差数的显著性检验.ppt

教育统计与测量RESEARCHINEDUCATIONALSTATISTICS 第五章差数的显著性检验HypothesisTestingwithStandardErrors 问题 一 某区三年级数学考试的平均成绩为86 5分 标准差为13 8分 其中某实验学校三年级152人的数学考试的平均成绩为90 5分 问该校三年级数学考试的平均成绩与全区的平均成绩之间是否有显著差异 二 某自然课实验班52名学生自然课考试的平均成绩为97 5分 标准差为15 6分 另一非实验班54名学生自然课考试的平均成绩为95分 标准差为17 5分 问自然课实验是否取得了显著的效果 第一节平均数差异的显著性检验 平均数差异的显著性检验要解决两个问题 第一个问题 检验已知样本平均数为的总体平均数 是否等于已知的总体平均数 0 即检验已知样本平均数与已知总体平均数 0的差异是否显著 因为这种检验仅考察一个未知总体参数 所以称为单总体检验 0 关系图 0已知 未知 已知 第二个问题 检验已知样本平均数分别为 1和 2的两个未知总体平均数 1和 2是否相等 即检验两样本平均数 1和 2的差异是否显著 因为这种检验考察了两个未知总体参数 1和 2 所以称为双总体检验 根据统计量抽样分布形态的特点 平均数差异的显著性检验可分为Z检验和t检验两种情况 1 1 2 2关系图 1未知 2未知 2已知 1已知 一 Z检验 一 平均数的单总体Z检验只要下面两种条件之一能得到满足 就可以应用平均数的单总体Z检验 其一 如果样本来自正态分布的总体 而且总体的标准差已知 这时无论样本容量多大 都可以采用平均数的单总体Z检验 其二 如果样本来自未知或者非正态的总体 只要样本容量充分大 一般要求n 30 也可以近似采用平均数的单总体Z检验 平均数的单总体Z检验的步骤如下 1 建立虚无假设 H 0 2 计算Z值 式中 为已知样本的平均数 0为已知总体的平均数 为已知总体的标准差 n为已知样本的容量 3 选择显著性水平 查标准正态分布表取得临界值Z 4 作出统计判断 如果 Z Z 则接受虚无假设H0 如果 Z Z 则拒绝虚无假设H0 例5 1 某区三年级数学考试的平均成绩为86 5分 标准差为13 8分 其中某实验学校三年级152人的数学考试的平均成绩为90 5分 问该校三年级数学考试的平均成绩与全区的平均成绩之间是否有显著差异 解 因为样本容量n 152 30 而且已知总体平均数 0 86 5分 标准差 13 8分 样本平均数 90 5分 要求判断 与 0的差异是否显著 所以应该采用平均数的单总体Z检验 检验步骤如下 1 建立虚无假设 H 0 2 计算Z值 3 确定显著性水平 0 01 查标准正态分布表得临界值Z0 01 2 58 4 作出统计判断 因为 Z Z0 01 所以拒绝H0 即认为该校三年级数学考试平均成绩与全区相比有极显著差异 二 平均数的双总体Z检验要检验两相互独立的样本平均数 1与 2是否差异显著 只需要下面两条件之一能满足 就能进行平均数的双总体的Z检验 其一 两相互独立样本分别来自已知总体标准差为 1与 2的正态总体 无论两样本容量大小如何 都能进行平均数的双总体Z检验 其二 两相互独立样本的容量充分大 一般要求大于30 无论两样本来自的总体的分布形态是否正态 都可以近似地进行平均数的双总体Z检验 而且当两总体标准差 1与 2未知时 可以用两样本标准差S1与S2来替代 平均数的双总体Z检验的步骤如下 1 建立虚无假设 H0 1 2 2 计算Z值 式中 1与 2为两样本的平均数 1与 2为两总体的标准差 n1与n2为两样本的容量 3 选择显著性水平 查标准正态分布表取得临界值Z 4 作出统计判断 如果 Z Z 则接受虚无假设H0 如果 Z Z 则拒绝虚无假设H0 例5 2 某自然课实验班52名学生自然课考试的平均成绩为97 5分 标准差为15 6分 另一非实验班54名学生自然课考试的平均成绩为95分 标准差为17 5分 问自然课实验是否取得了显著的效果 解 因为两班人数均超过30人 而且两班分数的取得互不影响 是两个相互独立的大样本 所以满足平均数的双总体Z检验的条件 由于两总体标准差 1与 2未知 因此需要用两样本标准差S1与S2来代替 其检验的步骤如下 1 建立虚无假设 Ho 1 2 2 计算Z值 3 确定显著性水平 0 05 查标准正态分布表得临界值Z0 05 