《数字信号处理教学课件》iir滤波器.ppt

IIR滤波器的设计 一 模拟低通滤波器的设计 1 巴特沃思低通滤波器的设计 MATLAB提供了一个叫做 z p k buttap N 的函数 来设计N阶归一化的巴特沃思模拟原形滤波器 它返回数组z和p 零点和极点 以及增益k 但是 我们需要具有任意 c的未归一化的巴特沃思滤波器 可以用自定义的u buttap N Omegac 函数来设计未归一化的巴特沃思模拟原形滤波器 function b a u buttap N Omegac b a u buttap N Omegac b numeratorpolynomialcoefficientsofHa s a denominatorpolynomialcoefficientsofHa s N OrderoftheButterworthFilter Omegac Cutofffrequencyinradians sec z p k buttap N z p k为归一化的零 极点和增益p p Omegac 极点去归一化k k Omegac N 增益乘B real poly z 由零点恢复多项式B z b0 k b k B a real poly p 由极点恢复多项式A z 模拟低通滤波器是由参数 p Rp s和As描述的 设计巴特沃思滤波器的基本思想是根据这些指标得到阶数N和截止频率 c 可以编写函数afd butt来实现 function b a afd butt Wp Ws Rp As ifWp0 endifWsPassbandedge endif Rp0 end N ceil log10 10 Rp 10 1 10 As 10 1 2 log10 Wp Ws fprintf n ButterworthFilterOrder 2 0f n N OmegaC Wp 10 Rp 10 1 1 2 N b a u buttap N OmegaC 例1 设计一个低通巴特沃思滤波器 以满足 通带截止频率 p 0 2 通带波动 Rp 7dB阻带截止频率 s 0 3 阻带波动 As 16dB wp 0 2 pi Ws 0 3 pi Rp 7 As 16 模拟滤波器设计 b a afd butt Wp Ws Rp As 计算频率响应 w 0 1 500 pi 500 h freqs b a w 画图subplot 2 2 1 plot w pi abs h title 幅度响应 grid subplot 2 2 3 plot w pi 20 log10 abs h title 幅度响应 dB grid subplot 2 2 2 plot w pi angle h 180 pi title 相位响应 grid subplot 2 2 4 impulse b a title 脉冲响应 grid 2 切比雪夫 型低通滤波器的设计 MATLAB提供了一个函数 z p k cheblap N Rp 来设计一个阶数为N 通带波动为Rp的归一化切比雪夫 型原型滤波器 可以自编写函数u chblap用于设计一个未归一化的切比雪夫 型原型滤波器 它返回直接形式的Ha s 以函数u chblap为基础 可以编写一个afd chb1函数 它根据给定的技术指标设计模拟切比雪夫 型滤波器 例2 设计一个低通切比雪夫 型滤波器 以满足 通带截止频率 p 0 2 通带波动 Rp 1dB阻带截止频率 s 0 3 阻带波动 As 16dB Wp 0 2 pi Ws 0 3 pi Rp 1 As 16 模拟滤波器设计 b a afd chb1 Wp Ws Rp As 计算频率响应 w 0 1 500 pi 500 h freqs b a w 画图subplot 2 2 1 plot w pi abs h title 幅度响应 grid subplot 2 2 3 plot w pi 20 log10 abs h title 幅度响应 dB grid subplot 2 2 2 plot w pi angle h 180 pi title 相位响应 grid subplot 2 2 4 impulse b a title 脉冲响应 grid 3 切比雪夫 型低通滤波器的设计 MATLAB提供了一个函数 z p k cheb2ap N As 来设计一个阶数为N 通带波动为As的归一化切比雪夫 型原型滤波器 函数u chb2ap用于设计一个未归一化的切比雪夫 型原型滤波器 它返回直接形式的Ha s 以函数u chb2ap为基础 可以编写了一个afd chb2函数 它根据给定的技术指标设计模拟切比雪夫 型滤波器 例3 