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第八章圆锥曲线方程 双曲线 第讲 2 第二课时 1 过双曲线x2 y2 4的右焦点f作倾斜角为105 的直线 交双曲线于p q两点 求 fp fq 的值 题型3双曲线背景下的求值问题 解 如右图所示 分别过点p q作pm qn垂直于双曲线x2 y2 4的右准线l x 垂足分别为m n 则由双曲线的第二定义可得即得又因为即 所以同理可得所以 点评 双曲线上一点与焦点的连线段称为一条焦半径 焦半径 点准距 点到相应准线的距离 离心率三者之间的关系式是我们解决有关双曲线距离的重要关系式 2010 北京卷 已知双曲线 1的离心率为2 焦点与椭圆 1的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 解 由题意得 椭圆 1的焦点的横坐标为 4 由e 2 得a 2 所以b 2 故双曲线的焦点坐标为 4 0 渐近线方程为y x 即x y 0 2 已知双曲线c的方程为离心率e 顶点到渐近线的距离为 1 求双曲线c的方程 2 p是双曲线c上一点 a b两点在双曲线c的两条渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 2 求 aob面积的取值范围 解法1 1 由题意知 双曲线c的顶点 0 a 到渐近线ax by 0的距离为 题型4在双曲线背景下求参变量的取值范围 所以即由得所以双曲线c的方程为 2 由 1 知双曲线c的两条渐近线方程为y 2x 设a m 2m b n 2n m 0 n 0 由得p点的坐标为 将p点的坐标代入化简得设 aob 2 因为tan 2 所以又 oa 5m ob 5n 所以记由s 0 得 1 又当 1时 aob的面积取得最小值2 当 时 aob的面积取得最大值 所以 aob面积的取值范围是 2 解法2 1 同解法1 2 设直线ab的方程为y kx m 由题意知 k 0 由得a点的坐标为由得b点的坐标为 由得p点的坐标为将p点坐标代入得设q为直线ab与y轴的交点 则q点的坐标为 0 m 以下同解法1 点评 求参数或式子的取值范围问题 其策略是先根据条件选设主参数 然后利用已知条件和相关性质 如双曲线上的点的横坐标 离心率的范围 求解相应的不等式或函数式 即可解决所求问题 已知点f1 f2分别为双曲线的左 右焦点 点p为双曲线右支上任意一点 试推断对任意给定的点p 在x轴上是否存在两个不同的点m 使 pm 2 pf1 pf2 成立 解 设点p x0 y0 x0 4 m m 0 则 题型双曲线有关性质的探究与证明 且所以由得即m2 2mx0 7 0 因为 4x02 28 4 16 28 36 0 所以方程 恒有两个不等实根 故对任意一个确定的点p 在x轴上总存在两个不同的点m 使 pm 2 pf1 pf2 成立 1 由c2 a2 b2及a b的几何意义可知 双曲线实轴一端点与虚轴一端点的连线段长等于半焦距 2 过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线 其垂足在相应的准线上 且焦点到一条渐近线的距离等于双曲线的虚半轴长 3 对于圆锥曲线问题上的一些动点
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