高中数学 3章归纳总结课件 新人教B版选修21.ppt

本章归纳总结 1 空间向量的概念及其运算与平面向量类似 向量加 减法的平行四边形法则 三角形法则以及相关的运算律仍然成立 空间向量的数量积运算 共线向量定理 共面向量定理都是平面向量在空间中的推广 空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广 2 a b 0 a b是数形结合的纽带之一 这是运用空间向量研究线线 线面 面面垂直的关键 通常可以与向量的运算法则 有关运算律联系来解决垂直的论证问题 4 直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念 通过研究方向向量与法向量之间的关系 可以来确定直线与直线 直线与平面 平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题 5 用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 1 线线平行证明两条直线垂直 只需证明两条直线的方向向量是共线向量 2 线线垂直证明两条直线平行 只需证明两直线的方向向量垂直 即a b a b 0 3 线面平行用向量证明线面平行的方法主要有 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量 利用共面向量定理 即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量 4 线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有 证明直线方向向量与平面法向量平行 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 5 面面平行 证明两个平面的法向量平行 即是共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 6 面面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直 转化为线面垂直 线线垂直问题 6 运用空间向量求空间角 1 求两异面直线所成角 2 求线面角求直线与平面所成角时 一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量 通过数量积求出直线与平面所成角 另一种方法是借助平面的法向量 先求出直线方向向量与平面法向量的夹角 即可求出直线与平面所成的角 其关系是sin cos 3 求二面角用向量法求二面角也有两种方法 一种方法是利用平面角的定义 在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量 然后求出这两个方向向量的夹角 由此可求出二面角的大小 另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角 它与二面角的大小相等或互补 7 运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点 点与线 点与面的距离 1 点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度 因此也就是这两点对应向量的模 2 点与面的距离点面距离的求解步骤是 求出该平面的一个法向量 求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量 求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模 即可得到要求的点面距离 1 空间向量有关概念的辨析题 空间向量中的所有概念都是严密 精练 准确的 在出辨析题时往往改变 缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况 所以对基本概念的理解要做到全面 准确 深入 若a b 0 则 a b 是钝角 若a是直线l的方向向量 则 a r 也是l的方向向量 非零向量a b c满足a与b b与c c与a都是共面向量 则a b c必共面 其中错误命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 答案 d 说明 正确理解 掌握空间向量的基本概念和公式 才能迅速解决此类问题 以下四个命题中 正确的命题个数为 若a b共线 则a与b所在直线平行 若a b所在直线是异面直线 则a与b一定不共面 若a b c三向量两两共面 则由a b c三向量一定也共面 若a b c三向量共面 则a b所在直线所确定的平面与由b c所在直线所确定的平面一定平行a 0个b 1个c 2个d 3个 答案 a 解析 a b共线时 a与b所在的直线平行或重合 不正确 空间任意两向量共面 不正确 由 知a b c一定两两共面 但无法保证a b c共面 不正确 a b c共面时 a b所在的直线可能异面 不正确 2 空间向量的运算及其坐标表示法空间向量的运算是其应用的主要途径 尤其是两个向量的数量积是应用的重点 空间向量运算的坐标表示是立体几何中的证明 计算转化成代数问题的唯一通道 尤其是立体几何中的开放性问题可转化成代数中的解方程问题 从而得到简单的解答 解析 根据图形的结构特点 可建立空间直角坐标系 通过点和向量的坐标将问题转化成代数方程是否有解的问题 如图建立空间直角坐标系 则a 0 0 0 p 0 0 2 c 1 1 0 d 0 2 0 设直线ap上有一点m 0 0 z0 设平面pcd的一个法向量为n x y z 则由 说明 利用空间向量的运算 可以完成空间中的有关计算 证明等题型 如图 直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是矩形 ab 2 ad 1 aa1 3 m是bc的中点 在dd1上是否存在一点n 使mn dc1 并说明理由 1 利用空间向量解决平行垂直问题 直线与直线的平行转化为共线向量 直线与直线的垂直转化为数量积为0 直线与平面的平行转化为直线的方向向量用平面内两不共线向量表示出来或直线的方向向量与平面法向量表示 而面面平行与垂直 也是从两平面的法向量的平行与垂直体现的 例3 2010 安徽 理 18 如图 在多面体abcdef中 四边形abcd是正方形 ef ab ef fb ab 2ef bfc 90 bf fc h为bc的中点 1 求证 fh 平面edb 2 求证 ac 平面edb 3 求二面角b de c的大小 解析 四边形abcd为正方形 ab bc 又ef ab ef bc 又ef fb ef 平面bfc ef fh ab fh 又bf fc h为bc的中点 fh bc fh 平面abc 点评 综合法更注重推理 方法巧妙 计算量不大 对空间想象能力以及逻辑推理能力要求较高 而向量法更多的是计算而且方法统一 具有格式化 易于掌握 从近几年高考尤其新课标地区的高考题来看主要以向量法的考察为主 较少使用综合法 如图 四棱锥p abcd中 pb 底面abcd cd pd 底面abcd为直角梯形 ad bc ab bc ab ad pb 3 点e在棱pa上 且pe 2ea 1 求证 pc 平面ebd 2 求平面pcd与平面pab所成的角的大小 用反三角函数表示 2 利用空间向量求异面直线所成角 线面角及二面角大小 简化了这类题型的思维量 例4 如图 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 e是bc的中点 1 求直线a1c与de所成的角 2 求直线ad与平面b1ed所成的角 解析 以a为坐标原点 ab ad aa1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 说明 向量所成角与异面直线所成角 线面角及二面角的大小之间有着密切联系 注意范围 这也是这三类角的最主要求法 3 利用空间向量求距离立