为am 4 所以bn 1 所以点b的纵坐标为 1 因为点b在反比例函数的图象上 所以当y 1时 x 8 所以点b的坐标为 8 1 因为一次函数y kx b的图象过点a 2 4 b 8 1 所以解得所以一次函数的解析式为y x 5 题型二待定系数法确定反比例函数解析式 例2 2011 济宁 如图 正比例函数y x的图象与反比例函数y k 0 在第一象限的图象交于a点 过a点作x轴的垂线 垂足为m 已知 oam的面积为1 1 求反比例函数的解析式 2 如果点b为反比例函数在第一象限图象上的点 点b与点a不重合 且b点的横坐标为1 在x轴上求一点p 使pa pb最小 解 1 设a点的坐标为 a b 则b ab k ab 1 k 1 k 2 反比例函数的解析式为y 2 由得 a为 2 1 b点横坐标为1 b 1 2 设a点关于x轴的对称点为c 则c点的坐标为 2 1 令直线bc的解析式为y mx n b为 1 2 bc的解析式为y 3x 5 当y 0时 x p点为 0 探究提高反比例函数表达式中只有一个待定系数 由一对已知对应值即可确定函数解析式 而一次函数中有两个待定系数 要求出其系数 需要已知两对对应值 知能迁移2已知 如图 正比例函数y ax的图象与反比例函数y 的图象交于点a 3 2 1 试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式 2 根据图象回答 在第一象限内 当x取何值时 反比例函数的值大于正比例函数的值 3 m是反比例函数图象上的一动点 其中0 m 3 过点m作直线mb x轴 交y轴于点b 过点a作直线ac y轴交x轴于点c 交直线mb于点d 当四边形oadm的面积为6时 请判断线段bm与dm的大小关系 并说明理由 解 1 直线y ax过点a 3 2 2 3a a y x 又 双曲线y 过点a 3 2 2 k 6 y 2 当0 x 3时 反比例函数的值大于正比例函数的值 3 bm dm 理由如下 s omb s oac k 3 s矩形obdc s四边形oadm 2s oac 3 3 6 12 即oc ob 12 oc 3 ob 4 即n 4 m mb md 3 mb md 题型三实际背景下的反比例函数的图象 例3 为了预防流感 某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间x 分钟 成正比例 药物释放完毕后 y与x成反比例 如图所示 根据图中提供的信息 解答下列问题 1 写出从药物释放开始 y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到0 45毫克以下时 学生方可进入教室 那么从药物释放开始 至少需要经过多少小时后 学生才能进入教室 解 1 当0 x12时 设y k2 xy 12 9 108 y 2 当y 0 45 得0 45 x 240 分钟 4 小时 答 至少需要经过4小时后 学生才能进入教室 探究提高问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系 而是二者的复合 这类题在函数综合应用中很普遍 注意在实际问题中提炼出函数模型 往往要加自变量的取值范围 知能迁移3如图 奥运圣火抵达某市奥林匹克中心广场后 沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递 动点t m n 表示火炬位置 火炬从离北京路10m处的m点开始传递 到离北京路1000m的n点时传递活动结束 迎圣火临时指挥部设在坐标原点o 北京路与奥运路的十字路口 oatb为少先队员鲜花方阵 方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000m2 路线宽度均不计 1 求图中反比例函数的关系式 不需写出自变量的取值范围 2 当鲜花方阵的周长为500m时 确定此时火炬的位置 用坐标表示 3 设t m n 用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离 当火炬离指挥部最近时 确定此时火炬的位置 用坐标表示 解 1 矩形的面积为10000 mn 10000 即k 10000 y 2 2 m n 500 m n 250 又mn 10000 解 组成的方程组 得 t点的坐标为 200 50 或 50 200 3 ot t 0时 ot有最小值 m n 0 m n 又mn 10000 t的坐标为 100 100 题型四反比例函数与几何图形的结合 例4 2011 广州 已知rt abc的斜边ab在平面直角坐标系的x轴上 点c 1 3 在反比例函数y 的图象上 且sin bac 1 求k的值和边ac的长 2 求点b的坐标 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 1 把c 1 3 代入y 得k 3 2分 设斜边ab上的高为cd 则sin bac c 1 3 cd 3 ac 5 4分 2 分两种情况讨论 当点b在点a右侧时 如图1 有 ad 4 ao 4 1 3 acd abc ac2 ad ab ab ob ab ao 3 此时b点坐标为 0 7分 当点b在点a左侧时 如图2 此时ao 4 1 5 ob ab ao 5 此时b点坐标为 0 10分 综上 点b的坐标为 0 或 0 12分 探究提高充分利用图中的几何知识 如相似的判定与性质 勾股定理 三角函数等相关知识来解题 特别注意点b在点a的左边或右边两种情况 知能迁移4如图 已知a 4 n b 2 4 是一次函数y kx b的图象和反比例函数y 的图象的两个交点 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 求直线ab与x轴的交点c的坐标及 aob的面积 3 求方程kx b 0的解 请直接写出答案 4 求不等式kx b 0的解集 请直接写出答案 解 1 b 2 4 在函数y 的图象上 m 8 反比例函数的解析式为y 点a 4 n 在函数y 的图象上 n 2 a 4 2 直线y kx b经过点a 4 2 b 2 4 解之 得 一次函数的解析式为 y x 2 2 c是直线ab与x轴的交点 当y 0时 x 2 点c 2 0 oc 2 s abo s aco s bco 2 2 2 4 6 3 x1 4 x2 2 4 42 5 易出错的双比例系数函数解析式考题再现 2010 兰州 已知 y y1 y2 y1与x2成正比例 y2与x成反比例 且x 1时 y 3 x 1时 y 1 求x 时 y的值 学生作答解 设y1 kx2 y2 y y1 y2 y kx2 把x 1 y 3代入上式 得3 k k k y x2 当x 时 y 2 3 答 当x 时 y的值是 易错警示 规范解答解 设y1 k1x2 y2 y y1 y2 y k1x2 把x 1 y 3 x 1 y 1分别代入上式 得解得 y 2x2 当x 时 y 2 2 2 答 当x 时 y的值是 老师忠告1 错解错在设y1 kx y2 时取了相同的比例系数k 由于这是两种不同的比例 其比例系数未必相同 应分别设y1 k1x y2 用两个不同字母k1 k2来表示两个不同的比例系数 2 在同一问题中 相同的字母只能表示同一个未知量 两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示 以免混淆 从而导致错误 方法与技巧牢固掌握本节知识点 树立函数思想 运用数形结合思想 注意与其他学科的结合 1 注意反比例函数中 xy k 的几何意义 图象上任意一点作x轴 y轴所形成矩形面积 和实际意义 2 比例系数k决定反比例函数y 图象的分布情况 具体见前面的要点梳理 要重视这些基础知识 3 关注与反比例函数有关的综合题 掌握其基本方法 如求交点坐标的方法等 4 解一次函数与反比例函