17.1勾股定理 (第3课时).ppt

17 1勾股定理的应用 第3课时 务川博文中学 复习巩固 梳理知识 问题1 请说一说勾股定理的具体内容 在Rt ABC中 C 90 AB c AC b BC a a2 b2 c2 已知a b 则c 已知a c 则b 已知c b 则a 问题2 勾股定理应用的条件有哪些 问题3 日常生活中常见的垂直关系有哪些 知识回顾 1 两点之间 最短 2 一个圆柱体的侧面展开图是 它的一边长是 它的另一边长是 线段 长方形 圆柱的高 底面圆的周长 请观察讨论 交流 动手实践 展平 只需展开包含相关点的面 可能存在多种展开法 定点 确定相关点的位置 连线 连接相关点 构建直角三角形 计算 利用两点之间线段最短 及勾股定理求解 我怎么走会最近呢 例1 如图所示 圆柱体的底面直径为6cm 高AC为12cm 一只蚂蚁从A点出发 沿着圆柱的侧面爬行到点B 试求出爬行的最短路程 取3 合作探究 C D 议一议 分组讨论 合作交流 动手实践 请观察讨论 交流 动手实践 两点之间线段最短 为什么这样走最短 B C 解 如上图 在Rt ABC中 BC r 9cm AB 15 cm 勾股定理 答 最短路程约为15cm C 高12cm B A 长18cm 的值取3 AB2 92 122 81 144 225 AB 15 cm 答 蚂蚁爬行的最短路程是15cm 152 解 将圆柱如图侧面展开 在Rt ABC中 根据勾股定理 C 几何体的表面路径的最短的问题 一般将立体图形展开为平面图形来计算 展平 只需展开包含相关点的面 可能存在多种展开法 定点 确定相关点的位置 连线 连接相关点 构建直角三角形 计算 利用两点之间线段最短 及勾股定理求解 展开思想 求立体图形中最短路程问题的 四步法 规律 一 最短路程问题 例1 如图 一圆柱高8cm 底面半径2cm 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食 要爬行的最短路程 取3 是 A 20cmB 10cmC 14cmD 无法确定 B B 8 O A 2 蛋糕 A C B 周长的一半 试一试 开学了 小华的妈妈为她准备了一把长为85cm的雨伞和一个行李箱 行李箱长为40cm 宽为30cm 高为70cm 问能否把雨伞放进这个行李箱中 链接生活 学以致用 x X2 302 402 50 AB2 602 X2 AB 米 做一做 小明要外出旅游 他所带的行李箱如图 长40cm 宽30cm 高60cm 请问 一把70cm长的雨伞能否装进这个行李箱 解 如图 由题意可知 ADC和 ABC都是直角三角形 如图 正四棱柱的底面边长为5cm 侧棱长为8cm 一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物 那么它需要爬行的最短路径是多少 解 如下图 将四棱柱的侧面展开 连结AC1 AC 10cm CC1 8cm 已知 与上题的区别 如图是一个长8m 宽6m 高5m的仓库 在其内壁的A处 长的四等分点 处有一只壁虎 B 宽的三等分 处有一只蚊子 则壁虎抓到蚊子的最短距离的平方为m2 8 6 5 8 6 5 6 4 6 4 如图是一个长8m 宽6m 高5m的仓库 在其内壁的A处 长的四等分点 处有一只壁虎 B 宽的三等分 处有一只蚊子 则壁虎抓到蚊子的最短距离的平方为m2 8 6 5 8 5 5 6 6 4 如图 长方体的长 宽 高分别为8 4 2 现有一小虫从顶点A出发 沿长方体侧面到达顶点C 小虫走的路程最短为多少厘米 A C C1 B1 C2 B2 8 4 2 12 2 2 B3 C3 试一试 展平 只需展开包含相关点的面 可能存在多种展开法 定点 确定相关点的位置 连线 连接相关点 构建直角三角形 计算 利用两点之间线段最短 及勾股定理求解 如图是一个三级台阶 它的每一级的长宽和高分别为20dm 3dm 2dm A和B是这个台阶两个相对的端点 A点有一只蚂蚁 想到B点去吃可口的食物 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少 3 2 3 2 3 AB2 AC2 BC2 625 AB 25 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 展平 只需展开包含相关点的面 可能存在多种展开法 定点 确定相关点的位置 连线 连接相关点 构建直角三角形 计算 利用两点之间线段最短 及勾股定理求解 4 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽和高分别等于55cm 10cm和6cm A和B是这个台阶的两个相对的端点 A点上有一只蚂蚁 想到B点去吃可口的食物 请你想一想 这只蚂蚁从A点出发 沿着台阶面爬到B点 最短线路是多少 A B 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 4 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽和高分别等于55cm 10cm和6cm A和B是这个台阶的两个相对的端点 A点上有一只蚂蚁 想到B点去吃可口的食物 请你想一想 