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第二章数列 2 5等比数列的前n项和 1 等比数列的定义 2 通项公式 3 数列中通项与前n项和的关系 回顾 创设情境 从前有一个人卖马 标价3000元 有个买主嫌贵 卖主对他说 如果你能改买马蹄子上的钉子 我就把马送给你 买主便问怎么个卖法 卖主讲 4只马蹄子上共有24个钉子 第1个钉子卖1分钱 第2个钉子卖2分钱 第3个钉子卖4分钱 依次类推 即后一个钉子是前一个钉子价钱的2倍 买主听后心动了 认为买24个钉子花不了几个钱 他真的花不了几个钱吗 请大家先看一个故事 本故事源自意大利一古代数学手稿 它是以 为首项公比是 的等比数列 由于每一个钉子的价钱都是前一个钉子的 倍 共有24个钉子 每个钉子的价钱依次为 买24个钉子要花的钱为 单位 分 分析 这是一个求等比数列前n项和的问题 探求等比数列求和的方法 问题 已知等比数列 公比为q 求 思考 思路1 思路2 思路3 公式 错位相减法 当q 1时 两式相减 得 当q 1时 sn 此式相邻两项有何关系 当q 1时 思路1 利用定义 由等比定理 得 等比数列定义 与什么关系 与什么关系 比例式连等的形式能否变成和的形式 怎样变 思路2 利用 思路3 等比数列前n项和公式 公式 公式 根据求和公式 运用方程思想 五个基本量中 知三求二 注意对是否等于进行分类讨论 例1 求 卖马的故事 中要买24个钉子的价钱 解 16777215 分 167772 15 元 16 7 万元 怎么会这么多 涓涓细流 汇成江河 分分秒秒 铸就成功 例题 例2 求等比数列的前8项的和 解 例3 解法1 代入 得 代入 得 n 5 解法2 分析 建立数列模型 从第1年起 每年销售量分别为 本题实质上是已知前n项和 求项数n的问题 构成等比数列 某商场第1年销售计算机5000台 如果平均每年的销售量比上一年增加10 那么从第1年起 约几年内可使总销售量达到30000台 保留到个位 例4 解 由题知 从第1年起 每年的销售量组成一个等比数列 代入等比数列前n项和公式 两边取对数得 用计算器算得 答 约5年内可以使总销量达到30000台 练习1 根据下列条件 求相应的等比数列的 练习 练习2 求等比数列1 2 4 从第5项到第10项的和 从第5项到第10项的和 求等比数列从第3项到第7项的和 从第3项到第7项的和 练习3 1 求和公式 当q 1时 当q 1时 注意分类讨论的思想 等比数列求和时必须弄清q 1还
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