1 96 4 作出统计判断 因为 Z Z0 05 所以接受虚无假设Ho 即认为两班自然课考试的平均成绩没有显著差异 自然课实验的效果不显著 普通高中男女生数学学习差异的研究 doc 教育统计与测量RESEARCHINEDUCATIONALSTATISTICS 二 t检验 TTEST 平均数差异显著检验的基本方法 t检验是利用抽样分布为t分布的t统计量来进行统计假设检验 检验过程中需计算t统计量和查t分布表 一 思考题 1 t检验与Z检验有什么联系与区别 2 t检验有哪类型 各适用于什么情况 3 平均数差异的显著性检验在应用中需要注意哪些问题 t检验与Z检验有什么联系与区别 联系 1 Z检验和t检验都可以用于平均数差异的显著性检验 2 Z检验是t检验的特例 区别 1 标准正态分布曲线只有一条 因此其临界值仅由显著性水平 所确定 而t分布曲线却有无数条 因此其临界值由指定曲线的自由度df和显著性水平 共同确定 t分布曲线的自由度df与样本容量n和统计假设有关 2 有些情况下不能使用Z检验而只能使用t检验 二 内容框架 t检验 单总体检验 独立样本的双总体检验 相关样本的双总体检验 三 过程分析 平均数的单总体t检验 MeansTestforOneSamplewithTTEST 检验的一般步骤为 1 建立虚无假设 H 0 2 计算t值 3 确定显著性水平 自由度df n l 查t分布表得临界值t df 4 作出统计判断 如果 t t df 则拒绝H0 如果 t t df 则接受H0 例5 3 某校五年级举行数学竞赛 已知全年级参加数学竞赛学生的数学水平呈正态分布 而且平均成绩为85 8分 某实验班参加数学竞赛的8名学生的分数分别为70 75 75 80 80 85 87 96 问该班的数学竞赛成绩与全年级相比是否有显著差异 解 条件分析 总体为正态分布 总体标准差 未知 样本容量n 8 30 因此要检验样本平均数 与总体平均数 0差异是否显著 适宜采用平均数的单总体t检验 检验步骤 1 建立虚无假设 H 0 2 计算t值 首先求出样本平均数和标准差 然后求t值 3 确定显著性水平选择 0 05 自由度df n一1 8 1 7 查t分布表得临界值t0 05 7 2 365 4 作出统计判断因为 t t0 05 7 所以接受H0 即认为该实验班的数学竞赛的平均成绩与全年级相比没有显著差异 EXCEL算法 1 语法 1 AVERAGE STDEV SQRT 2 TINV probability degrees freedom Probability为对应于双尾学生氏 t分布的概率 Degrees freedom为分布的自由度 2 实际操作例5 3 1 计算t值 2 求临界值t0 05 7 四 问题讨论 1 虚无假设在检验中有什么作用 2 在检验中S与 有什么不同 3 自由度df对检验有什么影响 4 如何选择显著性水平 5 你还有什么疑问 五 参考资源 1 王孝玲编著 教育统计学 华东师范大学出版社 2007年 P94 103 2 张厚粲 徐建平编著 现代心理与教育统计学 北京师范大学出版社 2003年 P258 260 六 参考练习 王孝玲编著 教育统计学 华东师范大学出版社 2007年 第19和21题 平均数的双总体t检验 MeansTestforTwoSampleswithTTEST 一 两相互独立样本的t检验 TwoIndependentSampleswithTTEST 1 条件与问题分析设两个平均数分别为 1与 2的样本 来自相互独立的两个正态分布总体 当检验 1与 2的差异是否显著时 可以采用两相互独立样本的t检验 这种t检验需要根据两总体的方差 12与 22是否相等来选择相应的检验公式 12与 22是否相等的推断方法将在本章的第二节中介绍 2 检验方法如果两总体方差 12 22 那么 两相互独立样本t检验的步骤如下 1 建立虚无假设 H0 1 2 2 计算t值 3 确定显著性水平 自由度df n1 n2 2 查t分布表得临界值t df 4 作出统计判断 如果t t df 则拒绝H0 如果 t t df 则接受H0 例5 4 从甲 乙两班分别抽取7名和8名学生进行看图说话测验 测验结果甲班7名学生的成绩为88 86 84 84 90 87 90 乙班8名学生的成绩为86 87 84 89 90 92 92 94 问甲 乙两班测验的平均成绩有无显著差异 