重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第二章第二节 函数的单调性和最值指导课件 新人教A版 .ppt

第二节 函数的单调性和最值 一 函数的单调性 1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 2 单调性 单调区间的定义 若函数f x 在区间d上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间d叫做f x 的单调区间 二 函数的最值 增函数 减函数 f x m f x0 m f x m f x0 m 1 求单调区间时 一是勿忘定义域 即 定义域优先 原则 二是多个单调区间之间不一定能添加符号 和 或 三是单调区间应该用区间表示 不能用集合或不等式表示 增区间为 减区间为 0 0 函数的值域为 2 2 3 判断复合函数f x 的单调性 令y f u 可称为外函数 u x 称为内函数 先求外函数的单调区间 再在此基础上研究内函数的单调性 即 先外后内 当内 外函数的单调性相同时 f x 为增函数 否则f x 为减函数 即 同增异减 4 函数y f x 在 a b 上的单调性的等价说法 设x1 x2 a b 若x1 x2与f x1 f x2 同号 则函数y f x 在 a b 上是增函数 若x1 x2与f x1 f x2 异号 则函数y f x 在 a b 上是减函数 也即 0 或 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是增函数 0 或 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是减函数 1 下列函数在 0 2 上是增函数的是 a y 3 xb y x2 1c y x2d y x2 2x 3 解析 y x2 1在 0 上递增 故在 0 2 上是增函数 答案 b 2 下列说法正确的是 a 定义在 a b 上的函数f x 若存在x1 x2 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数b 定义在 a b 上的函数f x 若有无穷多对x1 x2 a b 使得当x1 x2时 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数c 若f x 在区间i1上为增函数 在区间i2上也为增函数 那么f x 在i1 i2上也一定为增函数d 若f x 在区间i上为增函数 且f x1 f x2 x1 x2 i 那么x1 x2 解析 根据函数单调性的定义知 x1 x2必须是区间 a b 上任意两个值 a b不正确 c中取函数f x f x 在 0 0 上都是增函数 但在 0 0 却不是增函数 如令x1 1 1 f x2 故c错误 答案 d 3 若函数y ax与y 在 0 上都是减函数 则y ax2 bx在 0 上是 a 增函数b 减函数c 先增后减d 先减后增 解析 y ax和y 在 0 上都是减函数 a 0 b 0 y ax2 bx的对称轴x 0 y ax2 bx在 0 上为减函数 答案 b 4 教材改编题 函数y x2 2x 3 x 1 的单调增区间是 解析 y x2 2x 3的对称轴为x 1 又因为二次项系数为正数 抛物线开口向上 对称轴在定义域的左侧 所以其增区间为 1 答案 1 5 教材改编题 函数f x x 在 2 1 上的值域为 解析 函数y x y 在 2 1 上均为增函数 f x 在 2 1 上是增函数 f x min f 2 2 1 1 f x max f 1 1 2 1 答案 1 1 用定义讨论函数的单调性 例1 试讨论函数 的单调性 思路点拨 运用函数单调性定义 同时注意对a的取值进行讨论 因此 当a 0时 f x2 f x1 0 即f x1 f x2 此时函数f x 为增函数 当a 0时 f x 0 f x 在 1 1 上递减 当a 0时 f x 0 f x 在 1 1 上递增 变式探究 1 已知函数f x x2 x 0 a r 在区间 2 是增函数 求a的取值范围 解 设x2 x1 2 f x1 f x2 x x x1x2 x1 x2 a 由x2 x1 2得x1x2 x1 x2 16 x1 x20 要使f x 在区间 2 是增函数 只需f x1 f x2 0恒成立 则a 16 另解 f x 2x 要使f x 在区间 2 是增函数 只需当x 2时 f x 0恒成立 即2x 0 则a 2x3 16 恒成立 故当a 16时 f x 在区间 2 是增函数 方法技巧 确定函数单调性或单调区间的常用方法 