设计一个低通切比雪夫 型滤波器 以满足 通带截止频率 p 0 2 通带波动 Rp 1dB阻带截止频率 s 0 3 阻带波动 As 16dB Wp 0 2 pi Ws 0 3 pi Rp 1 As 16 模拟滤波器设计 b a afd chb2 Wp Ws Rp As 计算频率响应 w 0 1 500 pi 500 h freqs b a w 画图subplot 2 2 1 plot w pi abs h title 幅度响应 grid subplot 2 2 3 plot w pi 20 log10 abs h title 幅度响应 dB grid subplot 2 2 2 plot w pi angle h pi title 相位响应 grid subplot 2 2 4 impulse b a title 脉冲响应 grid 4 椭圆低通滤波器的设计 MATLAB提供了一个函数 z p k ellipap N Rp As 来设计一个阶数为N 通带波动为Rp 阻带衰减为As的归一化椭圆原型滤波器 函数u elipap用于设计一个未归一化的椭圆原型滤波器 它返回直接形式的Ha s 以函数u elipap为基础 我们提供了一个afd elip函数 它根据给定的技术指标设计模拟椭圆低通滤波器 例4 设计一个低通椭圆滤波器 以满足 通带截止频率 p 0 2 通带波动 Rp 1dB阻带截止频率 s 0 3 阻带波动 As 16dB wp 0 2 pi Ws 0 3 pi Rp 1 As 16 模拟滤波器设计 b a afd elip Wp Ws Rp As 计算频率响应 w 0 1 500 pi 500 h freqs b a w 画图subplot 2 2 1 plot w pi abs h title 幅度响应 grid subplot 2 2 3 plot w pi 20 log10 abs h title 幅度响应 dB grid subplot 2 2 2 plot w pi angle h pi title 相位响应 grid subplot 2 2 4 impulse b a title 脉冲响应 grid 二 模拟 数字滤波器变换 1 脉冲响应不变变换 脉冲响应不变变换法的步骤如下 1 确定T并选择模拟频率 p p T s s T2 根据指标 p Rp s和As 设计模拟滤波器Ha s 这可由上面所讲的三种原形之一来实现 3 利用部分分式展开式 把Ha s 展成 4 把模拟极点 Pk 转换成数字极点 得到数字滤波器 MATLAB工具箱提供了函数impinvar 它采用冲激响应不变法来实现模拟滤波器到数字滤波器的转换 bz az impinvar b a Fs 可将模拟滤波器 b a 变换成数字滤波器 bz az 两者的冲激响应不变 即模拟滤波器的冲激响应按h抽样后等同于数字滤波器的冲激响应 当缺少参数Fs时 抽样频率Fs取缺省值1Hz 例5 用巴特沃思滤波器原型设计一个低通数字滤波器 满足通带截止频率 p 0 2 通带波动 Rp 1dB阻带截止频率 s 0 3 阻带波动 As 15dB wp 0 2 pi digitalPassbandfreqinHzws 0 3 pi digitalStopbandfreqinHzRp 1 PassbandrippleindBAs 15 StopbandattenuationindB 模拟原型指标的频率逆映射T 1 Fs 1 T SetT 1OmegaP wp T PrototypePassbandfreqOmegaS ws T PrototypeStopbandfreq 模拟巴特沃思原型滤波器计算 cs ds afd butt OmegaP OmegaS Rp As 脉冲响应不变变换 b a impinvar cs ds Fs 画图 h w freqz b a subplot 2 2 1 plot w pi abs h title 幅度响应 grid subplot 2 2 2 plot w pi angle h title 相位响应 grid subplot 2 2 3 plot w pi 20 log10 abs h title 幅度响应 dB grid n 0 1 59 imp 1 zeros 59 1 y filter b a imp subplot 2 2 4 plot n y title 脉冲响应 grid 2 双线性变换 MATLAB工具箱提供了函数bilinear 实现双线性变换 numd dend bilinear num den Fs 把模拟滤波器的传递函数模型转换成数字滤波器的传递函数模型 其中Fs为抽样频率 