2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷(理科)(解析版).doc

2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R，集合A=x|x2，B=x|lg（x1）0，则A（uB）=（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|x2Dx|x12在复平面内，复数z满足z（1i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知，为两个非零向量，设命题p：|=|，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，则b=（）A14B6CD5已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A16B14C12D106某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A110B100C90D807一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）ABC3D38已知直线ax+y1=0与圆C：（x1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）AB1C1或1D19，则的值为（）ABCD10已知命题：函数y=2x（1x1）的值域是，2；为了得到函数y=sin（2x）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；当n=0或n=1时，幂函数y=xn的图象都是一条直线；已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）其中正确的命题是（）ABCD11已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）ABC2D12已知函数f（x）=aln（x+1）x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式1恒成立，则实数a的取值范围是（）A15，+）B6，+）C（，15D（，6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若函数f（x）=xalnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a=14已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为15若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=16，是两平面，AB，CD是两条线段，已知=EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF，现有下列条件：AC；AC与，所成的角相等；AC与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF其中能成为增加条件的序号是三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17等差数列an中，已知an0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列bn的前三项（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Tn18为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表分数（分数段）频数（人数）频率60，70）9x70，80）y0.3880，90）160.3290，100）zs合计p1（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望19如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，ODPC（1）求证：OCPD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角DPCB的余弦值20已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程21已知函数f（x）=+ax，x1（）若f（x）在（1，+）上单调递减，求实数a的取值范围；（）若a=2，求函数f（x）的极小值；（）若方程（2xm）lnx+x=0在（1，e上有两个不等实根，求实数m的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C（）证明：CBD=DBA；（）若AD=3DC，BC=，求O的直径选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为（）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x1|+|xa|（aR）（1）当a=4时，求不等式f（x）5的解集；（2）若f（x）4对xR恒成立，求a的取值范围2016年甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R，集合A=x|x2，B=x|lg（x1）0，则A（uB）=（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|x2Dx|x1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】lg（x1）0，可得x11，可得B，RB再利用集合的运算性质可得：A（uB）【解答】解：lg（x1）0，x11，解得x2B=x|lg（x1）0=（2，+），RB=（，2则A（uB）=（，2）故选：C2在复平面内，复数z满足z（1i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【解答】解：由足z（1i）=（1+2i），得，z对应的点的坐标为（），位于第二象限故选：B3已知，为两个非零向量，设命题p：|=|，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】设与的夹角为若与共线，则cos=1再利用数量积运算性质即可判断出结论【解答】解：设与的夹角为若与共线，则cos=1|=|cos|=|，反之也成立命题p是命题q成立的充要条件故选：C4在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，则b=（）A14B6CD【考点】正弦定理；余弦定理【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得ab=3cb，化简解得c，再利用余弦定理即可得出【解答】解：在ABC中，bsinA=3csinB，ab=3cb，可得a=3c，a=3，c=1=，解得b=故选：D5已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A16B14C12D10【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算MOD（n，i）的值，验证输出的结果是否为4，即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得：若n=16，i=3，MOD（16，3）=1，不满足条件MOD（16，3）=0，i=4，MOD（16，4）=0，满足条件MOD（16，4）