1 在解答题中常用 定义法 取值 作差 变形 定号 为便于判断差的符号 对差变形的方向是完全平方的和或因式的积 导数法 在区间 a b 内 若总有f x 0 则 f x 为增函数 反之 若f x 在区间 a b 内为增函数 则 f x 0 注意两者的区别所在 2 在选择题填空题中 还可用数形结合 特殊值法等 证明抽象函数的单调性 例2 定义在r上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1 且对于任意的a b r 有f a b f a f b 1 证明 f 0 1 2 证明 f x 是r上的增函数 3 若f x f 2x x 2 1 求x的取值范围 思路点拨 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式 只给出了其他一些条件 如函数的定义域 单调性 奇偶性 解析递推式等 的函数问题 常采用赋值法进行逻辑探究 解 1 证明 令a b 0 则f 0 0 f 0 f 0 f2 0 又因f 0 0 所以f 0 1 2 证明 因f 0 1 设x r 则f x x f 0 1 又因f a b f a f b 所以f x f x 1 当x0 所以f x 1 即 1 这时00 设x1 x2 r 且x10 故f x2 x1 1 即f x2 f x1 1 也即f x2 1 又因f x1 0 所以f x2 f x1 即f x 在r上是增函数 3 因f x f 2x x2 1 所以f x 2x x2 f 0 3x x2 0 即0 x 3 变式探究 2 已知函数f x 的定义域是 0 当x 1时 f x 0 且f x y f x f y 1 求f 1 的值 2 证明f x 在定义域上是增函数 解 1 令x y 1 得f 1 2f 1 故f 1 0 2 证明 令y 得f 1 f x f 0 故f f x 任取x1 x2 0 且x11 故f 0 f x2 f x1 f x 在 0 上是增函数 方法技巧 1 赋值法常见的取值 即x 0 1 1 x x等 2 单调性定义的两个逆命题 逆命题一 如果函数f x 在区间a上是增函数 或减函数 若给定a上的任意那么逆命题二 如果函数f x 在区间a上是增函数 或减函数 若给定a上的任意 且f x1 x2 3 单调性定义的原命题通常用来判断函数单调性 逆命题一通常用来比较函数值的大小 逆命题二通常用来比较自变量大小或解抽象函数不等式 用函数的单调性求函数的最值 例3 已知函数 1 当a 4时 求f x 的最小值 2 当a 时 求f x 的值域 3 若a为正常数 求f x 的最小值 4 若对任意x 1 f x 0恒成立 求实数a的取值范围 思路点拨 把函数解析式变形为 类比函数 a 0 的单调性求解 解 1 当a 4时 易知 f x 在 1 2 上是减函数 在 2 上是增函数 可用定义或导数法 f x min f 2 6 2 当a 时 f x x 2 易知 f x 在 1 上为增函数 f x min f 1 又f x 在 1 上是连续不断的曲线 f x 的值域是 3 函数f x x 2在 0 上是减函数 在 上是增函数 若 1 即当a 1时 f x 在区间 1 上先减后增 f x min f 2 2 若 1 即当0 a 1时 f x 在区间 1 上是增函数 f x min f 1 a 3 4 在区间 1 上 f x 0恒成立 x2 2x a 0恒成立 设g x x2 2x a 则g x 在 1 上的最小值g a 0 g x x 1 2 a 1 对称轴为x 1 且开口向上 g x 在 1 上是增函数 g x min g 1 3 a 由3 a 0 得a 3 或 由x2 2x a 0 x 1 时恒成立 则 a 3 故a的取值范围是 3 变式探究 3 已知函数f x a 0 x 0 1 求证 f x 在 0 上是增函数 2 若f x 在 2 上的值域是 2 求a的值 解 1 证明 设x2 x1 0 则x2 x1 0 x1x2 0 f x2 f x1 0 f x2 f x1 f x 在 0 上是增函数 2 2 0 f x 在 2 上也是增函数 f x 在 2 上的值域为 f f 2 2 由已知有解得a 方法技巧 利用函数的单调性求函数的值域或最值是最为常用的方法 熟悉函数y x a 0 y x a 0 等的单调性 解题比较方便 求函数的值域或最值前 首先要注意所提供的函数的定义域 例1 讨论函数f x x a 0 的单调性 解 a 0时 f x x a 0 定义域为 x x r 且x 0 且f x x x f x f x 为奇函数 所以先讨论f x 在 0 上的单调性 设x2 x1 