高三数学二轮复习 9.4转化与化归思想课件.ppt

理解转化与化归是高中数学的重要思想方法 会运用转化与化归思想解决问题 数学问题的解答离不开转化与化归 它既是一种数学思想又是一种数学能力 高考对这种思想方法的考查所占比重很大 是历年高考考查的重点 诸如常量与变量的转化 数与形的转化 实际问题向数学模型的转化 以及数学各分支之间的转化都是高考的热点问题 特别是实施新课标之后 高考考题不再向数学知识的纵深发展 而是以基础知识为出发点 转化与化归思想在解决问题中起到了更大的作用 化归是转化与归结的简称 其基本内涵是 人们在解决数学问题时 常常将待解决的问题a 通过某种转化手段 归结为另一问题b 而问题b是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题 且通过问题b的解决可以得到原问题a的解 用框图可直观地表示为 其中问题b称为化归目标或方向 转化的手段称为化归策略 化归思想有着坚实的客观基础 它着眼于揭示联系 实现转化 通过矛盾转化解决问题 2 化归的原则 1 目标简单化原则 即复杂的问题向简单的问题转化 2 和谐统一性原则 即化归应朝着待解决的问题在表现形式上趋于和谐 在量 形 关系上趋于统一的方向进行 使问题的条件和结论更均匀和恰当 3 具体化原则 即化归方向应由抽象到具体 4 低层次原则 即将高维空间问题化归成低维空间问题 基于上述原则 化归就有一定的策略 我们在应用化归方法时 应 有章可循 有法可依 通常可以从以下几个方面去考虑 1 抽象问题与具体问题化归 2 一般问题与特殊问题化归 3 正向思维与逆向思维化归 4 命题与等价命题化归 3 转化与化归的常见方法 1 直接转化法 把原问题直接转化为基本定理 基本公式或基本图形问题 2 换元法 运用 换元 把超越式转化为有理式或使整式降幂等 把较复杂的函数 方程 不等式问题转化为易于解决的基本问题 3 数形结合法 研究原问题中数量关系 解析式 与空间形式 图形 关系 通过互相变换获得转化途径 4 参数法 引进参数 使原问题的变换具有灵活性 易于转化 5 构造法 构造 一个合适的数学模型 把问题变为易于解决的问题 6 坐标法 以坐标系为工具 用计算方法解决几何问题 是转化方法的一个重要途径 7 类比法 运用类比推理 猜测问题的结论 易于确定转化途径 8 特殊化方法 把原问题的形式向特殊化形式转化 并证明特殊化后的结论适合原问题 9 一般化方法 若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决 可将问题通过一般化的途径进行转化 10 等价问题法 把原问题转化为一个易于解决的等价命题 达到转化目的 11 加强命题法 在证明不等式时 原命题难以得证 往往把命题的结论加强 即把命题的结论加强为原命题的充分条件 从而能将原命题转化为一个较易证明的命题 加强命题法是非等价转化方法 12 补集法 如果正面解决原问题有困难 可把原问题结果看作集合a 而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集u 通过解决全集u及补集 ua获得原问题的解决 以上所列的一些方法是互相交叉的 不能截然分割 例2 已知a r 求函数y a sinx a cosx 的最小值 分析 y a sinx a cosx a2 a sinx cosx sinxcosx 而sinx cosx与sinxcosx有联系 可设t sinx cosx 则原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题 例3 试求常数m的范围 使曲线y x2的所有弦都不能被直线y m x 3 垂直平分 分析 正面解决较难 考虑到 不能 的反面是 能 被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称 于是问题转化为 抛物线y x2上存在两点关于直线y m x 3 对称 求m的取值范围 再求出m的取值集合的补集即为原问题的解 评析 1 在运用补集的思想解题时 一定要搞清结论的反面是什么 所有弦都不能被直线y m x 3 垂直平分 的反面是 至少存在一条弦能被直线y m x 3 垂直平分 而不是 所有的弦都能被直线y m x 3 垂直平分 2 在探讨某一问题的解决办法时 如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难 则应从反面的方向去探索 2011 江苏启东5月 已知集合a y y2 a2 a 1 y a a2 1 0 b y y2 6y 8 0 若a b 则实数a的取值范围为 解析 由题意得a y y a2 1或y a b y 2 y 4 我们不妨先考虑当a b 时a的取值范围 如图 例4 如图 在四面体abcd中 cb cd ad bd 点e f分别是ab bd的中点 求证 1 直线ef 平面acd 2 平面efc 平面bcd 分析 证明线面平行 常用方法是转化为证线线平行或面面平行 证明面面垂直 常常转化为线面垂直 解析 1 在 abd中 因为e f分别是ab bd的中点 所以ef ad 又ad 平面acd ef 平面acd 所以直线ef 平面acd 2 在 abd中 因为ad bd ef ad 所以ef bd 在 bcd中 因为cd cb f为bd的中点 所以cf bd 因为ef 平面ef