高三数学二轮复习 7.2推理与证明课件.ppt

1 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作用 2 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解间接证明的一种基本方法 反证法 推理证明是数学的基本思维过程 也是人们学习和生活中经常使用的思维方法 从内容编排上看 推理和证明是新课标的新增内容 但从知识结构上看 这些内容渗透于其它数学知识中 几乎涉及数学的方方面面 在历年的高考中 推理与证明有举足轻重的地位 选择题 填空题 解答题均有体现 考查方式主要是 1 给定命题的证明问题 证明方法高考中不单独命题 而是将其融合在诸如立体几何 解析几何 函数 数列 不等式等内容中加以考查 2 类比型问题 3 归纳 猜想 证明问题 文科学生对数学归纳法不作要求 1 合情推理当前提为真时 结论可能为真的推理叫合情推理 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理 1 归纳推理根据一类事物的部分对象具有的某种性质 推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理 叫做归纳推理 简称归纳 简言之 归纳是由特殊到一般的推理 2 类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似 或一致 性 推测其中一类事物具有与另一类事物类似 或相同 的性质的推理叫做类比推理 简称类比 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 演绎推理 1 演绎推理的定义根据一般性的真命题 或逻辑规则 导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理 简言之 演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理 2 演绎推理的特点当前提为真时 结论必然为真 3 演绎推理的一般模式 三段论 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 3 直接证明 1 直接证明从命题的条件或结论出发 根据已知的定义 公理 定理 直接推证结论的真实性的证明称为直接证明 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法 也是解决数学问题时常用的思维方法 2 综合法从已知条件和某些数学定义 公理 定理等出发 经过逐步的推理论证 最后达到待证的结论 这种证明方法叫综合法 也叫顺推证法或由因导果法 用p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的结论 则综合法可用框图表示为 3 分析法从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知的条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫分析法 也叫逆推证法或执果索因法 用q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示为 4 间接证明 1 反证法的定义一般地 由证明p q转向证明 綈q r t t与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判断綈q为假 推出q为真的方法 叫做反证法 2 反证法的特点先假设原命题不成立 再在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 公式或已被证明了的结论 或与公认的简单事实等矛盾 5 数学归纳法 理 一个与自然数相关的命题 如果 1 当n取第一值n0时命题成立 2 在假设当n k k n 且k n0 时命题成立的前提下 推出当n k 1时题命题也成立 那么可以断定 这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立 例1 2009 湖北 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 他们研究过图 1 中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似的 称图 2 中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 a 289b 1024c 1225d 1378 答案 c 评析 1 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对科学的发现是十分有用的 观察 实验 对有限的资料作归纳整理 提出带有规律性的说法 乃是科学研究的最基本的方法之一 2 在本例中 由 归纳出三角形数所具有的特点 由 归纳出正方形数具有的规律 只需代入验证即可 根据以上事实 由归纳推理可得 当n n 且n 2时 fn x f fn 1 x 分析 观察 类比 是解决本题的基本思路 由于直线oe of在图形上的 对称性 在其方程上也必然有某种 对称性 观察直线oe的方程和题目中给出的直线of的部分信息 它们的共性是y的系数一样 那就只有x的系数具备 对称性 这样就可大胆 合理地进行解答了 例3 已知数列 an 中 a1 1 a2 2 且an 1 1 q an qan 1 n 2 q 0 1 设bn an 1 an n n 证明数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 3 若a3是a6与a9的等差中项 求q的值 并证明 对任意的n n an是an 3与an 6的等差中项 分析 解答本题第 1 问可根据bn an 1 an n n 将已知等式变形构造出bn与bn 1的关系式 第 2 问可用叠加法求an 第 3 问先由a3是a6与a9的等差中项求出q 并利用 an 的通项公式和q的值 推证an an 3 an 6 an n n 解析 1 证明 由题设an 1 1 q an qan 1 n 2 得an 1 an q an an 1 即bn qbn 1 n 2 又b1 a2 a1 1 q 0 所以数列 bn 是首项为1 公比为q的等比数列 评析 综合法与分析法是直接证明中的姊妹证明方法 通过情况下 运用分析法 由果寻因 找到一个正确的结论或已知条件 然后运用综合法正确推理书写 不管是何种方法 都要以事实为基本推理依据 2011 北京理 20 若数列an a1 a2 an n 2 满足 ak 1 ak 1 k 1 2 n 1 则称an为e数列 记s an a1 a2 an 1 写出一个满足a1 a5 0 且s a5 0的e数列a5 2 若a1 12 n 2000 证明 e数列an是递增数列的充要条件是an 2011 解析 1 0 1 2 1 0是一个满足条件的e数列a5 答案不唯一 0 1 0 1 0也是一个满足条件的e数列a5 2 必要性 因为e数列an是递增数列 所以ak 1 ak 1 k 1 2 1999 所以an是首项为12 公差为1的等差数列 所以a2000 12 2000 1 1 2011 充分性 由于a2000 a1999 1 a1999 a1998 1 a2 a1 1 所以a2000 a1 1999 即a2000 a1 1999 又因为a1 12 a2000 2011 所以a2000 a1 1999 故ak 1 ak 1 0 k 1 2 1999 即an是递增数列 综上 结论得证 分析 1 先求公差d 再求an与sn 2 用反证法证明 评析 有些命题和不等式 从正面证如果不好证 可以考虑反证法 凡是含有 至少 唯一 或含有其它否定词的命题 适宜用反证法 即 正难则反 反证法属于间接证法 其步骤是 三步曲 1 假设 作出与命题结论相反的假设 2 归谬 在假设的基础上 经过合理的推理 导出矛盾的结果 3 结论 肯定原命题的正确性 分析 根据反证法的步骤作出证明 例5 2010 江苏 23 已知 abc的三边长都为有理数 1 求证 cosa是有理数 2 对任意正整数n 求证cosna是有理数 假设当n k k 1 时 coska和cosa sinka都是有理数 当n k 1时 由cos k 1 a cosa coska sina sinka sina sin k 1 a sina sina coska cosa sinka sina sina coska sina sinka cosa 由 和归纳假设 知cos k 1 a与sina sin k 1 a都是有理数 即当n k 1时 结论成立 综合 可知 对任意正整数n cosna是有理数 评析 数学归纳法为那些变形 转化较为困难的问题提供了一种可供推理解决的方法 用数学归纳法证明不等式时 在把n k的不等式经为n k 1的不等式成立的命题时 比较法 综合法 分析法 放缩法等不等式证明的方法仍然是常用的 用数学归纳法证明整除性问题和几何问题时 要注意寻找当元素n增加1时 代数式或几何元素是如何增加的 做到有目标地变形 解析 易知fn x x2 3an n2 x 3n2an x 3an x n2 令fn x 0 得x 3an x n2 若3an0 fn x 单调递增 当3an0 fn x 单调递增 故fn x 在x n2取得极小值 若3an n2 仿 可得 fn x 在x 3an取得极小值 若3an n2 则fn x 0 fn x 无极值 当a 0时 a1 0 则3a132 由 知 a4 3a3 3 4 因3a4 36 42 由 知 a5 3a4 32 4 由此猜想 当n 3时 an 4 3n 3 下面先用数学归纳法证明 当n 3时 3an n2 事实上 当n 3时 由