西交计算方法A上机大作业.docx

计算方法A上机大作业1. 共轭梯度法求解线性方程组算法原理：由定理3.4.1可知系数矩阵A是对称正定矩阵的线性方程组Ax=b的解与求解二次函数 极小点具有等价性，所以可以利用共轭梯度法求解的极小点来达到求解Ax=b的目的。共轭梯度法在形式上具有迭代法的特征，在给定初始值情况下，根据迭代公式：产生的迭代序列 在无舍入误差假定下，最多经过n次迭代，就可求得 的最小值，也就是方程Ax=b的解。首先导出最佳步长的计算式。假设迭代点和搜索方向已经给定，便可以通过 的极小化来求得，根据多元复合函数的求导法则得:令，得到: ，其中然后确定搜索方向。给定初始向量后，由于负梯度方向是函数下降最快的方向，故第一次迭代取搜索方向 。令其中。第二次迭代时，从 出发的搜索方向不再取，而是选取，使得与是关于矩阵A的共轭向量，由此可求得参数:然后从出发，沿进行搜索得到设已经求出，计算。令，选取，使得和是关于A的共轭向量，可得:具体编程计算过程如下：（1） 给定初始近似向量 以及精度 ；（2） 计算，取；（3） For k=0 to n-1 do（i）；（ii）；（iii）；（iv）若，则输出近似解 ，停止；否则，转（v）； （v） ；（vi）；End do程序框图：程序使用说明：本共轭梯度法求解线性方程的程序直接打开matlab运行，在求解线性方程组Ax=b（A是对称正定矩阵）的时候，直接运行程序Gongetidufa,输入A,b的值，虽然该函数是通用的，但是对于矩阵A和向量b的输入，需要使用者根据A和b的特点自行输入。算例3.4.2计算结果：对99页例题3.4.2，运行程序Gongetidufa将矩阵A,b读入系统程序如下：clear allclcA=input(请输入A的值); %输入n阶正定矩阵A的值b=input(请输入b的值:); %输入b的值n=size(A,1); %求出矩阵A的行数x=zeros(n,1); %给定x的初始值e=10(-12); %给出精度r=b-A*x;d=r;for(i=1:n) a=norm(r,2)2/(d*A*d); %求最佳步长 x=x+a*d; j=r; r=b-A*x; if(norm(r)=e|i=n) break; else B=norm(r,2)2/norm(j,2)2; d=r+B*d; end endx %输出最终的x的结果计算结果：x=1;1;12.三次样条差值算法原理（三次样条插值函数的导出）：(i).导出在子区间 上的S(x)的表达式由于S(x)的二阶导数连续，设S(x)再节点处的二阶导数值S(xi)=Mi，其中Mi为未知的待定参数。由S(x)是分段的三次多项式知，S(x)是分段线性函数，S(x)在子区间上可表示为其中hi=xi-x(i-1),对上式两次积分得到由插值条件 得到将 代入 可得(ii).建立参数 的方程组对 S(x)求导可得上式中令 得S(x)在xi处的左导数 ，令得到右导数，因为S(x)在内节点xi处一阶导数连续，所以，进一步推导可得 其中，上式为三弯矩方程组，因为三弯矩方程组只有n-1个方程，不能确定n+1个未知量Mi，所以需要再增加两个方程，由边界条件确定。第一种边界条件:此时已知 .不妨取，这时三弯矩方程组化为：以上方程组系数矩阵式严格三对角占优矩阵，可用追赶法求解。求出 后，代入S(x)可得三次样条插值函数的数学表达式。第二种边界条件：已知。记，则有所以：即其中所以得到第二种边界条件下的三弯矩方程组：该方程组系数矩阵是严格三对角占优矩阵，可用追赶法求解，具体追赶法的求解过程见数值分析教材。第三种边界条件：周期型边界条件.已知 是以 为周期的周期函数，则由周期性可知， ，这时，可以将点 看成内点，则方程组对i=n也成立，既有 ，也即，其中于是三弯矩方程组化为该方程组可用matlab直接解出。 程序框图如下：程序使用说明：本程序是求解137页例题4.6.1的运行结果，通过程序便可求得M，然后根据便可得到，在 上的三次样条插值函数，进而得到整个区间上的三次样条差值函数。算例计算结果：137页例题4.6.1的计算实习1、打开matlab运行Sanciyangtiao程序2、自行输入x和y的节点值3、得出计算结果3.龙贝格积分法对于复化梯形求积公式，取积分近似值对复化辛普森求积公式因为，所以上述两式相除得所以，同理，对，和分析可得龙贝格积分算法如下：如果 则取，否则，继续计算直到满足条件。程序框图：程序使用说明:运行本程序的时候，直接按照提示输入所求积分的原函数 （比如 ），然后按提示依次输入积分下限 ，积分上限和积分精度 ，然后程序便可计算出原函数在 之间的积分数值。算例计算结果：209页题6.2第一小题计算实习结果 4.四阶龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题算法原理：用标准4级4阶R-K法求解一阶常微分方程的算法公式为：程序框图：开始定义变量x,y；输入f(x,y)的函数表达式输入积分区间、步长h、初始值y0、计算循环次数nFor循环计算yii=n 是 否结束，输出yi程序使用说明：运行该程序，该程序是以求解277页例题9.1.2目的编写出来的，考虑到通用性，我们可以根据需要，自行修改代码中的f=inline(-0.9*y/(1+2*x),x,y);其中inline中第一