控制系统的数学模型1.ppt

第2章控制系统的数学模型 2 1线性系统的微分方程2 2非线性系统的线性化2 3传递函数2 4方框图及其变换2 5信号流图及其应用2 6控制系统的典型传递函数2 7用Matlab处理系统数学模型 控制系统的数学模型 描述系统内部各变量之间关系的数学表达式 工程控制中常用的数学模型有三种 微分方程 时域描述传递函数 复域描述频率特性 频域描述本节主要介绍传递函数与微分方程两种数学模型 建立控制系统数学模型的方法主要有两种 分析法 对系统各部分的运动机理进行分析 依据其所遵循的基本定律 列写出相应的运动方程 最后得到有关输入与输出关系的数学表达式 实验法 给系统施加某种测试信号 记录其输出响应 并用适当的数学模型去逼近 该方法也称为系统辨识 2 1线性系统的微分方程 用分析法建立系统微分方程的一般步骤如下 1 分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系 确定系统的输入量 输出量和中间变量 2 根据系统 或元件 的基本定律 物理 化学定律 从系统的输入端开始 依次列写组成系统各元件的运动方程 微分方程 3 联立方程 消去中间变量 得到有关输入量与输出量之间关系的微分方程 4 标准化 将与输出量有关的各项放在方程的左边 与输入量有关的各项放在方程的右边 等式两边的导数项按降幂排列 下面举例说明系统微分方程列写的步骤和方法 例2 1设有由电阻R 电感L和电容C组成的电路 试列写以ui为输入量 uo为输出量的微分方程 解设回路电流为i 根据基尔霍夫定律 消去中间变量i 得到系统输入输出关系的微分方程为 例2 2设有由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成的机械转动系统 如图所示 试列写以力矩Mi为输入变量 角速度 为输出变量的系统微分方程 解根据牛顿定律可写出下列方程式中 f 阻尼器的粘性摩擦阻力矩 它与角速度 成正比 f 阻尼系数 J 惯性负载的转动惯量 1 将方程 1 写成标准形式 求得系统的微分方程为 若以负载转角 为系统的输出量 即有则系统的微分方程为 例2 3弹簧 质量块 阻尼器系统解当外力f t 作用于系统时 系统产生位移X t 由力的传递特性 有 消去中间变量 令输入 输出 2 2非线性系统的线性化 实际的物理系统往往有间隙 死区 饱和等非线性特性 严格地讲 任何一个元件或系统都不同程度地具有非线性特性 在研究系统时尽量将非线性在合理 可能的条件下简化为线性问题 即将非线性模型线性化 非线性函数的线性化 将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数 忽略二次以上高阶无穷小量及余项 得到近似的线性化方程 假如元件的输出与输入之间的关系的曲线如图所示 元件的工作点为 x0 y0 将非线性函数y f x 在工作点 x0 y0 附近展开成泰勒级数 得 当 x x0 为微小增量时 可略去二阶以上各项 写成 式中 为工作点 x0 y0 处的斜率 即此时以工作点处的切线代替曲线 得到变量在工作点的增量方程 则输出与输入之间就变成了线性关系 如果系统中非线性元件不止一个 则必须对各非线性元件建立它们工作点的线性化增量方程 具有两个自变量的非线性函数的线性化 增量线性方程 在求取线性化增量方程时应注意 线性化方程通常是以增量方程描述的 线性化往往是相对某一工作点 平衡点 进行的 在线性化之前 必须确定元件的工作点 变量的变化必须是小范围的 对于严重非线性元件或系统 原则上不能用小偏差法进行线性化 应利用非线性系统理论解决 2 3传递函数 控制系统的微分方程 在时间域描述系统动态性能的数学模型 给定外作用和初始条件 求解控制系统的微分方程可得到系统输出响应的表达式 并可作出输出量的时间响应曲线 当系统参数或结构改变 需要重写微分方程 微分方程阶数越高 工作越复杂 使用微分方程对系统进行分析与设计就存在不便 利用传递函数不必求解微分方程就可分析系统的动态性能 以及系统参数或结构变化对动态性能的影响 2 3 1传递函数的定义 线性定常系统的传递函数 线性定常系统在零初始条件下 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 即 图2 1传递函数方框图 传递函数与输入 输出之间的关系 可用图2 1所示的方框图表示 设线性定常系统的微分方程为 c t 系统输出量 r t 系统输入量 1 由系统结构和参数决定的常数 设c t 和r t 及其各阶导数初始值均为零 对式 1 取拉氏变换得 则系统的传递函数为 2 3 2传递函数的基本性质 传递函数的概念只适用于线性定常系统 传递函数只与系统本身的结构和参数有关 与系统输入量的大小和形式无关 传递函数是在零初始条件下定义的 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律 传递函数为一有理真分式 