双线性变换步骤如下 1 选择T值 设计时它是任意的 可以置为1 2 根据截止频率 p和 s进行预修正 即 3 设计模拟滤波器 4 最后 设化简得到为z 1的有理函数的H z 例6 用切比雪夫I型滤波器原型设计一个低通数字滤波器 满足通带截止频率 p 0 2 通带波动 Rp 1dB阻带截止频率 s 0 3 阻带波动 As 15dB 数字滤波器指标wp 0 2 pi digitalPassbandfreqinHzws 0 3 pi digitalStopbandfreqinHzRp 1 PassbandrippleindBAs 15 StopbandattenuationindB 模拟原型指标的频率逆映射T 1 Fs 1 T SetT 1OmegaP 2 T tan wp 2 预畸OmegaS 2 T tan ws 2 预畸 模拟切比雪夫I型原型滤波器的计算 cs ds afd chb1 OmegaP OmegaS Rp As 双线性变换 b a bilinear cs ds Fs 画图 h w freqz b a subplot 2 2 1 plot w pi abs h title 幅度响应 grid subplot 2 2 2 plot w pi angle h title 相位响应 grid subplot 2 2 3 plot w pi 20 log10 abs h title 幅度响应 dB axis 0 1 40 5 grid n 0 1 59 imp 1 zeros 59 1 y filter b a imp subplot 2 2 4 plot n y title 脉冲响应 grid 三 选频IIR数字滤波器设计方法 一 典型IIR选频滤波器设计方法 1 按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标 2 根据转换后的技术指标使用滤波器阶数选择函数 确定最小阶数N和固定频率Wn 3 运用最小阶数N产生模拟滤波器原型 4 运用固有频率Wn把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通 高通 带通 带阻滤波器 5 运用冲激响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器 模拟低通原型滤波器的创建buutapcheb1apchab2apellipap 频率转换lp2lplp2hplp2bplp2bs 离散化处理bilinearimpinvar 1 模拟低通原型滤波器的设计 MATLAB提供了buutap cheb1ap chab2ap和ellipap函数设计不同类型的模拟低通原型滤波器 它们的函数形式如下 z p k buttap n z p k cheb1ap n rp z p k cheb2ap n rs z p k ellipap n rp rs buutap cheb1ap chab2ap和ellipap函数以零 极点增益的形式给出模拟原型低通滤波器的设计方案 其中 z p k分别表示零点 极点和增益 MATLAB提供函数zp2tf将零极点增益模型转换为传递函数模型 函数形式为 b a zp2tf z p k 由于通常给出的数字滤波器的设计指标是wp ws rp和rs 而不是n 所以在利用函数buutap cheb1ap chab2ap和ellipap函数设计模拟低通原型滤波器之前 应求出滤波器的阶数n 利用函数buttord cheb1ord cheb2ord和ellipord函数可以求出模拟滤波器的阶数 n wn buttord wp ws rp rs s n wn cheb1ord wp ws rp rs s n wn cheb2ord wp ws rp rs s n wn ellipord wp ws rp rs s 注意 1 buttord cheb1ord cheb2ord和ellipord函数中的 s 表示所求的滤波器为模拟滤波器 因此 指标wp和ws实际上是模拟角频率而不是数字角频率 其单位是rad s 而不是rad 2 对于低通滤波器 wpws 对于带通滤波器 wp和ws均为二维向量 且wp 1 ws 1 wp 2 ws 2 2 频率转换 MATLAB提供函数lp2lp lp2hp lp2bp和lp2bs实现原型低通滤波器向低通 高通 带通和带阻滤波器的转换 1 从低通到低通的转换 lp2lp函数可将截止频率为1rad s的模拟低通滤波器原型变换成截止频率为Wn的低通滤波器 bt at lp21p b a Wn 其中Wn为截止频率 2 