【提高练习】《等腰三角形》（数学沪科版八上）.docx

15.3等腰三角形提高练习本课时编写：合肥市五十中学新校天鹅湖校区 胡思文第1课时等腰三角形的性质定理及推论一、选择题1如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若1=25，则2的大小为（）A25 B35 C45 D552某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x1，则该三角形的周长为（）A11 B11或8 C11或8或5 D与x的取值有关3如图，等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC=45，则ACE等于（）A15 B30 C45 D604如图，AOB=60，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A平行B相交 C垂直 D平行、相交或垂直5如图，ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PDAB，PEBC，PFAC，若ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（）A12 B8C4D3二、填空题6如图，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，ABC=80，则ADC等于 7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50，那么这个等腰三角形的底角为 8如图，等腰ABC中，AB=AC，BAC=50，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则DBC的度数是 三、解答题9已知：如图，ABC中，AB=AC，点D是ABC内一点，且DB=DC，连接AD并延长，交BC于点E（1）依题意补全图；（2）求证：ADBC10如图，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQAD于点Q（1）求证：ABECAD；（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由第2课时一、选择题1如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则AOB=（）A30 B45 C60 D902如图：在ABC中，下列条件中能说明ABC是等边三角形的是（）AAB=AC，B=C BADBC，BD=CDCBC=AC，B=C DADBC，BAD=CAD3下面给出几种三角形：（1）有两个角为60的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个4已知：在ABC中，A=60，如要判定ABC是等边三角形，还需添加一个条件现有下面三种说法：如果添加条件“AB=AC”，那么ABC是等边三角形；如果添加条件“B=C”，那么ABC是等边三角形；如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么ABC是等边三角形上述说法中，正确的有（）A3个 B2个 C1个 D0个5如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（）A8个 B7个 C6个 D5个二、填空题6如果a，b，c为三角形的三边，且（ab）2+（ac）2+|bc|=0，则这个三角形是 7如果一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是 三角形8如图，在ABC中，BC=8cm，BP、CP分别是ABC和ACB的平分线，且PDAB，PEAC，则PDE的周长是 cm三、解答题9如图，在ABC中，AB=AC=2，B=C=40，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作ADE=40，DE交线段AC于E（1）当BDA=115时，EDC= ，DEC= ；点D从B向C运动时，BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，ABDDCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA的度数若不可以，请说明理由10如图，点O是等边ABC内一点，AOB=110，BOC=以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD（1）当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？第3课时一、选择题1如图，将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，则三角板的直角边的长为（）A3cm B6cm C8cm D9cm2如图，ABC中，C=90，B=30，AC=3，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）A3.5 B4.2 C5.8 D6.53如图，在ABC中，A=90，C=30，ADBC于D，BE是ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为（）A2B4C6 D84如图，在ABC中，AB=AC，C=30，ABAD，AD=4cm，求BC的长（）A8cm B12cmC15cmD16cm5如图，已知AOB=60，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A3B4C5D6二、填空题6如图，在等边ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作DEBC于点E，且CE=1.5，则AB的长为 7如果一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为 8在等腰ABC中，ADBC交直线BC于点D，若AD=BC，则ABC的顶角的度数为 三、解答题9如图，一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发，小岛P在轮船的北偏西15方向轮船每小时航行15海里，11时轮船到达点B处，小岛P此时在轮船的北偏西30方向（1）求此时轮船距小岛为多少海里？（2）在小岛P的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由10已知，如图RtABC中，BAC=90，AD是BC边上的高，B=2C，E是BC的中点求证：DE=AB参考答案第1课时1解：过点C作CDb，直线ab，CDab，4=1=25，ACB=60，3=ACB4=6025=35，2=3=35故选：B2解：当x=3时，此时2x1=5，3+35，能组成三角形，此时三角形的周长为：3+3+5=11，当x=2x1时，此时x=1，1+13，不能组成三角形，当2x1=3时，此时x=23+23，能组成三角形，此时三角形的周长为：3+3+2=8，故选：B3解：等边三角形ABC中，ADBC，BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，点E在AD上，BE=CE，EBC=ECB，EBC=45，ECB=45，ABC是等边三角形，ACB=60，ACE=ACBECB=15，故选：A4解：AOB=60，OA=OB，OAB是等边三角形，OA=AB，OAB=ABO=60当点C在线段OB上时，如图1，ACD是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC和ABD中，AOCABD，ABD=AOC=60，DBE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