高中数学 1.3.2.2 函数奇偶性的应用课件 新人教A版必修1.ppt

第一章集合与函数概念 1 3函数的基本性质 1 3 2奇偶性 第2课时函数奇偶性的应用 研习新知 新知视界1 奇 偶 函数图象的对称性 1 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 2 如果一个函数是偶函数 则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 2 函数奇偶性与单调性 最值 之间的关系 1 若奇函数f x 在 a b 上是增函数 且有最大值m 则f x 在 b a 上是增函数 且有最小值 m 2 若偶函数f x 在 0 上是减函数 则f x 在 0 上是增函数 解析 f x 是奇函数 f a f a 即自变量取 a时 函数值为 f a 故图象必过点 a f a 答案 c 2 若函数y f x 是偶函数 其图象与x轴有两个交点 则方程f x 0的所有实根之和是 a 2b 1c 0d 1解析 偶函数图象关于y轴对称 f x 与x轴的两个交点关于y轴对称 若一根为x1 则另一根必为 x1 故f x 0的所有实根之和为0 答案 c 3 已知f x 在r上是奇函数 且满足f x 4 f x 当x 0 2 时 f x 2x2 则f 7 a 2b 2c 98d 98 解析 f x 4 f x f 7 f 3 4 f 3 f 4 1 f 1 又 f x f x f 1 f 1 2 12 2 f 7 2 故选a 答案 a 4 偶函数f x 在区间 0 上的图象如图1 则函数f x 的增区间为 图1答案 1 0 1 互动课堂 典例导悟类型一利用函数奇偶性和单调性解不等式 例1 设定义在 2 2 上的奇函数f x 在区间 0 2 上单调递减 若f 1 m f m 求实数m的取值范围 分析 利用奇函数性质知f x 在 2 2 上是减函数 再结合单调性 脱去符号 f 转化为关于m的不等式 组 点评 解决此类问题时 一定要充分利用已知的条件 奇函数在关于原点的对称区间上单调性一致 偶函数的单调性相反 另外 函数自身定义域对参数的影响很容易漏掉 从而导致错解 求解时应特别注意 变式体验1如果奇函数f x 在区间 5 3 上是增函数 且最大值是 4 那么f x 在x 3 5 上是 a 增函数且最大值是4b 增函数且最小值是4c 减函数且最大值是4d 减函数且最小值是4 解析 作一个符合条件的函数的简图 观察图形 可知f x 在 3 5 上是增函数 且最小值为4 答案 b 类型二抽象函数的奇偶性问题 例2 已知f x 是定义在r上的不恒为零的函数 且对任意的a b r都满足 f ab af b bf a 1 求f 0 f 1 的值 2 证明f x 为奇函数 解 1 令a b 0 f 0 0f 0 0f 0 0 令a b 1 f 1 1f 1 1f 1 2f 1 f 1 0 2 证明 a b r 可赋a b为某些特殊值 令a b 1 则f 1 0 f x f 1 x f x xf 1 f x 0 f x 为奇函数 变式体验2已知函数f x 对一切x y r都有f x y f x f y 1 求证 f x 是奇函数 2 若f 3 a 用a表示f 12 分析 判定函数的奇偶性应凑f x 的形式 令y x即可 解 1 证明 由题意知 f x 的定义域是r 它关于原点对称 在f x y f x f y 中 令y x 得f 0 f x f x 令x y 0 得f 0 f 0 f 0 f 0 0 把f 0 0代入f 0 f x f x 得f x f x f x 是奇函数 2 解 由f 3 a f x y f x f y f x 是奇函数 得f 12 2f 6 4f 3 4f 3 4a x12 1 0 x22 1 0 x2 x1 0 而x1 x2 0 1 时 x1x2 10 当x1 x2 0 1 时 f x1 f x2 0 函数y f x 是增函数 当x1 x2 1 时 f x1 f x2 0 函数y f x 是减函数 又f x 是奇函数 f x 在 1 0 上是增函数 在 1 上是减函数 点评 当f x 是奇函数且在x 0有意义时f 0 0 本题可利用f 0 0求得a 0 但f 0 0时f x 不一定是奇函数 需对a 0时结合其他条件检验f x 是奇函数 解 f x 在 0 上是减函数 证明如下 任取x1 x2 0 且x1 x2 0 y f x 在 0 上是增函数 且f x 0 f x2 f x1 0 又 f x 是奇函数 f x2 f x2 f x1 f x1 思悟升华1 奇偶性是函数在定义域上的对称性质 单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势 函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质 在解答数学问题时 要善于应用函数的观点