=0，退出循环，输出i的值为4，满足题意；若n=14，i=3，MOD（14，3）=2，不满足条件MOD（14，3）=0，i=4，MOD（14，4）=2，不满足条件MOD（14，4）=0，i=5，MOD（14，5）=4，不满足条件MOD（14，5）=0，i=6，MOD（14，6）=2，不满足条件MOD（14，6）=0，i=7，MOD（14，7）=0，满足条件MOD（14，7）=0，退出循环，输出i的值为7，不满足题意；若n=12，i=3，MOD（12，3）=0，满足条件MOD（12，3）=0，退出循环，输出i的值为3，不满足题意；若n=10，i=3，MOD（10，3）=1，不满足条件MOD（10，3）=0，i=4，MOD（10，4）=2，不满足条件MOD（10，4）=0，i=5，MOD（10，5）=0，满足条件MOD（14，5）=0，退出循环，输出i的值为5，不满足题意；故选：A6某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A110B100C90D80【考点】极差、方差与标准差【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可【解答】解：按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为20=2，设C组总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为=，即m（m1）=90，解得 m=10设总体中员工总数为x，则由=，可得x=100，故选：B7一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）ABC3D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球设其四棱锥的外接球的半径为r，则312=（2r）2，解得r=该几何体外接球的体积=故选：A8已知直线ax+y1=0与圆C：（x1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）AB1C1或1D1【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意可得ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，a）到直线ax+y1=0的距离等于rsin45，再利用点到直线的距离公式求得a的值【解答】解：由题意可得ABC是等腰直角三角形，圆心C（1，a）到直线ax+y1=0的距离等于rsin45=，再利用点到直线的距离公式可得=，a=1，故选：C9，则的值为（）ABCD【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】由二倍角公式化简sin2，由同角的三角函数恒等式得到（sin+cos）2，结合的范围，得到开平方的值【解答】解：，sincos=，sin2+cos2=1（sin+cos）2=1+2sincos=，=（cos+sin）=cos+sin=故选：D10已知命题：函数y=2x（1x1）的值域是，2；为了得到函数y=sin（2x）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；当n=0或n=1时，幂函数y=xn的图象都是一条直线；已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）其中正确的命题是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据指数函数的单调性进行判断根据三角函数的图象关系进行判断根据幂函数的定义和性质进行判断根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断【解答】解：y=2x是增函数，当1x1时，函数的值域是，2；故正确，函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度，则y=sin2（x）=sin（2x，则无法得到函数y=sin（2x）的图象，故错误，当n=0时，y=x0=1，（x0）是两条射线，当n=1时，幂函数y=x的图象都是一条直线；故错误，作出函数f（x）的图象如图，f（x）在（0，1上递减，在（1，2）上递增，在（2，+）单调递减，又a，b，c互不相等，a，b，c在（0，2上有两个，在（2，+）上有一个，不妨设a（0，1，b（1，2），c（2，+），则log2a+log2b=0，即ab=1，则abc的取值范围是c的取值范围，由x+2=0，得x=4，则2c4，则2abc4，即abc的取值范围是（2，4）故正确，故选：B11已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c，进而得到所求双曲线的离心率【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程xay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，则l的方程为：x+ayman=0，l与渐近线xay=0交点为A，则A（，），|OA|=|，P点到OA的距离是：，|OA|d=1，|.=1，a=2，故选：D12已知函数f（x）=aln（x+1）x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式1恒成立，则实数a的取值范围是（）A15，+）B6，+）C（，15D（，6【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法 进行求解即可【解答】解：因为pq，不妨设pq，由于，所以f（p+1）f（q+1）pq，得f（p+1）（p+1）f（q+1）（q+1）0，因为pq，所以p+1q+1，所以g（x）=f（x+1）（x+1）在（0，1）内是增函数，所以g（x）0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a（2x+3）（x+2）的最大值，因为x（0，1）时（2x+3）（x+2）15，所以实数a的取值范围为15，+）故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若函数f（x）=xalnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得a的方程，即可得到所求值【解答】解：函数f（x）=xalnx的导数为f（x）=1，由在点（1，1）处的切线方程为y=1，可得在点（1，1）处的切线斜率为1a=0，解得a=1故答案为：114已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为4【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=2x+z由图形可知当直线y=2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大解方程组，得B（1，2）z的最大值为z=21+2=4故答案为：415若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=【考点】定积分【分析】对已知等式两边求导，得到f（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求【解答】解：对f（x）+01f（x）dx=x两边求导，得到f（x）=1，所以设f（x）=x+c，由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=，所以=（）