，当点C在OB的延长线上时，如图2，同的方法得出OABD，ACD是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC和ABD中，AOCABD，ABD=AOC=60，DBE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，故选：A5解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PDAB，PEBC，PFAC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，PG=BD，PE=HC，又ABC是等边三角形，又有PFAC，PDAB可得PFG，PDH是等边三角形，PF=PG=BD，PD=DH，又ABC的周长为12，PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=12=4，故选：C6解：AB=BC=BD，ADB=90ABD，CDB=90CBD，ADC=ADB+CDB=90ABD+90CBD=180（ABD+CBD）=18080=18040=140故答案为：1407解：如图一，ABC是等腰三角形，BDAC，ADB=90，ABD=50，在直角ABD中，A=9050=40，C=ABC=70；如图二，ABC是等腰三角形，BDAC，ADB=90，ABD=50，在直角ABD中，BAD=9050=40，又BAD=ABC+C，ABC=C，C=ABC=20故答案为：70或208解：AB=AC，A=40，ABC=（180A）=（18050）=65，MN垂直平分线AB，AD=BD，ABD=A=50，DBC=ABCABD=6550=15故答案为：159解：（1）如图所示，（2）AB=AC，点A在BC的垂直平分线上，BE=CE，点E在BC的垂直平分线上，A、E都在BC的垂直平分线上，延长AE交BC边于点D，ADBC10（1）证明：ABC为等边三角形AB=AC，BAC=ACB=60，在BAE和ACD中：BAEACD（2）答：BP=2PQ证明：BAEACD，ABE=CADBPQ为ABP外角，BPQ=ABE+BADBPQ=CAD+BAD=BAC=60BQAD，PBQ=30，BP=2PQ第2课时1解：连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，AOB是等边三角形，AOB=60故选：C2解：A、AB=AC，B=C，只能说明ABC是等腰三角形，错误；B、ADBC，BD=CD，只能说明ABC是等腰三角形，错误；C、BC=AC，B=C，能说明ABC是等边三角形，正确；D、ADBC，BAD=CAD，只能说明ABC是等腰三角形，错误；故选：C3解：有三角都是60，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（4）推出等边三角形，（2）若每个角各取一个外角时，该结论成立而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形故选：C4解：若添加的条件为AB=AC，由A=60，利用有一个角为60的等腰三角形为等边三角形可得出ABC为等边三角形；若添加条件为B=C，又A=60，B=C=60，A=B=C，则ABC为等边三角形；若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知：BAC=60，AEBC，CDAB，且AE=CD，求证：ABC为等边三角形证明：AEBC，CDAB，ADC=AEC=90，在RtADC和RtCEA中，RtADCRtCEA（HL），ACE=BAC=60，BAC=B=ACB=60，AB=AC=BC，即ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个故选：A5解：AB=AC，A=36，ABC=ACB=（180A）=72，BD，CE是角平分线，ABD=DBC=ABC=36，ACE=ECB=36，A=ABD=ACE，DBC=ECB，BDC=180ACBDBC=1807236=72，同理BEC=72，BDC=ACB，BEC=EBC，EOB=180BECEBD=1807236=72，同理DOC=72，BEO=BOE，CDO=COD，即等腰三角形有OBC，ADB，AEC，BEC，BDC，ABC，EBO，DCO，共8个，故选：A6解：（ab）2+（ac）2+|bc|=0，ab=0，ac=0，bc=0，a=b，a=c，b=c，a=b=c，这个三角形是等边三角形；故答案为：等边三角形7解：等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一），如果一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是等边三角形8解：BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线，ABP=PBD，ACP=PCE，PDAB，PEAC，ABP=BPD，ACP=CPE，PBD=BPD，PCE=CPE，BD=PD，CE=PE，PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm故答案是：89解：（1）EDC=180ADBADE=18011540=25，DEC=180EDCC=1804025=115，BDA逐渐变小；故答案为：25，115，小；（2）当DC=2时，ABDDCE，理由：C=40，DEC+EDC=140，又ADE=40，ADB+EDC=140，ADB=DEC，又AB=DC=2，ABDDCE（AAS），（3）当BDA的度数为110或80时，ADE的形状是等腰三角形，理由：BDA=110时，ADC=70，C=40，DAC=70，AED=C+EDC=30+40=70，DAC=AED，ADE的形状是等腰三角形；当BDA的度数为80时，ADC=100，C=40，DAC=40，DAC=ADE，ADE的形状是等腰三角形10解：（1）OCD是等边三角形，OC=CD，而ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=OCD=60，BCO=ACD，在BOC与ADC中，BOCADC，BOC=ADC，而BOC=150，ODC=60，ADO=15060=90，ADO是直角三角形；（2）设CBO=CAD=a，ABO=b，BAO=c，CAO=d，则a+b=60，b+c=180110=70，c+d=60，bd=10，（60a）d=10，a+d=50，即DAO=50，要使AO=AD，需AOD=ADO，190=60，=125；要使OA=OD，需OAD=ADO，60=50，=110；要使OD=AD，需OAD=AOD，190=50，=140所以当为110、125、140时，三角形AOD是等腰三角形第3课时1解：过点C作CDAD，CD=3cm，在直角三角形ADC中，CAD=30，AC=2CD=23=6cm故选：B2解：ABC中，C=90，B=30，AC=3，AB=2AC=6，即AP的范围是3AP6，6.5不在范围内；故选：D3解：ABC中，BAC=90，C=30，ABC=60又BE是ABC的平分线，EBC=30，AEB=C+EBC=60，C=EBC，AEP=60，BE=EC又ADBC，CAD=EAP=60，则AEP=EAP=60，AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角AEB中，ABE=30，则EB=2AE=4，BE=EC=4，AC=CE+AE=6故选：C4解：AB=AC，C=30，B=C=30，BAC=120，ABAD，BAD=90，AD=4cm，BD=2AD=8cm，DAC=12090=30，DAC=C，AD=DC=4cm，BC=BD+DC=8cm+4cm=12cm，故选：B5解：作PHMN于H，PM=PN，MH=NH=MN=1，AOB=60，OPH=30