解 1 条件分析假设两班学生看图说话的能力服从正态分布 两总体方差 2 下一节介绍检验方法 并且两样本相互独立 因此可以采用 时的两相互独立样本的t检验 2 检验步骤 1 建立虚无假设 H0 1 2 2 计算t值 首先求 1 2 S 和S 然后将上述各量数代入公式 5 4 求t值 3 确定显著性水平 0 05 计算自由度df n1 n2 2 7 8 2 13查t分布表得临界值t0 05 13 2 160 4 作出统计判断 因为 t t0 05 13 所以接受H0 即认为甲 乙两班测验的平均成绩无显著差异 EXCEL算法 1 语法 1 TTEST array1 array2 tails type Array1为第一个数据集 Array2为第二个数据集 Tails指明分布曲线的尾数 如果tails 1 函数TTEST使用单尾分布 如果tails 2 函数TTEST使用双尾分布 Type为t检验的类型 1代表成对 2代表等方差双样本检验 3代表异方差双样本检验 2 TINV probability degrees freedom Probability为对应于双尾学生氏 t分布的概率 Degrees freedom为分布的自由度 2 实际操作例5 4xls 1 求显著性水平 2 计算t值 二 两相关样本的t检验 TwoPairedSampleswithTTEST 在平均数的双总体t检验的假设前提下 如果要检验两相关样本的平均数 1与 2的差异是否显著 可以采用两相关样本的t检验方法 检验步骤如下 1 建立虚无假设 H0 1 2 2 计算t值 式中 D为两样本对应数据之差 即D X1 X2 为两样本n对应数据之差D的平均数 即 D n 3 确定显著性水平 自由度df n l 查t分布表得临界值t df 4 作出统计判断 如果 t t df 则拒绝H0 如果 t t df 则接受H0 两相关样本的t检验一般用于同一组统计对象实验前后测验结果的比较 同一组学生两等值测验成绩的比较 按照成绩或者能力等条件将学生一一配对分成两组测验成绩的比较等 例5 5 某校在一年级学生中选取了16名学生 按音乐能力大致相当的方式将他们配对分成两组 每组8人 采取不同的方法教学 教学结束后进行测验的成绩如下表的第一 二两列 问两种教学法产生的效果差异是否显著 解 由于两样本是配对形成的 所以是两相关样本 假定满足平均数的双总体t检验的其他条件 那么 可以采用两相关样本的t检验方法 检验步骤如下 1 建立虚无假设 H0 1 2 2 计算t值 首先求 1与 2 3 确定显著性水平 0 05 自由度df n l 8一l 7 查t分布表得临界值t0 05 7 2 365 4 作出统计判断 因为 t t0 05 7 所以拒绝Ho 即认为两种教学方法产生的教学效果有显著的差异 例5 5 xls特殊教育教师心理健康状况的调查研究 pdf特殊教育教师心理健康状况的调查研究 doc 六 阅读与练习 1 阅读 王孝玲编著 教育统计学 华东师范大学出版社 2007年 P1 6 118 P1 3 1 72 练习 P127第1题 P1 第4题 2 要求 基本方法理解 数据输入规范 格式设计美观 结果显示清楚 Z检验和t检验的联系与区别 虽然Z检验和t检验都可以用于平均数差异的显著性检验 但是在有些情况下不能使用Z检验而只能使用t检验 比如 当样本容量n较小 而且总体标准差 未知时 就只能采用t检验方法检验平均数差异的显著性 第二节其他量数差异的显著性检验 一 方差齐性的显著性检验其他量数差异的检验在上一节两相互独立样本的t检验中 曾对两总体方差 12与 22是否相等 作过不同的假设 方差 12 22或者 12 22的假设实际上可以通过统计假设检验来决定 这种对两正态总体方差的统计假设检验称为方差齐性的显著性检验 检验两总体方差是否相等 需要利用样本方差S12与S22 其中 假设两样本相互独立 且分别来自方差相等的两正态分布总体 那么 样本方差S12与S22的比称为F统计量 记为F S12 S22 F统计量构成的抽样分布称为F分布 利用F统计量的F分布就可以对两正态分布总体的方差齐性进行显著性检验 检验步骤如下 1 建立虚无假设 H0 12 22 2 计算F值 实际应用中 为了查F分布表方便起见 特别将S12与S22中的较大者作为分子 记为S2大 较小者作为分母 记为S2小 所以 常用的F统计量的形式为F