从低通到高通的转换 lp2hp函数可将截止频率为1rad s的模拟低通滤波器原型变换成截止频率为Wn的高通滤波器 bt at lp2hP b a Wn 3 从低通到带通的转换 lp2bp函数可将截止频率为1rad s的模拟低通滤波器原型转换成具有指定带宽Bw和中心频率Wn的带通滤波器 bt at 1p2bp b a Wn Bw 其中心频率为Wn 带宽为Bw 如果要求的滤波器的低端截止频率为w1 高端截止频率为w2 则可计算出Wn和Bw Wn sqrt w1 w2 Bw w2 w1 4 从低通到带阻的转换 lp2bs函数可将截止频率为1rad s的模拟低通滤波器原型转换成具有指定带宽Bw和中心频率Wn的带阻滤波器 bt at lp2bs b a Wn Bw 其中心频率为Wn 带宽为Bw Wn和Bw的计算方法与 3 相同 如果要求的滤波器的低端截止频率为w1 高端截止频率为w2 则可计算出Wn和Bw Wn sqrt w1 w2 Bw w2 w1 3 滤波器离散化 1 冲激响应不变法MATLAB工具箱提供了函数impinvar 它采用冲激响应不变法来实现模拟滤波器到数字滤波器的转换 2 双线性变换法为了克服冲激响应不变法产生的频率混叠现象 需要使s平面与z平面建立一一对应的单值映射关系 可采用双线性变换法 MATLAB工具箱提供了函数bilinear 实现双线性变换 例7 设计一个巴特沃斯高通数字滤波器 它的抽样频率为Fs为100Hz 通带临界频率为40Hz rp 0 5dB rs 40dB 通带上限临界频率为40Hz 阻带下限临界频率为30Hz wp 2 pi 40 ws 2 pi 30 rp 0 5 rs 40 滤波器指标Fs 100 T 1 Fs wp 2 T tan wp 200 预畸ws 2 T tan ws 200 预畸 n wn buttord wp ws rp rs s 模拟滤波器设计 z p k buttap n b1 a1 zp2tf z p k b2 a2 lp2hp b1 a1 wn 频带转换 b a bilinear b2 a2 Fs 滤波器离散化 h w freqz b a 画滤波器的频响plot w Fs 2 pi abs h grid 例8 试用双线性变换法设计一个带通椭圆数字滤波器 其技术指标为wpl l0Hz wsl 9Hz wp2 20Hz ws2 21Hz rp 0 5B rs 50dB 抽样频率为100Hz wp1 2 pi 10 wp2 2 pi 20 ws1 2 pi 9 ws2 2 pi 21 Fs 100 rp 0 5 rs 50 wp1 2 T tan wp1 T 2 wp2 2 T tan wp2 T 2 ws1 2 T tan ws1 T 2 ws2 2 T tan ws2 T 2 wp wp1wp2 ws ws1ws2 n wn ellipord wp ws rp rs s Bw wn 2 wn 1 Wo sqrt wn 2 wn 1 z p k ellipap n rp rs b1 a1 zp2tf z p k b2 a2 lp2bp b1 a1 Wo Bw b a bilinear b2 a2 Fs H W freqz b a plot W Fs 2 pi abs H grid axis 05001 二 利用MATLAB函数直接设计数字滤波器 1 巴特沃思滤波器 MATLAB提供了函数butter完成巴特沃思滤波器的设计 形式如下 b a butter N wn 设计N阶低通滤波器 wn为它的3dB截止频率 b a butter N wn high 设计N阶高通滤波器 wn为它的3dB截止频率 b a butter N wn 当wn为具有两个元素的矢量wn w1w2 时 它设计2N阶带通滤波器 它具有单位为 的3dB通带 w1 w w2 b a butter N wn stop 当wn为具有两个元素的矢量wn w1w2 时 它设计2N阶带阻滤波器 它具有单位为 的3dB阻带 w1 w w2 注 wn单位为 为了设计任意的选频巴特沃思滤波器 必须知道阶数N和3dB截止频率矢量wn 在MATLAB的信号处理工具箱中 提供了一个叫做buttord的函数计算这些参数 给定指标 wp ws Rp和As 这个函数可以求出必要的参数 它的句法为 N wn buttord wp ws Rp As l对于低通滤波器wpwsl对于带通滤波器wp和ws是具有两个元素的矢量 wp wp1 wp2 和ws ws1 ws2 并且ws1 wp1 wp2 ws2l对于带阻滤波器wp和ws是具有两个元素的矢量 wp wp1 wp2 和ws ws1