这只蚂蚁从A点出发 沿着台阶面爬到B点 最短线路是多少 A B 试一试 展平 只需展开包含相关点的面 可能存在多种展开法 定点 确定相关点的位置 连线 连接相关点 构建直角三角形 计算 利用两点之间线段最短 及勾股定理求解 4 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽和高分别等于55cm 10cm和6cm A和B是这个台阶的两个相对的端点 A点上有一只蚂蚁 想到B点去吃可口的食物 请你想一想 这只蚂蚁从A点出发 沿着台阶面爬到B点 最短线路是多少 A B 展平 只需展开包含相关点的面 可能存在多种展开法 定点 确定相关点的位置 连线 连接相关点 构建直角三角形 计算 利用两点之间线段最短 及勾股定理求解 4 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽和高分别等于55cm 10cm和6cm A和B是这个台阶的两个相对的端点 A点上有一只蚂蚁 想到B点去吃可口的食物 请你想一想 这只蚂蚁从A点出发 沿着台阶面爬到B点 最短线路是多少 A B 55 10 6 解 C 如图 将台阶展开 AC 10 6 3 48 BC 55 三角形ABC为直角三角形 AB 答 最短路线是73cm 方法总结数学来源于生活 又服务与生活 在解决实际问题时 首先要画出适当的示意图 将实际问题抽象为数学问题 并构建直角三角形模型 再运用勾股定理解决实际问题 立体图形中路线最短的问题 往往是把立体图形展开 得到平面图形 根据 两点之间 线段最短 确定行走路线 再根据勾股定理计算出最短距离 应用勾股定理解决实际问题的一般思路 在 ABC中 D为BC边上的高 已知AB 15 BC 30 AC 20 求BD的长 二 利用勾股定理建立方程 方程思想 两个直角三角形中 如果有一条公共边 可利用勾股定理建立方程求解 如图 铁路上A B两点相距25km C D为两村庄 DA AB于A CB AB于B 已知DA 15km CB 10km 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E 使得C D两村到E站的距离相等 则E站应建在离A站多少km处 x 25 x 解 设AE xkm 根据勾股定理 得AD2 AE2 DE2BC2 BE2 CE2 又 DE CE AD2 AE2 BC2 BE2 即 152 x2 102 25 x 2 答 E站应建在离A站10km处 X 10 则BE 25 x km 15 10 二 利用勾股定理建立方程 勾股定理中折叠问题 折叠和轴对称密不可分 利用折叠前后图形完全重合 全等 找到对应边 对应角相等便可顺利解决折叠问题 规律 矩形ABCD如图折叠 使点D落在BC边上F处 已知AB 8 BC 10 求EF的长 A B C D F E 解 设DE为X X 则CE为 8 X 由题意可知 EF DE X X AF AD 10 10 10 8 在Rt ABF中AB2 BF2 AF2 82 BF2 102 BF 6 CF BC BF 10 6 4 6 4 在Rt EFC中CE2 CF2 EF2 8 X 2 42 X2 解得X 5即EF 5 三 折叠问题 8 X 实数 数轴上的点 一一对应 说出下列数轴上各字母所表示的实数 点C表示 点D表示 点B表示 点A表示 我们知道数轴上的点有的表示有理数 有的表示无理数 你能在数轴上表示出的点吗 四 利用勾股定理在数轴上表示无理数 你能在数轴上表示出的点吗 在数轴上表示无理数的三步法 拆分 利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和 所画线段 斜边 长的平方 构建 以数轴原点为直角三角形斜边的顶点构建直角三角形 画弧 以数轴原点为圆心 以斜边长为半径画弧 即在数轴就找到该无理数的点 我们知道数轴上的点有的表示有理数 有的表示无理数 实数 一一对应 数轴上的点 四 利用勾股定理在数轴上表示无理数 0 1 2 3 4 L A B 2 C 那斜边一定是 解 试一试 请同学们在草稿纸上画出在数轴上表示的点 思考 构造直角三角形的方法是否只有一种 0 1 2 3 4 步骤 l A B C 1 在数轴上找到点A 使OA 3 2 作直线L OA 在L上取一点B 使AB 2 3 以原点O为圆心 以OB为半径作弧 弧与数轴交于C点 则点C即为表示的点 你能在数轴上画出表示的点和的点吗 点C即为表示的点 你能在数轴上画出表示的点吗 探究1 0 1 2 3 4 l A B C 你能在数轴上画出表示的点和的点吗 0 1 2 3 4 A B C 你能在数轴上表示出的点吗 探究2 由此可知 利用勾股定理 可以作出长为 的线段 在数学中也有这样一幅美丽的 海螺型 图案 由此可知 利用勾股定理 可以作出长为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第七届国际数学大会的会徽 1 数学海螺图 的线段 知识扩展练一练 利用勾股定理作出长为的线段 1 1 用同样的方法 你能否在数轴上画出表示 提示 利用上一个直角三角形的斜边作为下一个直角三角形的一条直角边 如图为4 4的边长为1正方形网格 以格点与点A为端点 