即一般n m 系数均为实数 一个传递函数只能表示单输入单输出的关系 对多输入多输出系统 要用传递函数阵表示 传递函数可表达成零极点形式和时间常数形式两种形式 a 零极点形式p1 p2 pn为分母多项式的根 称为传递函数的极点z1 z2 zn为分子多项式的根 称为传递函数的零点Kg称为根轨迹放大系数系统的零 极点完全取决于系统的结构和参数 b 时间常数形式 式中 i i 1 m 和Ti i 1 n 为时间常数Kk称为系统的开环放大系数 2 3 3典型环节的传递函数 1 比例环节输出量与输入量成正比 不失真也无时间滞后的环节称为比例环节 比例环节的动态方程为 式中 K 放大系数或增益 传递函数为 比例环节 例2 4如图所示为运算放大器 设输入为ui t 输出为uo t 求其传递函数 解根据电路定律 可知该电路的微分方程为 传递函数为 其中 K R2 R1 2 积分环节积分环节的动态方程为 式中 Ti 积分时间常数 传递函数为 积分环节的方框图 例2 5如图所示为运算放大器 设输入为ui t 输出为uo t 求其传递函数 解根据电路定律 可知该电路的微分方程为传递函数为 式中 Ti RC 3 微分环节微分环节的动态方程为式中 Td 微分时间常数传递函数为 微分环节方框图 例2 6如图所示为一电感线圈 设输入为i t 输出为uo t 求其传递函数 解根据基尔霍夫定律 可知该电路的微分方程为传递函数为 4 惯性环节惯性环节的动态方程为 式中 T 惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益或放大系数 传递函数为 惯性环节方框图 例2 7如图所示为RC网络 设输入为ui t 输出为uo t 求其传递函数 解根据基尔霍夫定律 可知该电路的微分方程为 对上式进行零初始条件下的拉式变换 得 消去中间变量I s 得到 传递函数为 5 一阶微分环节一阶微分环节的动态方程为传递函数为 一阶微分环节方框图 6 二阶振荡环节二阶振荡环节的动态方程为 传递函数为 式中 n 1 T 无阻尼自然振荡频率 阻尼比 二阶振荡环节方框图 例2 8如图所示RLC电路 设输入为ui t 输出为uo t 求其传递函数 解根据基尔霍夫定律可知该电路的微分方程为 对上式进行零初始条件下的拉式变换 得 消去中间变量I s 得到 传递函数为 式中 7 二阶微分环节二阶微分环节的动态方程为 传递函数为 二阶微分环节方框图 8 时滞环节时滞环节是在输入信号作用后 输出信号要延迟一段时间才重现输入信号的环节 其动态方程为 传递函数为 延迟环节方框图 在实际生产中 有很多场合是存在延迟的 如测量系统 皮带或管道输送过程 管道反应和管道混合过程等 2 4方框图及其变换 方框图又称方块图或结构图 具有形象和直观的特点 方框图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成 它包含以下四种基本单元 1 信号线 带有箭头的直线 箭头表示信号传递的方向 线上标记所对应的变量 如图2 2 a 所示 2 4 1方框图 2 比较点 或综合点 表示对两个或两个以上的信号进行加减运算 表示相加 可省略不写 表示相减 如图2 2 b 所示 3 方框 方框中为元件或系统的传递函数 方框的输出信号等于输入信号乘以方框中的传递函数 如图2 2 c 所示 4 引出点 或分支点 表示信号引出或测量的位置 从同一位置引出的信号 大小和性质完全相同 如图2 2 d 所示 图2 2方框图的基本单元 绘制控制系统方框图的一般步骤 写出组成系统各环节的微分方程 求取各环节的传递函数 绘制各环节的方框图 从输入端开始 按信号流向依次将各环节方框图用信号线连接成整体 即得控制系统方框图 例2 9试绘制如图所示的RC网络的方框图 设输入为u1 t 输出为u2 t 解根据基尔霍夫定律且在零初始条件下 对上述方程取拉式变换 RC网络 将每式用方框图表示 如图所示 各环节方框图 从输入量开始 将同一变量的信号线连接起来 得到系统的方框图 如图所示 2 4 2方框图的等效变换 目的 简化系统传递函数的计算原则 1 代数运算原则 因为传递函数是以复数s为变量的代数方程 2 保持变换前后输入输出关系不变 方框间的基本连接方式只有串联 并联和反馈连接三种 因此 结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点 合并串联 并联和反馈连接的方框 1 串联传递函数分别为G1 s 和G2 s 的两个方框 若G1 s 的输出量为G2 s 的输入量 则G1 s 和G2 s 的方框连接称为串联 结论 多个环节串联后总的传递函数等于每个环节传递函数的乘积 G s G1 s G2 s Gn s 2 并联 式中G s G1 s G2 s 结论 多个环节并联后的传递函数等于所有并联环节传递函数之和 G s G1 s G2 s Gn s 3 反馈连接 式中 称为系统的闭环传递函数 结论 