2016年高考全国3卷文数试题及答案.doc

绝密启封并使用完毕前试题类型：2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 .第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 .3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 .4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 .第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .（1）设集合 A 0,2,4,6,8,10, B 4,8 ，则eAB=（A）4 ，8 （B）0，2，6 （C）0，2，6，10 （D）0，2，4，6，8，10（2）若 z 4 3i，则z| z|=（A）1 （B） 1 （C）4 3 + i5 5 （D）4 35 5i（3）已知向量 BA=（12，32）， BC =（32，12），则 ABC=（A）30 （B）45（C）60 （D）120（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图 .图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在 0以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于 20的月份有 5 个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I,N 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是8 1 1 1 15 （B） 8 （C） 15 （D） 30（A）1 3 ，则 cos2=（6）若 tan =4 1 1 4（A）5 （B） 5 （C） 5 （D）54 2 1（7）已知a 23,b 33,c 253 ，则(A)bac (B) abc (C) bca (D) cab（8）执行右面的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（A）3（B）4（C）5（D）6（9）在 ABC中，B=1 , BC边上的高等于 BC,则sin A4 33 10 5 3 10(A)10 (B) 10 (C) 5 (D)10（10）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18 36 5（B）54 18 5（C）90（D）81（11）在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（A） 4（B） 9（C）6（D） 322 3（12）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C：2 2x y2 2 1(a b 0)a b的左焦点， A，B 分别为 C的左，右顶点 .P 为 C上一点，且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE的中点，则 C的离心率为1 1 2 3（A） （B） （C） （D）3 2 3 4第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分 . 第( 13) 题第( 21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第( 22) 题第( 24) 题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分2x y 1 0,x 2y 1 0,（13）设 x，y 满足约束条件 则 z=2x +3y5 的最小值为 _.x 1,（14）函数 y=sin xcosx 的图像可由函数 y=2sin x 的图像至少向右平移 _个单位长度得到 .（15）已知直线 l： x 3y 6 0与圆 x2+y2=12 交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C、D 两点，则 |CD|= .（16）已知 f( x)为偶函数，当 x 0 时，x 1f (x) e x，则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式_.三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .（17）（本小题满分 12 分）已知各项都为正数的数列a 满足a1 1，n2a (2a 1)a 2a 0 .n n 1 n n 1（I）求a2 ,a3 ；（II）求 an 的通项公式 .（18）（本小题满分 12 分）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 .注：年份代码1 7 分别对应年份 2008 2014.（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；（） 建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量 .附注：参考数据：77 7y 9.32 ， t y 40.17 ，i i i2( y y) 0.55， 2.646.ii 1 i 1 i 1n(t t )( y y)i i参考公式： 1irn n2 2(t t ) (y y)i ii 1 i 1，回归方程y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：n(t t )( y y)i i i 1b ，a=y bt .n2(t t )i i 1（19）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥P-ABCD中， PA地面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4， M 为线段AD 上一点， AM=2MD ，N 为 PC的中点 .（I）证明 MN 平面 PAB;（II）求四面体 N-BCM 的体积.（20）（本小题满分 12 分） 2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，已知抛物线 C：y交 C的准线于 P，Q 两点.（）若 F在线段 AB 上，R是 PQ的中点，证明 ARFQ；（）若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 .（21）（本小题满分 12 分）设函数 f (x) ln x x 1.（I）讨论 f (x) 的单调性；（II）证明当 x (1, ) 时，1xln1xx；x （III）设 c 1，证明当 x (0,1)时，1 (c 1)x c .请考生在 22、23、24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图， O 中 的中点为 P，弦 PC，PD分别交 AB 于 E，F 两点。