重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第三章第三节 导数与函数的极值、最值指导课件 新人教A版 .pptVIP

第三节导数与函数的极值 最值 一 函数的极值 1 定义 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对x0附近所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值和极小值统称为极值 2 求函数y f x 在某个区间上的极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根x0 3 检查f x 在方程f x 0的根x0的左右的符号 左正右负 f x 在x0处取极大值 左负右正 f x 在x0处取极小值 注 导数为零的点未必是极值点 3 特别提醒 1 x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号 而不仅是f x0 0 f x0 0是x0为极值点的必要而不充分条件 2 给出函数极大 小 值的条件 一定要既考虑f x0 0 又要考虑检验 左正右负 左负右正 的转化 这一点一定要切记 3 在求函数极值的步骤中 第二步 蕴含着比较根的大小问题 第三步 通常总结成表 二 函数的最大值和最小值 1 定义 函数f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的 最大值 函数f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的 最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 极大值或极小值 将y f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 注 第一步中其实不必求出极值 只要找到导数为零点处的函数值即可 闭区间上的连续函数必有最值 3 特别提醒 利用导数研究函数的单调性与最值 极值 时 要注意列表 要善于应用函数的导数 考察函数单调性 最值 极值 研究函数的性态 数形结合解决方程不等式等相关问题 三 解决优化问题的基本思路 1 教材改编题 函数f x x3 3x2 3x 5的极值点的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0对 x r都成立 f x 在r上是增函数 故无极值 答案 a 2 教材改编题 函数f x 的定义域为 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内极小值点的个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 极值点在f x 的图象上应是f x 的图象与x轴的交点的横坐标 且极小值点的左侧图象在x轴下方 右侧图象在x轴上方 故函数f x 只有一个极小值点 图中b点 答案 a 3 文 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3时取得极值 则a等于 a 2b 3c 4d 5 解析 因f x 3x2 2ax 3 由题意有f 3 0 所以3 3 2 2a 3 3 0 由此解得a 5 1 答案 d 理 设a r 若函数y ex ax x r有大于零的极值点 则 a a 1b a 1c a d a 解析 由y e ax ex a 0得ex a 即x ln a 0 a 1 a 1 答案 a 4 函数f x x3 4x 4的极大值点是 解析 f x x2 4 x 2 x 2 令f x 0得 x1 2 x2 2 当x 2时 f x 0 2 x 2时 f x 0 f x 在x 2处取得极大值 答案 2 5 文 函数f x x2 lnx的最小值为 解析 函数f x 的定义域为 0 f x x 令f x 0 得x 1 舍去 或x 1 当0 x 1时f x 0 x 1时f x 0 所以函数在x 1处取得最小值f 1 答案 理 2009年辽宁卷 若函数f x 在x 1处取极值 则a 解析 f x 在x 1处取极值 f 1 0 又f x f 1 0 即2 1 1 1 1 a 0 故a 3 答案 3 利用导数求函数极值 最值 方法技巧 1 熟悉函数极值点叙述中的隐含条件 如 f x 在x a时取得极大值b 即 f a 0 f a b x a 是函数f x 的极值点 也即 f a 0 x a 是f x 在 m n 上的极值点 也即 f a 0 或x a是方程f x 0在 m n 上的一个根 等 2 求f x 0的根 列表呈现x在不同区间变化时 f x 的符号与函数f x 的函数值变化情况是求函数极值 最值的基本步骤 也是关键步骤 当方程f x 0的根中含有字母或给定区间端点处含有字母时 求解的基本步骤不变 只是增添了讨论或运算量增大了 可化为讨论一元二次方程解的问题 方法技巧 函数的导函数是二次函数时 函数的单调性 极值问题 常化为二次函数的根的讨论问题 如 函数有无极值或有极值时应满足的条件 化为 二次函数有无实根或有实根时应满足的条件 也有化为 二次函数的根的分布问题 解题时应注意 当导函数的判别式等于零时 导函数虽然有根 但导函数在除该点外的其他点函数值是同号的 则函数在该点处仍无极值 导数与函数的最值 令f x 0 从而sin x 得x 或x 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以函数f x 的单调递增区间为 0 与 2 单调递减区间是 极小值为f 极大值为f 2 变式探究 3 文 求函数f x x 1 3lnx在区间 1 上的极值 解 f x 1 当12时 f x 0 f x 在 2 上是增函数 当x 2时 f x 取得极小值f 2 1 3ln2 方法技巧 1 求函数的最值 应注意定义域优先的原则 2 若函数的解析式中含有 时 应正确使用求导公式 导数f x 在不同区间上符号变化情况较复杂时 应列表呈现 避免出错 例3 理 已知函数f x ln ax 1 x 0 其中a 0 求f x 的单调区间 若f x 的最小值为1 求a的取值范围 思路点拨 正确求出函数的导数 解 f x x 0 a 0 ax 1 0 当a 2时 在区间 0 上 f x 0 f x 的单调增区间为 0 f x 的最小值为f 0 1 当0时 f x 0 f x 是增函数 f x 在x 处取得最小值f f 0 综上可知 若f x 最小值为1 则a的取值范围是 2 变式探究 3 理 若函数f x lnx ln 2 x ax a 0 在 0 1 上的最大值为 求a的值 解 f x a a 0 当x 0 1 时 f x 0 f x 在 0 1 上是单调增函数 f x 的最大值为f 1 a 即a 方法技巧 函数最值也可根据单调性求解 当函数在某一区间上的单调性已确定时 借助函数图象的草图 利于提高解题速度 对含有形如f ax b 函数的解析式 