|=；故答案为：16，是两平面，AB，CD是两条线段，已知=EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF，现有下列条件：AC；AC与，所成的角相等；AC与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF其中能成为增加条件的序号是或【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论【解答】解：因为AC，且EF，所以ACEF又AB且EF，所以EFAB因为ACAB=A，AC平面ACBD，AB平面ACBD，所以EF平面ACBD，因为BD平面ACBD，所以BDEF所以可以成为增加的条件AC与，所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直所以不可以成为增加的条件AC与CD在内的射影在同一条直线上因为CD且EF所以EFCD所以EF与CD在内的射影垂直，AC与CD在内的射影在同一条直线上所以EFAC，因为ACCD=C，AC平面ACBD，CD平面ACBD，所以EF平面ACBD，因为BD平面ACBD所以BDEF所以可以成为增加的条件若ACEF，则AC平面，所以BDAC，所以BDEF所以不可以成为增加的条件故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17等差数列an中，已知an0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列bn的前三项（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得an再利用等比数列的通项公式即可得出bn（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）设设等差数列的公差为d，则由已知得：a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，又（5d+2）（5+d+13）=100，解得d=2或d=13（舍），a1=a2d=3，an=a1+（n1）d=2n+1，又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，q=2（2），两式相减得，则18为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表分数（分数段）频数（人数）频率60，70）9x70，80）y0.3880，90）160.3290，100）zs合计p1（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值（）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望【解答】解：（1）由题意知，参赛选手共有p=50人，x=0.18，y=500.38=19，z=5091916=6s=（）由（）知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0，1，2，随机变量X的分布列为：X012P因为，所以随机变量X的数学期望为l19如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，ODPC（1）求证：OCPD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角DPCB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）连结OP，推导出OPAB，从而OP平面ABCD，由OPOD，OPOC，得ODOC，再由OPOC，能证明OCPD（2）设AD=1，则AB=2，推导出DPA为直线PD与平面PAB所成的角，设PC的中点为M，连接DM，则DMPC在RtCBP中，过M作NMPC，交PB于点N，则DMN为二面角DPCB的一个平面角，由此能求出二面角DPCB的余弦值【解答】证明：（1）连结OP，PA=PB，O为AB的中点，OPAB侧面PAB底面ABCD，OP平面ABCD，OPOD，OPOC，ODPC，OD平面OPC，ODOC，又OPOC，OC平面OPD，OCPD 解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得ODOC，AB=2AD，不妨设AD=1，则AB=2侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，DA平面PAB，CB平面PAB，DPADPA，DPA为直线PD与平面PAB所成的角DPA=30，CPB=30，DP=CP=2，PDC为等边三角形，设PC的中点为M，连接DM，则DMPC在RtCBP中，过M作NMPC，交PB于点N，则DMN为二面角DPCB的一个平面角由于CPB=30，PM=1，在RtPMN中，ND2=3+1=4，即二面角DPCB的余弦值20已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆的离心率为，且经过点，求出a，b，c，由此能求出椭圆方程（）设直线l的方程为x=ty1，代入椭圆方程得（4+3t2）y26ty9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程【解答】解：（）椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2，a=2c，a2=4c2，b2=3c2，将点的坐标代入椭圆方程得c2=1，故所求椭圆方程为（）设直线l的方程为x=ty1，代入椭圆方程得（4+3t2）y26ty9=0，判别式大于0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），AF2B的内切圆半径为r0，则有，=，而=，解得t2=1，所求圆与直线l相切，半径=，所求圆的方程为（x1）2+y2=221已知函数f（x）=+ax，x1（）若f（x）在（1，+）上单调递减，求实数a的取值范围；（）若a=2，求函数f（x）的极小值；（）若方程（2xm）lnx+x=0在（1，e上有两个不等实根，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）求出函数的导数，通过f（x）0在x（1，+）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围（）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值（）化简方程（2xm）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e上有两个不同的交点，结合由（）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围【解答】（本小题满分13分）解：（）函数f（x）=+ax，x1，由题意可得f（x）0在x（1，+）上恒成立；，x（1，+），lnx（0，+），时函数t=的最小值为，（） 当a=2时， 令f（x）=0得2ln2x+lnx1=0，解得或lnx=1（舍），即当时，f（x）0，当时，f（x）0f（x）的极小值为（）将方程（2xm）lnx+x=0两边同除lnx得整理得即函数f（x）与函数y=m在（1，e上有两个不同的交点；由（）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x1时，实数m的取值范围为请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C（）证明：CBD=DBA；（）若AD=3D