你能画出几条边长为的线段 2 如图 D 2 1 以OD为一边画等腰三角形 并且使另一个顶点在x轴上 这样的等腰三角形能画多少个 写出落在x轴上的顶点坐标 x y 归纳 请同学们归纳出如何在数轴上画出表示点 a a为正整数 的方法 首先构造一个直角三角形 通过作出其余两边 运用勾股定理构造出第三边 a 我们掌握了作无理数的点的方法后 接下来 我们一起来探究有关特殊三角形的三边关系 如图 分别以Rt ABC三边为边向外作三个正三角形 其面积分别用S1 S2 S3表示 猜想S1 S2 S3之间有什么关系 请加以说明 知识扩展练一练 3 在我国古代数学著作 九章算术 中记载了一道有趣的问题这个问题意思是 有一个水池 水面是一个边长为10尺的正方形 在水池的中央有一根芦苇 它高出水面1尺 如果把这根芦苇拉向岸边 它的顶端恰好到达岸边的水面 问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 D A B C 解 设水池的深度AC为X米 则芦苇高AD为 X 1 米 根据题意得 BC2 AC2 AB2 52 X2 X 1 2 25 X2 X2 2X 1 X 12 X 1 12 1 13 米 答 水池的深度为12米 芦苇高为13米 例苇生池中今有方池一丈 苇生其中央 出水一尺 引苇赴岸 适与岸齐 问 水深 苇长各几何 解 可设苇长为x尺 则水深为 x 1 尺 则有 x 1 2 52 x2 解得 x 13 所以 苇长13尺 水深12尺 水池 X尺 荷花问题平平湖水清可鉴 面上半尺生红莲 出泥不染亭亭立 忽被强风吹一边 渔人观看忙向前 花离原位二尺远 能算诸君请解题 湖水如何知深浅 0 5 x x 0 5 2 答 湖水深3 75尺 探究2 可用勾股定理建立方程 执竿进屋笨人持竿要进屋 无奈门框栏住竹 横多四尺竖多二 没法急得放声哭 有个邻居聪明者 教他斜竿对两角 笨人依言试一试 不多不少刚抵足 借问竿长多少数 谁人算出我佩服 x 4 2 x 2 x 4 答 竿长10尺 探究3 乙 甲 勾股定理应用中 航海问题 甲轮船以 海里 时的速度从港口向东南方向航 行 乙船同时以 0海里 时速度向东北方向航行 求它们离开港口 小时后相距多远 北 南 西 东 港口 A B 甲 乙 2 试求下列图形中阴影部分的面积 1 阴影部分是正方形 25cm 2 阴影部分是半圆 8 cm 知识扩展练一练 如图 分别以Rt ABC三边为直径向外作三个半圆 其面积分别用S1 S2 S3表示 猜想S1 S2 S3之间有什么关系 请加以说明 知识扩展练一练 如图 分别以直角三角形ABC的三边为边向外作正方形 然后分别以三个正方形的中心为圆心 正方形边长的一半为半径作圆 求三个圆的面积之间的关系 知识扩展练一练 如图 已知直角三角形ABC的三边分别为6 8 10 分别以它的三边为直径向上作三个半圆 求图中阴影部分的面积 知识扩展练一练 知识扩展练一练 利用勾股定理作出长为的线段 1 1 用同样的方法 你能否在数轴上画出表示 提示 利用上一个直角三角形的斜边作为下一个直角三角形的一条直角边 在直线L上依次摆放着七个正方形 如图 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1 2 3 正放置的四个正方形的面积依次是S1 S2 S3 S4 求S1 S2 S3 S4 知识扩展练一练 2012中考 请阅读下列材料 问题 现有5个边长为1的正方形 排列形式如图1 请把它们分割后拼接成一个新的正方形 要求 在图 中画出分割线并在正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形 图中每个小正方形的边长均为1 吴玉中同学的做法是 设新正方形的边长为x x 0 根据割补前后图形的面积相等 依题意 得 x2 5 解得x 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成得长方形的对角线的长 于是 画出图 所示的分割线 拼出如图 所示的新正方形 图1 图 参考吴总同学的做法 解决如下问题 现有10个边长为1的正方形 排列形式如图 请把它们分割后拼接成一个新的正方形 要求 在图 中画出分割线 并在图 的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形 图中每个小正方形的边长均为1 分析分析 根据前后面积相等 利用勾股定理可得10个边长为1的正方形 分割后 可拼成一个边长为根号10的正方形 故分割时必须产生四个全等的且斜边长为根号10的直角三角形 共须6个小正方形 然后将剩余的四上正方形组成一个边长为二的正方形 放置中间即可 解答 如图就是一种分割 例1 一辆装满货物的卡车 其外形高2 5米 宽1 6米 要开进厂门形状如下图的某工厂 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 分析 1 厂门的宽度足够 所以卡车能否通过 只要看卡车位于厂门正中间时 其高度是否小于 要求CH就必须先求 而要求出CD我们可以建立Rt 2 在Rt OCD中 直角边OD 斜边OC CH CD OCD 1米 0 8米 CH 0 6 2 3 2 9 2 5 因此高度上有0 4