在求导时应由外到内逐层求导 生活中的优化问题 例4 甲方是一农场 乙方是一工厂 乙方生产需占用甲方的资源 甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入 乙方在赔付甲方前 年纯收入p 元 与年产量t 吨 满足函数关系p 2000 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元 以下称s为赔付价格 则其年利润为q 元 1 求乙方的年利润q 元 关于年产量t 吨 的函数表达式 并求出当年利润q 元 最大时的年产量 2 甲方每年受乙方生产影响的经济损失为y 0 002 元 在乙方按照获得最大年利润的产量进行生产的前提下 甲方要在索赔中获得最大净收入 应向乙方要求的赔付价格s是多少 净收入 获赔金额 经济损失 思路点拨 1 易知q p st 根据函数q t 的解析式 用适当的方法求q t 的最大值 2 将甲方净收入表示成s的函数 再用求函数最值的方法解决 变式探究 4 请你设计一个帐篷 它下部的形状是高为1m的正棱柱 上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥 如图所示 试问当帐篷的顶点o到底面中心o1的距离为多少时 帐篷的体积最大 方法技巧 利用导数解决生活中的优化问题时 1 认真审题 构建函数模型 并确定函数的定义域 2 注意求得结果的实际意义 不符合实际的值应舍去 3 如果目标函数在定义域内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值点 分析 本题求出a b的值后 如不对点x 1两侧导数符号进行检验 就易出现增根 导致解答看似完美 实则错误 因此 在求出导数为0的点后 一定要对该点 驻点 两侧导数符号作进一步研究 才能确定是否是极值点 因此 导数为0的点不一定是极值点 可导函数在某点处取得极值的充要条件是其导数在极值点的两侧异号 已知函数f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值是 a 37b 29c 5d 以上都不对 解析 f x 6x x 2 f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 当x 0时 f x m最大 m 3 而f 2 37 f 2 5 f x min 37 答案 a 解析 f x 3x2 6b 由题意 函数f x 图象如图 所示 得0 b 故选d 答案 d 3 文 设函数f x x3 ax2 bx c且f 0 0为函数的极值 则有 a c 0b b 0 c 0c 当a 0时 f 0 为极大值d 当a 0时 f 0 为极小值 解析 f 0 0为f x 的极值 有f 0 0 又f x 3x2 2ax b 答案 b 理 已知函数f x x3 px2 qx的图象与x轴切于 1 0 点 则f x a 极大值为 极小值为0 b 极大值为0 极小值为 c 极小值为 极大值为0d 极大值为0 极小值为 解析 f x 3x2 2px q 且f x 的图象与x轴相切于 1 0 点 f 1 0 且f 1 0 此时f x x3 2x2 x f x 3x2 4x 1 x 1 3x 1 由f x 0 得x 1 f x 在 1 上是减函数 在 和 1 上是增函数 f x 极小值 f 1 0 f x 极大值 f 答案 a 4 若函数f x x3 3x a有3个不同的零点 则实数a的取值范围是 a 2 2 b 2 2 c 1 d 1 解析 由f x 3x2 3 3 x 1 x 1 且当x0 当 11时 f x 0 所以当x 1时函数f x 有极大值 当x 1时函数f x 有极小值 要使函数f x 有3个不同的零点 只需满足解之得 2 a 2 答案 a 5 2010年湖南省师大附中等六校高三4月联考 已知 a 2 b 0 且函数f x x3 a x2 a bx在r上有极值 则a与b的夹角范围是 a 0 b c d 解析 f x x2 a x a b f x 0的 a 2 4a b 0 cos a b 又y cosx在 0 上是减函数 a b 答案 c 二 填空题 6 文 函数g x lnx x的最大值是 解析 g x 1 令g x 0 得x 1 当00 当x 1时 g x 0 当x 1时g x 有最大值g 1 1 答案 1 理 若函数f x asinx sin3x在x 处有极值 那么a等于 解析 f x acosx cos3x 因f x 在x 有极值 所以f 0 即acos cos 0 a 2 答案 2 7 f x x x c 2在x 2处有极大值 则常数c的值为 解析 f x x3 2cx2 c2x f x 3x2 4cx c2 f 2 0 c 2或c 6 若c 2 f x 3x2 8x 4 令f x 0 x2 f x 0 x 2 故函数在 及 2 上单调递增 在 2 上单调递减 x 2是极小值点 故c 2不合题意 舍去 c 6 答案 6 三 解答题 8 文 已知a 0 函数f x x2 2ax ex 试求f x 的极值点 解 由已知 得f x 2x 2a ex x2 2ax ex x2 2x 2ax 2a ex 令f x 0 得 x2 2 1 a x 2a ex 0 即x2 2 1 a x 2a 0 解得x1 a 1 x2 a 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 在x x1处取得极大值 在x x2处取得极小值 即函数f x x2 2ax ex的极值点为x1 a 1 x2 a 1 理 如图所示 三次函数f x x3 ax2 x在区间 1 1 内有极大值和极小值 求实数a的取值范围是 解析 由已知 得f x 3x2 2ax 1 f x 在 1 1 内有极大值与极小值 即f x 0在区间 1 1 内有两个不相等的实根 要使方程3x2 2ax 1 0在区间 1 1 内有两个不相等的实根 则解得 2 a 或 a 2 故实数a的取值范围为 2 2 9 已知f x x m r 若m 2 求函数g x f x lnx在区间 2 上的最小值 10 某分公司经销某种品牌的产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a 3 a 5 元的管理费 预计当每件产品的售价为x 9 x 11 元时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润l 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润l最大 并求出l的最大值q a 解 1 分公司一年的利润l 万元 与售价x的函数关系式为 l x 3 a 12 x 2 x 9 11 2 l x 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 11 福州三中2010 2011学年度高三第二次月考 设函数f x x3 x2 m2 1 x x r 其中m 0 1 当m 1时