通信中的随机过程.doc

ALPHA-STABLE 分布概述高斯分布是一类被广泛应用的分布，也称正态分布。对于一维随机变量 X，若其概率密度函数为：px=12exp-x-222,0则称其分布为高斯分布或正态分布，记为XN(,2) ，其中 和2为分布的参数，分别为高斯分布的期望和方差。当 = 0, 2= 1时， X 的分布为标准正态分布。正态分布最早由棣莫佛于 1730 年在求二项分布的渐近公式时得到；后拉普拉斯于 1812 年研究极限定理时也被引入；高斯（Gauss）则于 1809 年在研究误差理论时也导出了它。高斯分布的函数图像是一条位于 x 轴上方呈钟形的曲线，称为高斯分布曲线（高斯曲线）。高斯分布是一种理想的分布，有很好的性质，在数据分析领域占有重要地位。在传统的滤波理论方法中，对噪声的分布主要假设为高斯型。根据中心极限定理，这个假设是合理的，而且这个假设为信号处理带来了极大的方便。例如，信号处理模型存在简易的封闭表达式，而且这些表达式通常都是线性的；而高斯变量的线性组合也是高斯的。又如，在通信系统中，接收机的设计通常假定信道中的加性噪声是高斯白噪声。这是因为在高斯白噪声假设下，容易得到信号处理问题的解析解，并且能够简化接收机的结构。另外，高斯分布密度函数值仅需要均值和方差两个统计量就足以表达。因此基于高斯假设的各种滤波理论、方法得到了充分发展。然而，高斯分布的缺点也逐渐显现出来。因为高斯分布只用到了一阶和二阶统计量，而对于更高阶的统计量则无法利用。如在独立分量分析（ICA，independent component analysis）中，要求数据的分布必须是非高斯的，因为 ICA 中用到了二阶以上的统计量。在现实世界中，许多信号和噪声源都不是高斯的，它们都具有某种冲击特性。比如音频信号、水下声纳采集信号、雷达和卫星通信中的接受噪声、大气的放电现象、海洋动物和冰裂引起的海洋音频噪声、远程电话的转换以及一些金融时间序列等等，都表现出比高斯噪声显著得多的冲击性。即这些噪声的某些瞬间值会远远超过其均值。高斯分布的方差是有限的，事实上，我们有许多具有无限方差的非高斯分布的例子。ALPHA-STABLE 分布就是一种具有无限方差的非高斯分布，因此所有的依赖于二阶统计量的传统的信号处理方法都处理不了 ALPHA-STABLE 分布的数据，继续采用原始的方法，将得到不可靠的甚至是错误的结论。ALPHA-STABLE分布没有一个确定的概率密度函数和分布函数，只有特征函数是可以解析表示的。然而 ALPHA-STABLE 分布可以更好地描述实际应用中所遇到的具有显著脉冲特性的随机信号和噪声。ALPHA-STABLE 分布的一个重要特性就是该分布的ALPHA 阶及以上的各阶统计量均是无穷大。根据 Levy 的广义中心极限定理，ALPHA-STABLE 分布是唯一的一类构成独立同分布随机变量之和的极限分布，它比高斯分布有更广泛的适用性。ALPHA-STABLE 分布具有所有稳定分布的特性，它是高斯分布的一般化。ALPHA-STABLE 分布是一大类具有广泛代表性的随机分布模型，除了少数特例外，它的概率密度函数没有统一的封闭表达式，但 ALPHA-STABLE 分布的特征函数存在统一的形式：z=expjz-z1+jsign(z)w(z,)其中：wz,=tan2 12logz =1signz=1 z00 z=0-1 z0并且：-0，02，-11。 特别的：在此处键入公式。高斯分布：=2并且=0。此时=22;柯西分布：=1并且=0；皮尔森分布：=1/2并且=-1。定义02的ALPHA-STABLE分布为非高斯ALPHA-STABLE分布以区别于 = 2的高斯分布，两者的主要区别是非高斯 ALPHA-STABLE 分布概率密度比高斯分布概率密度有更厚的拖尾。ALPHA-STABLE分布的性质：1）、根据广义中心极限定理，如果独立同分布的随机变量和的极限存在，那么这个和的极限是一个稳定分布