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通道的传递函数除以1加 若正反馈为减 前向通道与反馈通道传递函数的乘积 4 比较点和引出点的移动在系统方框图简化过程中 除了进行方框的串联 并联和反馈连接的等效变换外 还需要移动比较点和引出点的位置 应注意在移动前后保持信号的等效性 表2 1列出了方框图等效变换的基本法则 可供查用 表2 1 例2 10试简化如图所示系统结构图 并求系统的传递函数C s R s 解首先要消除交叉连接 第一步 将引出点后移 如图 a 所示 a 第二步 对图 a 中由G3 s G4 s 和H3 s 构成的回路1进行等效变换 简化为 b b 第三步 对图 b 中的回路2进行等效变换 简化为图 c c 最后 对图 c 中的回路3进行等效变换 简化为图 d d 系统的传递函数 2 5信号流图及其应用 结构图优点 直观完整的表达变量间的关系 方块图 缺点 关联性复杂的系统化简繁杂 费时信号流图优点 无需化简 可用梅逊公式 2 5 1信号流图的定义与术语 信号流图中的定义和术语 图2 3信号流图 节点表示变量或信号的点 用符号 o 表示 传输两节点间的增益或传递函数 如图2 3中的G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 支路连接两个节点并标有信号流向的定向线段 支路的增益即是传输 如图2 3中支路x2 x3的传输为G2 支路x3 x2的传输为 H1 源点只有输出支路而无输入支路的节点 也称为输入节点 它与控制系统的输入信号相对应 如图2 3中节点x1 阱点只有输入支路而无输出支路的节点 也称为输出节点 它与控制系统的输出信号相对应 如图2 3中节点x7 混合节点既有输入支路也有输出支路的节点 如图2 3中节点x2 x3 x4 x5 x6 通路沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的路径 如果通路与任一节点相交的次数不多于一次 则称为开通路 如果通路的终点就是通路的起点 而与任何其它节点相交的次数不多于一次 则称为闭通路或回路 如图2 3中有五个回路 分别为x2 x3 x2 x4 x5 x4 x5 x5 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x2 x3 x5 x6 x2 回路增益回路中各支路传输的乘积 如图2 3中的五个回路增益分别为 G2H1 G4H2 H3 G2G3G4G5H4 G2G7G5H4 不接触回路如果回路间没有任何共有节点 则称它们为不接触回路 如图2 3中有两对不接触回路 x2 x3 x2与x4 x5 x4 x2 x3 x2与x5 x5 前向通路如果在从源点到阱点的通路上 通过任何节点不多于一次 则该通路称为前向通路 如图2 3中有两条前向通路 分别为x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x2 x3 x5 x6 x7前向通路中各支路传输的乘积 称为前向通路增益 2 5 2信号流图的基本性质 信号只能沿着支路上箭头表示的方向传递 节点将所有输入支路的信号叠加 并把叠加结果送给所有相连的输出支路 具有输入和输出支路的混合节点 通过增加一个具有单位传输的线路 可将其变为输出节点 对于给定的系统 其信号流图不唯一 2 5 3信号流图的绘制 信号流图可以根据系统的运动方程绘制 也可以由系统方框图按照对应关系得出 例2 11 例2 11的信号流图 式中 六个节点分别为I1 s I2 s I3 s U0 s U1 s U2 s 其中U1 s 为源点 U2 s 为阱点 按照数学方程式表示的关系 将各变量用相应增益的支路连接 即可得系统的信号流图如上图所示 在表2 2中 给出了一些控制系统方框图与信号流图的对照表 从表中可以看出 控制系统的方框图与信号流图是一一对应的 同时也是可以互相转化的 表2 2控制系统方框图与信号流图对照表 2 5 4信号流图的Mason公式 在信号流图中计算输入节点与输出节点间传递函数的Mason公式为n 前向通路的条数 P 总增益 Pk 第k条前向通路的增益 信号流图的特征式 即 k 在 中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式 称为第k条前向通路特征式的余因子 所有回路增益之和 每两个不接触回路增益乘积之和 每三个不接触回路增益乘积之和 例2 12试应用Mason公式 求下图所示系统的传递函数C s R s 解由图可知 该系统有四条前向通路 它们的通路增益分别为 有六个回路 各回路的增益分别为 其中 有一对不接触回路L1和L2 其增益之积系统的特征式所有回路与前向通路均有接触 则 根据Mason公式 系统的传递函数 图2 4闭环控制系统典型结构图 2 6控制系统的典型传递函数 自动控制系统在工作过程中 常会受到两类外作用信号的影响 扰动信号或称为干扰信号 