S大2 S小2 5 6 3 确定显著性水平 分别计算分子和分母的自由度df大和df小 查F分布表得临界值F df大 df小 F分布的临界值由F df大 df小 显著性水平 自由度df大和df小共同决定 其中df大和df小可分别记为df1和df2 那么 df1 n1一1 df2 n2 l 分别列在F分布表的最上端一行和最左端一行 比如 某F统计量分子的自由度df1 9 分母的自由度df2 7 那么 当显著性水平 0 05时 查F分布表得临界值F0 05 9 7 3 68 当显著性水平 0 01时 查F分布表得临界值F0 01 9 7 6 71 4 作出统计判断 如果F F df1 df2 则拒绝H0 如果F F df1 df2 则接受H0 例5 6 在例5 4中 我们曾假设两总体方差 12 22 现可以采用F检验的方法对这一假设进行验证 为了便于查F分布表 即把方差较大的作为F的分子 较小的作为分母 所以 将两样本方差记为S12 10 57 S22 6 33 两样本容量改记为n1 8 n2 7 检验的步骤如下 1 建立虚无假设 H0 12 22 2 计算F值 F S12 S22 10 57 6 33 1 66 3 确定显著性水平 0 05 自由度df1 n1一1 8 1 7 df2 n2 1 7 l 6 查F分布表得临界值F0 05 7 6 4 2l 4 作出统计判断 因为F F0 05 7 6 所以接受H0 即认为虚无假设 12 22成立 二 比例差异的显著性检验 教育工作中 除了需要对平均数差异的显著性进行检验外 优秀率 合格率等比例差异显著性的检验也是经常要遇到的问题 比例差异的显著性检验也可分为单总体检验和双总体检验 一 比例差异显著性的单总体检验如果某总体具有某种属性的个体所占总体的比例为 0 而某样本具有该属性人数的比例p 那么 对样本比例p与总体比例 0差异的显著性检验就称为比例差异显著性的单总体检验 当样本容量n较大 p不接近0或者1 即np和n 1 p 中数值较小者大于5时 可以利用标准正态分布的Z统计量进行比例差异显著性的单总体检验 检验的步骤如下 1 建立虚无假设 H0 0 2 计算Z值 5 7 3 确定显著性水平 查标准正态分布表得临界值Z 4 作出统计判断 如果 Z Z 则拒绝H0 如果 Z Z 则接受H0 例5 7 1995年某市小学教师中 具有大专以上学历的教师的比例为14 5 而某小学60名教师中具有大专以上学历的有12人 问该小学教师具有大专以上学历人数的比例与全市相比是否有显著差异 解 已知总体的比例 0 0 145 样本的比例p 12 60 0 2 np 60 0 2 12和n 1 p 60 0 8 48中的较小者np 5 所以可以采用公式 6 9 进行比例差异显著性的单总体检验 检验步骤如下 1 建立虚无假设 H0 0 2 计算Z值 3 确定显著性水平 O 05 查标准正态分布表得临界值Z0 05 1 96 4 作出统计判断 因为 Z Z0 05 所以接受Ho 即认为该小学具有大专以上学历的教师与全市相比无显著差异 二 比例差异显著性的双总体检验检验两样本比例p1与p2差异的显著性就称为比例差异显著性的双总体检验 根据两样本是否相互独立 可采用不同的检验方法 1 两样本相互独立假设具有比例p1与p2的两个样本相互独立 而且均来自正态分布的总体 只要两样本容量n1与n2较大 p1与p2均不接近0或1 即n1p1 n1 1一p1 n2p2和n2 1一p2 中的最小者大于5 那么 就可以利用标准正态分布的Z统计量进行比例差异显著性的双总体检验 检验步骤如下 1 建立虚无假设 H0 1 2 2 计算Z值 5 8 式中 3 确定显著性水平 查标准正态分布表得临界值Z 4 作出统计判断 如果 Z Z 则拒绝H 如果 Z Z 则接受Ho 例5 8 甲校50名教师中35岁以下的青年教师占32名 乙校60名教师中35岁以下的青年教师占42名 问甲 乙两校35岁以下青年教师的比例是否有显著差异 解 已知n1 50 p1 32 50 0 64 n2 60 p2 42 60 0 7 两样本相互独立 而且n1p1 50 32 50 32 n1 1 p1 50 18 50 18 n2p2 60 42 60 42和n2 1 p2 60 18 60 18中的最小者n1 1 p1 18 5 所以可以采用公式 6 10 进行两独立样本的比例差异的显著