（）若 PFB=2PCD，求 PCD的大小；（）若 EC的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明 OGCD。（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数）。以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin（ ） = .（I）写出 C1的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（II）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 .（24）（本小题满分 10 分），选修4 5：不等式选讲已知函数 f (x)= 2x-a +a.（I）当 a=2 时，求不等式 f(x) 6 的解集；（II）设函数 g(x)= 2x-1 .当 xR 时， f (x)+g( x) 3，求 a 的取值范围。绝密启封并使用完毕前试题类型：新课标2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学正式答案第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D（7）A （8）B （9）D （10）B （11）B （12） A第 II 卷二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分。（13） 10 （14） （15）4 （16） y 2x3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）解：（）由题意得1 1a2 , a . .5 分32 42（）由 a (2 1) 2 0得 2an 1(an 1) an (an 1) .n a a an 1 n n 1因为a 的各项都为正数，所以nanan112.故a 是首项为 1，公比为n12的等比数列，因此1a . .12 分nn 12（18）（本小题满分 12 分）解：（）由折线图中数据和附注中参考数据得7 7 2 2t 4， (t ) 28 ， ( yi y) 0.55，i ti 1 i 17 7 7i(ti t)( y y) t y t y 40.17 4 9.32 2.89 ，i i i i1 i 1 i 12 .89r 0.99. .4 分0.55 2 2.646因为 y 与 t的相关系数近似为 0.99 ，说明 y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与t 的关系 . .6 分7(t t)( y y)i i9. 32 2.89 ?（）由 y 1.331 及（）得 b 0.103，i 1 77 282(t t)i i 1?a? y bt 1.331 0.103 4 0.92.所以， y 关于 t的回归方程为： y? 0.92 0.10 t . .10 分将 2016 年对应的 t 9代入回归方程得： y? 0.92 0.10 9 1.82 .所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. .12 分（19）（本小题满分 12 分）2解：（）由已知得 AM 2 ，取 BP 的中点 T ，连接 AT, TN ，由 N 为 PC 中点知AD 31TN / BC ，TN BC 2. .3 分2又 AD / BC，故TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形， 于是 MN / AT .因为 AT 平面 PAB ，MN 平面 PAB ，所以 MN / 平面 PAB . .6 分（）因为 PA 平面 ABCD ， N 为 PC 的中点，1所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA2. .9 分2 BE2取 BC 的中点 E ，连结 AE . 由 AB AC 3得 AE BC ，AE AB 5 .1由 AM BC 得M 到 BC 的距离为 5，故 4 5 2 5S .BCM2所以四面体 N BCM 的体积 1 PA 4 5VN BCM S BCM . .12 分 3 2 3（20）（本小题满分 12 分）1解：（）由题设 F ,0) . 设 l1 : y a,l2 : y b ，则ab 0，且(22 a b2a b 1 1 1A( ,0), B( ,b), P( , a),Q( ,b), R( , ) . 2 2 2 2 2 2记过A, B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x (a b)y ab 0 . .3 分（）由于 F 在线段AB 上，故 1 ab 0 .记AR 的斜率为k1 ， FQ 的斜率为k2 ，则a b a b 1 abk b k .1 2 2 21 a a ab a a所以 AR FQ . .5 分（）设 l 与 x轴的交点为D(x ,0) ，1a b 1 1 1则S ABF b a FD b a x ,S PQF .12 2 2 2由题设可得12 a b1b a x ，所以 x1 0（舍去）， x1 1.12 2设满足条件的 AB 的中点为E(x, y) .2 y当 AB 与 x轴不垂直时，由 kAB kDE 可得 ( 1)xa b x 1.a b而 y22 x x，所以 y 1( 1) . 2 x当 AB 与 x轴垂直时， E 与 D 重合 . 所以，所求轨迹方程为1 y . .12 分（21）（本小题满分 12 分）解：（）由题设， f (x) 的定义域为(0, )， 1f (x) 1，令xf x ，解得 x 1. ( ) 0 ( ) 0当 0 x 1时，f x ， f (x) 单调递增；当 x 1时， ( ) 0 ( ) 0f x ， f (x) 单调递 ( ) 0 ( ) 0减. 4 分（）由（）知， f (x) 在 x 1处取得最大值，最大值为f (1) 0.所以当 x 1时， ln x x 1.故当 x (1, ) 时， ln x x 1， ln 1 1 1，即x x1xln1xx. 7 分x ( ) 1 x ln（）由题设 c 1，设 g( x) 1 (c 1)x c ，则g x c c c ，令g x ， ( ) 0 ( ) 0解得x0clnlnlnc1c.当x x 时，0g x ， g( x) 单调递增；当 ( ) 0( ) 0x x 时，0g x ， g (x) 单调递 ( ) 0 ( ) 0减. 9 分由（）知，1cln1cc，故 0 x0 1，又 g (0) g(1) 0 ，故当 0 x 1时，g (x) 0 .x所以当 x (0,1) 时， 1 (c 1)x c . 12 分5. （本小题满分 10 分）选修4-1 ：几何证明选讲解：（）连结PB, BC，则BFD PBA BPD, PCD PCB BCD .因为AP BP ，所以 PBA PCB ，又 BPD BCD ，所以 BFD PCD .又 PFD BFD 180 , PFB 2 PCD ， 所 以 3 PCD 180 ， 因 此PCD 60 .（）因为PCD BFD ，所以 PCD EFD 180 ，由此知 C, D,F , E 四点共圆，其圆心既在 CE的垂直平分线上， 又在 DF 的垂直平分线上，