0 x x2 x1 0 y f x2 f x1 x2 x1 1 当01 y f x2 f x1 x1 时 恒有00 故f x 在 上是增函数 f x 是奇函数 f x 在 上为增函数 f x 在 0 0 上为减函数 若a 0时 由单调函数的定义可知 f x x 在 0 0 上都是增函数 例2 2010年汕头模拟 已知函数f x x2 lnx a 4 x在 1 上是增函数 1 求实数a的取值范围 2 在 1 的结论下 设g x ex a x 0 ln3 求函数g x 的最小值 解 1 f x x a 4 又x 1 时 f x 为增函数 x a 4 0在 1 上恒成立 即a 4 x 恒成立 x 2 当且仅当x 1时 等号成立 4 x 2 所以a 2 2 设t ex 则h t t a 0 x ln3 1 t 3 当2 a 3时 h t h t 的最小值为h a 当a 3时 h t t a h t 的最小值为h 3 a 3 所以 当2 a 3时 g x 的最小值为 当a 3时 g x 的最小值为a 3 类型忽视定义域致误 例 若函数f x 3x2 ax 5 在 1 上是减函数 求实数a的取值范围 正解 设y u u x 3x2 ax 5 f x 在 1 上是减函数 而y u是关于u的减函数 由复合函数的单调性知u x 在 1 上是增函数 因而它的对称轴x 1 即a 6 又u x 在 1 上应有u 0 由二次函数单调性可知 u 0等价于 1 0 即3 a 5 0 a 8故a的取值范围是 8 6 分析 本题在求解过程中 极易忽视 在 1 上 u x 0 复合函数的定义域 得到a 6 从而扩大了a的取值范围导致失误 一 选择题 1 下列函数中 在定义域中为增函数的是 a f x x2 6x 9 x 3 b f x c f x x d f x x 0 解析 f x x2 6x 9在 3 单调递增 其余选项中的函数不具有此性质 答案 a 2 函数y 的递增区间是 a 2 b 5 2 c 2 1 d 1 解析 由5 4x x2 0 得函数定义域为 x 5 x 1 又u 5 4x x2 x 2 2 9 对称轴方程为x 2 函数的单增区间为 5 2 答案 b 3 下列函数f x 中满足 对任意x1 x2 0 当x1f x2 的是 a f x b f x x 1 2c f x exd f x ln x 1 解析 因f x 在 0 上是减函数 故选a 答案 a 4 文 已知f x 为r上的减函数 则满足f f 1 的实数x的取值范围是 a 1 b 1 c 0 0 1 d 0 1 解析 因f x 为r上的减函数 由f f 1 得1 答案 d 理 已知f x 为r上的减函数 则满足f f 1 的实数x的取值范围是 a 1 1 b 0 1 c 1 0 0 1 d 1 1 解析 因f x 为r上的减函数 由1 即 1 所以 1 x 1且x 0 答案 c 5 文 2009年天津卷 已知函数f x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 a 1 2 b 1 2 c 2 1 d 2 1 解析 f x 由f x 的图象可知 f x 在 上是增函数 由f 2 a2 f a 得2 a2 a 即a2 a 2 0 解得 2 a 1 答案 c 理 已知f x 是 上的减函数 则a的取值范围是 a 0 1 b 0 c d 1 解析 f x 在r上是减函数 当x 1时 有3a 1 0 a 当x 1时 0 a 1 若x 1 则 3a 1 1 4a loga1 a a 答案 c 二 填空题 6 函数y x x 1 4 的值域为 解析 类比函数y x a 0 的图象 知当x 时 y x 有最小值2 当x 4时有最大值 即2 y 答案 2 7 函数y x2 2 x 3的递增区间为 递减区间为 解析 y x2 2 x 3 作出函数图象 如图易知 在 1 和 0 1 上 函数是增函数 在 1 0 和 1 上 函数是减函数 答案 1 0 1 1 0 1 8 文 2010年杭州模拟 已知函数f x 满足对任意x1 x2 都有 0成立 则a的取值范围是 理 2010年福建省高考名校联考信息优化卷 已知函数y f x 满足 对 x r 有f 2 x f 2 x 对任意2 x10 则a f 2log24 b c f 0 的大小关系 由大到小 是 解析 由f 2 x f 2 x 得f x f 4 x a f 4 b f 2 f 6 c f 0 f 4 又对任意2 x10 函数y f x 在区间 2 上为增函数 b c a 答案 b c a 9 定义 若存在常数k 使得对定义域d内的任意两个x1 x2 x1 x2 均有 f x1 f