用n t 表示 有用信号 给定信号 输入信号 参考输入 用r t 表示 2 6 1系统的开环传递函数 在图2 4中 将H s 的输出通路断开 即断开系统的主反馈通路 定义 反馈信号B s 与偏差信号E s 之比 结论 开环传递函数等于前向通路传递函数G s 和反馈通路传递函数H s 的乘积 2 6 2系统的闭环传递函数 1 给定信号R s 作用下的闭环传递函数令N s 0 这时图2 4简化为给定信号R s 作用下的闭环传递函数 R s 作用下系统的结构图 当系统中只有R s 信号作用时 系统的输出C s 完全取决于 cr s 及R s 的形式 2 扰动信号N s 作用下的闭环传递函数为研究扰动对系统的影响 需要求出C s 对N s 之间的传递函数 令R s 0 则图2 4可简化为 N s 作用下系统的结构图 则扰动信号N s 作用下的闭环传递函数由于扰动信号N s 在系统中的作用位置与给定信号R s 的作用点不一定是同一个地方 故两个闭环传递函数一般是不相同的 这也表明引入扰动作用下系统闭环传递函数的必要性 3 系统的总输出当给定信号和扰动信号同时作用于系统时 根据线性叠加原理 线性系统的总输出等于各外作用引起的输出的总和 2 6 3系统的误差传递函数 误差的大小 直接反映了系统工作的精度 得到误差与系统的给定信号R s 及扰动信号N s 之间的数学模型 是非常必要的 定义 误差为给定信号与反馈信号之差 即 1 给定信号R s 作用下的误差传递函数令N s 0 则图2 4简化为则给定信号R s 作用下系统的误差传递函数 R s 作用下误差输出的结构图 2 扰动信号N s 作用下的误差传递函数令R s 0 则图2 4简化为则扰动信号N s 作用下系统的误差传递函数 N s 作用下误差输出的结构图 3 系统的总误差根据线性叠加原理 系统的总误差为 2 7用Matlab处理系统数学模型 2 7 1多项式求根 在Matlab中采用行向量表示多项式 行向量内的各元素是按降幂排列的多项式系数 多项式的系数行向量可以表示如下 P a0 a1 an 多项式求根在Matlab中可以用函数roots P 实现 例2 13设多项式为试用MATLAB语句求该多项式的根 解MATLAB语句如下 ex2 17P 12345 r roots P 运行结果为 r 0 2878 1 4161i0 2878 1 4161i 1 2878 0 8579i 1 2878 0 8579i 2 7 2传递函数 控制系统的传递函数可以描述为 式中 ai与bi均为常数 且n m 这种系统在Matlab中可以表示如下 num b0 b1 bm den a0 a1 an G tf num den num为分子多项式 den为分母多项式 G为由num和den构成的传递函数 试用MATLAB语句表示该传递函数 解MATLAB语句如下 ex2 18num 123 den 2321 G tf num den 例2 14设传递函数为 运行结果为Transferfunction s 2 2s 3 2s 3 3s 2 2s 1说明 程序第一行是注释语句 不执行 如果给定的分子或分母多项式缺项 则所缺项的系数用0补充 2 7 3零极点模型 1 零极点表示传递函数可以是有理多项式形式 也可以是零极点形式MATLAB提供了零极点形式与有理多项式形式之间的转换函数 调用格式如下 z p k tf2zp num den num den zp2tf z p k 式中 z p和k分别为零点列向量 极点列向量和增益 num和den分别表示有理多项式的分子和分母的系数行向量 例2 15设传递函数为试将其转换为零极点形式 解MATLAB语句如下 ex2 20num 11 12 den 16116 z p k tf2zp num den 运行结果为z 43 p 3 0000 2 0000 1 0000k 1则传递函数的零极点形式为 例2 16设传递函数为试将其转换为有理多项式 解MATLAB语句如下 ex2 21z 2 1 p 5 4 3 k 1 num den zp2tf z p k G tf num den 运行结果为Transferfunction s 2 3s 2 s 3 12s 2 47s 60 2 零极点图传递函数在复平面上的零极点图 可用pzmap 函数来实现 调用格式为 pz pzmap num den 画出该传递函数的零极点图 例2 17设传递函数为 解MATLAB语句如下 ex2 22num 132 den 2121 pzmap num den 运行结果如下图所示 例2 17零极点图 2 7 4方框图 若已知控制系统的方框图 使用MATLAB函数可实现方框图转换 1 串联如图2 5所示 G1 s 和G2 s 串联 在MATLAB中可用串联函数series 求该开环系统的传递函数 图2 5方框串联 调用格式为 num den series num1 den1 num2 den2 num den 式中 G1 s num