三角函数、不等式、函数及导数复习.doc

函数与导数题型一函数的单调性、极值、最值问题例1已知函数f(x)(xR).其中aR.(1)当a1时,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(2)当a0时,求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)当a1时,f(x),f(2),又f(x),f(2).所以,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y(x2),即6x25y320.(2)f(x).由于a0,以下分两种情况讨论.当a0,令f(x)0,得到x1,x2a.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x(,)(,a)a(a,)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在区间,(a,)内为减函数,在区间内为增函数.函数f(x)在x1处取得极小值f,且fa2.函数f(x)在x2a处取得极大值f(a),且f(a)1.当a0时,令f(x)0,得到x1a,x2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x(,a)a(a,)(,)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在区间(,a),内为增函数,在区间内为减函数.函数f(x)在x1a处取得极大值f(a),且f(a)1.函数f(x)在x2处取得极小值f(),且fa2.答题过程：第一步：确定函数的定义域.如本题函数的定义域为R.第二步：求f(x)的导数f(x).第三步：求方程f(x)0的根.第四步：利用f(x)0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间,并列出表格.第五步：由f(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性.第六步：明确规范地表述结论.第七步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题中f(x)0的根为x1,x2a.要确定x1,x2的大小,就必须对a的正、负进行分类讨论.这就是本题的关键点和易错点.训练1设f(x),其中a为正实数.(1)当a时,求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.题型二导数与不等式问题例2设函数f(x)定义在(0,)上,f(1)0,导函数f(x),g(x)f(x)f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)是否存在x00,使得|g(x)g(x0)|0成立？若存在,求出x0的取值范围；若不存在,请说明理由.解(1)由题设易知f(x)ln x,g(x)ln x,g(x),令g(x)0,得x1,当x(0,1)时,g(x)0.故(1,)是g(x)的单调增区间,因此,x1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)1.(2)gln xx,设h(x)g(x)g2ln xx,则h(x),当x1时,h(1)0,即g(x)g,当x(0,1)(1,)时,h(x)1时,h(x)h(1)0,即g(x)g.当0xh(1)0,即g(x)g,(3)满足条件的x0不存在.证明如下：假设存在x00,使|g(x)g(x0)|0成立,即对任意x0,有ln xg(x0)0,使|g(x)g(x0)|0成立.答题过程：第一步：构造函数h(x)g(x)g；第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h(x)的单调性；第三步：根据h(x)的单调性比较h(x)和0的大小；第四步：下结论,反思回顾.训练2已知函数f(x)(x23x3)ex,x2,t (t2). (1)当t1时,求函数yf(x)的单调区间；(2)设f(2)m,f(t)n,求证：m0,x1,x2是方程x2ax20的两个非零实根,x1x2a,x1x22,从而|x1x2|.1a1,|x1x2|3.要使不等式m2tm1|x1x2|对任意aA及t1,1恒成立,当且仅当m2tm13对任意t1,1恒成立.即m2tm20,对任意t1,1恒成立.设g(t)m2tm2mt(m22),则m2或m2.综上知：存在实数m,使得不等式m2tm1|x1x2|对任意aA及t1,1恒成立,其取值范围是m|m2或m2.答题过程：第一步：将问题转化为形如不等式f(x)a(或f(x)a)恒成立的问题.第二步：求函数f(x)的最小值f(x)min或f(x)的最大值f(x)max.第三步：解不等式f(x)mina(或f(x)maxa).第四步：明确规范地表述结论.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及规范解答.如本题重点反思每一步转化的目标及合理性,最大或最小值是否正确.训练3已知函数f(x)aln xbx2图象上点P(1,f(1)处的切线方程为2xy30.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)函数g(x)f(x)mln 4,若方程g(x)0在上恰有两解,求实数m的取值范围.函数与导数练习：1.若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x) 的定义域是 ()A.0,1 B.0,1)C.0,1)(1,4 D.(0,1)2.设函数g(x)x22(xR)，f(x)则f(x)的值域是()A.，0(1，) B.0，)C.，) D.，0(2，)3.若方程xlg(x2)1的实根在区间(k，k1) (kZ)上，则k等于()A.2 B.1C.2或1 D.04.已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为_.5.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x B.aC.a0)，则yf(x)()A.在区间，(1，e)内均有零点B.在区间，(1，e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点9.函数f(x)cos x在0，)内()A.没有零点 B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点10.设alog3，blog2，clog3，则()A.abc B.acb C.bac D.bca11.定义xy3xy，则a(aa)等于()A.a B.3a C.a D.3a12/已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有()A.10个 B.9个 C.8个 D.1个13.已知函数f(x)x3ax2xc，且af.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)x3ex，若函数g(x)在x3，2上单调递增，求实数c的取值范围.14.已知函数f(x)aln x(a0，aR).(1)若a1，求函数f(x)的极值和单调区间；(2)若a0且在区间(0，e上至少存在一点x0，使得f(x0)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxA成立，则等价于在区间D上f(x)maxA；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立，则等价于在区间D上f(x)minA在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)0，b0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A.8 B.4 C.1 D.3.若函数f(x)x (x2)在xa处取最小值，则a等于()A.1 B.1C.3 D.44.设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y1的最大值为()A.11 B.10 C.9 D.8.55.已知函数(I)求不等式6的解集；()若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围6.已知函数()若不等式的解集为，求实数a的值；()在()的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围三角函数1.已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)若角在第一象限,且cos ,求f().2.已知x0，)的图象如图所示，则_.9.如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为 ()A. B. C. D.10.已知函数f(x)sin xcos x，xR，若f(x)1，则x的取值范围为 ()A.x|kxk，kZB.x|2kx2k，kZC.x|kxk，kZD.x|2kx2k，kZ11.存在(0，)使sin cos ；存在区间(a，