【优化课堂】高中数学 第三章 3.3.2 简单的线性规划问题(一)课件 新人教A版必修5.ppt

3 3 2简单的线性规划问题 一 1 了解线性规划的意义 了解线性约束条件 线性目标函 数 可行解 可行域 最优解等基本概念 2 掌握线性规划问题的图解法 会用图解法求目标函数的 最大值 最小值 3 训练数形结合 化归等熟悉思想 培养和发展数学应用 意识 线性规划相关概念 续表 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 线性约束条件 x y 6 练习1 已知x y满足约束条件2x y 9 分别确定 x 1 x y的值 使z x 3y取到最大值或最小值 其中 为可行域 为线性目标函数 z x 3y x 0 练习2 已知实数x y满足y 1 求2x y的 x 2y 1 0 最大值 这个问题就是 满足不等式组的解 x y 叫做 如 是一组可行解 由所有可行解组成的集合即不等式组所表示的平面区域 如图3 3 1中阴影部分 是 易知 当x 1 y 1时 目标函数z 2x y取最大值3 故 1 1 是这个规划问题的 线性规划问题 可行解 可行域 最优解 图3 3 1 1 z x2 y2 3是线性目标函数吗 答案 不是 因为x y的系数是2 2 线性目标函数的最优解只有唯一一个吗 答案 不是 最优解可能有无数个 题型1 线性目标函数的最值x 4y 3 例1 已知变量x y满足3x 5y 25 求z 2x y的 x 1 最大值和最小值 思维突破 把z看成直线在y轴上的截距 先画出可行域 再求z的最值 自主解答 作出不等式组所表示的可行域 如图d14 图d14 设直线l0 2x y 0 直线l 2x y z 则z的几何意义 是直线y 2x z在y轴上的截距 显然 当直线越往上移动时 对应在y轴上的截距越大 即z越大 当直线越往下移动时 对应在y轴上的截距越小 即z越小 作一组与直线l0平行的直线系l 上下平移 可得 当直线l移动到直线l2时 即过点a 5 2 时 zmax 2 5 2 12 当直线l移动到直线l1时 即过点b 1 1 时 zmin 2 1 1 3 正确作出可行域后 将目标函数变为直线方程 的斜截式的形式 应注意该直线在y轴上的截距与目标函数z取值的关系 再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关系 以便准确找到最优解 变式与拓展 x 2y 4 0 1 已知实数x y满足约束条件2x y 2 0 3x y 3 0 则目标 函数z x 2y的最大值的可行解为 2 3 x 2 0 2 若x y满足线性约束条件y 1 0 求z x x 2y 2 0 y的最小值 解 作出不等式组所表示的可行域如图d17中阴影部分 将z x y变形为y x z 这是斜率为 1 随z变化的一组平行线 当直线y x z经过可行域内的a点时 直线y x z在y轴上的截距最小 z也最小 这里a点是直线x 2y 2 0与直线y 1的交点 解方程组 x 2y 2 0 y 1 得 x 0 y 1 此时z 0 1 1 故z的最小值为1 图d17 题型2 线性规划的逆向性问题y 1 例2 已知实数x y满足y 2x 1 x y m 如果目标函数z x y的最小值为 1 则实数m a 7 b 5 c 4 d 3 思维突破 画出x y满足的可行域 可得直线y 2x 1与直线x y m的交点使目标函数z x y取得最小值 答案 b 变式与拓展 3 在如图3 3 2所示的可行域内 目标函数z x ay 取得最小值的最优解有无数个 则a的一个可能值是 图3 3 2 a 3 b 3 c 1 d 1 解析 分析知 目标函数与直线bc重合时z最小 故 d x y 5 0 4 已知x y满足x 3 x y k 0 且z 2x 4y的最小值 为 6 则常数k a 2 b 9 c 3 d 0 解析 画图后知 当x 3时z 2x 4y取最小值 6 d 题型3 线性规划的间接应用x 2y 19 0 例3 设二元一次不等式组x y 8 0 所表示的平 2x y 14 0 面区域为m 使函数y ax a 0 a 1 的图象过区域m的a 的取值范围是 a 1 3 c 2 9 b 2 d 9 思维突破 本题考查线性规划与指数函数 画出平面区域m 观察图象并结合指数函数性质即可 解析 如图d15中的阴影部分为平面区域m 显然 只需 研究过 1 9 3 8 两种情形 图d15 a1 9且a3 8 即2 a 9 答案 c 变式与拓展 x y 1 0 5 若实数x y满足x y 0 x 0 则z 3x 2y的最小值 是 b a 0c b 1d 9 例4 若x y满足不等式组 求z 3x 2y的最值 试解 作出约束条件表示的可行域 如图d16中的阴影部分 则点a 10 4 b 3 6 令p 3x 2y 作直线l 3x 2y 0 当直线l右移过点b 3 6 时 pmin 21 当直线l继续右移过点a 10 4 时 pmax 38 又z p 故zmax 21 zmin 38 图d16 易错点评 直线在y轴上的截距与目标函数z 3x 2y取值的关系上出错 直线ax by z往右 或往左 平移时 z随之增大 或减小 只有当a 0时 才能成立 当a 0时 可利用换元将a变为大于0 解简单线性规划问题