机器人坐标系统.ppt

2020 2 6 1 第三章机器人坐标系统 张远辉机械电子所2014 2020 2 6 2 机器人是个复杂的运动系统 它的每一个动作都是各个元部件共同作用的结果 2020 2 6 3 3 1位置与姿态3 2正交坐标系3 3运动坐标表示3 4齐次坐标变换3 5机器人坐标系统 为了系统地 精确地描述各个元部件的作用以及它们之间的关系 需要引入一套机器人坐标系统 2020 2 6 4 要全面地确定一个物体在三维空间中的状态需要有三个位置自由度和三个姿态自由度 前者用来确定物体在空间中的具体方位 后者则是确定物体的指向 我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿 如果H为手坐标系 用以描述手的姿态 那再加上手的位置就构成了手的位姿 3 1位置与姿态 一般姿态的描述可以用横滚 Roll 俯仰 Pitch 和侧摆 Yaw 三轴的转角来实现 绕坐标系H各轴转动 yaw P roll pitch H XH ZH YH 2020 2 6 5 从二维坐标系说起 如果已知P点在H坐标系下的坐标为 1 1 T 则P在B下的坐标 2020 2 6 6 坐标系重合的情况 旋转 2020 2 6 7 正交基之间的变换 2020 2 6 8 带入后 坐标写成列向量 2020 2 6 9 旋转矩阵R 2020 2 6 10 仅仅只有平移 H坐标系的原点 在B坐标系中的坐标是 a b T 则 2020 2 6 11 仅仅只有平移 2020 2 6 12 先平移 后旋转 2020 2 6 13 先旋转 后 相对于B平移 a b 2020 2 6 14 有加法和乘法 整合 2020 2 6 15 3 2正交坐标系 3 2 1正交坐标系及矢量的基础知识 右图是所谓的正交坐标系B x y z 用来表示机器人的基坐标 其中 分别是三个坐标轴的单位向量 B系中有另外一个坐标系H xH yH zH 用来表示手坐标 其中 分别是H系三个坐标轴的单位向量 z y x B H H z H x H y a n o i j k P 端点P相对于机器人手坐标系H 及基座坐标系B的定位 2020 2 6 16 3 2 1 1正交坐标系的性质 单位矢量 在基坐标系中可表示为 根据矢量点积和叉积的性质 对于相互正交的单位矢量 有 对于单位矢量 也有同样的性质 2020 2 6 17 令矩阵R称为正交坐标变换矩阵 当用列向量表示单位矢量时 有 于是 变换矩阵R可以表示为 当用矩阵表示两个矢量的点乘时 有 2020 2 6 18 3 2 1 2正交坐标变换矩阵R的性质 显然 于是可得 1 R R T 2020 2 6 19 3 2 1 3正交坐标变换矩阵的几何意义 上式可写成 其中 考虑到 上式表明正交坐标变换矩阵R实现了由手坐标系H到基坐标系B的正交坐标变换 它可以将一组3个相互正交的单位矢量变换为另一组3个相互正交的单位矢量 每一组单位矢量均代表了一个正交坐标系 这也说明了将矩阵R称为正交坐标变换矩阵的原因 在机器人学中经常要用到这种正交坐标变换 2020 2 6 20 3 2 2位置的描述 一旦建立起一个坐标系 我们就可以用3维的位置矢量来确定该空间内任一点的位置 其中 x y z是p点在笛卡尔坐标系的三个坐标轴上坐标分量 用这种方法可以很容易地表示出手坐标 原点 在基坐标系中的空间位置 3 2 3姿态的描述 物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述 设在空间中除了有参考坐标系B外 还有物体质心上的一个笛卡尔正交坐标系H 且H系与此物体的空间位置关系是固定不变的 那么就可以H系的三个坐标轴的单位矢量相对于B系的方向来表示H系和B系的姿态 2020 2 6 21 2020 2 6 22 假设为H坐标系中某轴的单位向量 即它在B坐标系的方向可以与B系三轴夹角的余弦值为分量加以表达 见下图 因此正交坐标变换矩阵R为一方向余弦矩阵 也被称之为旋转矩阵 具体含义将在后面小节中阐述 j l g x y z k B l l a l b i 矢量的方向矢径表示 2020 2 6 23 3 3运动坐标表示 3 3 1平动的坐标表示 设手坐标系H与基坐标系B具有相同的姿态 但H系坐标原点与B系的原点不重合 用矢量来描述H系相对于B系的位置 如右图所示 称为H系相对于B系的平移矢量 如果点p在H系中的位置为 那么它相对于B系的位置矢量可由矢量相加得出 即 称其为坐标平移方程 2020 2 6 24 下面以绕z轴转动角为例来研究绕坐标轴转动某个角度的表示法 设H系从与B系相重合的位置绕B系的z轴转动角 H系与B系的关系如右图所示 3 3 2转动的坐标表示 1 绕坐标轴转动某个角度的表示法 2020 2 6 25 实现两个坐标系之间的转动关系的矩阵 又叫转动矩阵R 可表示为 上面的分析说明了R矩阵可以用来表示绕坐标轴的转动 这表征了R矩阵的另一种几何意义 2020 2 6 26 设B系与H系的z轴相重合 B系绕z轴转动角就得H系 如下图所示 2 两个坐标系的投影之间的关系 2020 2 6 27 已知矢径在H系三轴投影分别为u v w 则由上图可知 由上式可见 R矩阵可以将矢径在手坐标系上的投影变换到该矢径在基坐标系上的投影 这表征了R矩阵的又一种几何意义 2020 2 6 28 3 具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系 设矢量在坐标系Bxy的投影为u v w 将矢量绕z轴转动角 得到矢量 设矢量在同一坐标系的投影为x y z 如下图所示 x y H y H B z q z q H x y u P v x Q 关系具有转动关系的两个矢量的投影之间的投影 O 2020 2 6 29 如果注意到在x y轴的投影相当于在轴的投影 再对比 页和 页的两个图所示的相同几何关系 便可得式 相同结果 只是此时的u v w与x y z同前面讨论的情况的几何含义不同 这时矩阵R用来表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中的投影之间的关系 这表征了R矩阵的最后一种几何意义 至此 归纳了R矩阵的四种几何意义 这对于认识R矩阵的本质 研究机器人的坐标系统很有帮助 2020 2 6 30 3 3 3复合运动的坐标表示 2020 2 6 31 对于任意一点P在B和H系中的描述有以下的关系 其中 是p点相对于B系的位置矢量 至此 我们由浅入深地介绍了物体的基本宏观运动在坐标系中的表示方法 这是我们学习机器人复杂运动的最基本的数学工具 在后续章节中会频繁地用到 2020 2 6 32 3 4齐次坐标变换 3 4 1齐次坐标的定义和性质 3 4 1 1齐次坐标的概念 用四个数所组成的列向量来表示三维空间中的一点 这两个坐标向量之间的关系是 则称为三维空间点的齐次坐标 通常情况下取w 1 则的齐次坐标表示为 2020 2 6 33 3 4 1 2齐次坐标的性质 1 齐次坐标的不唯一性所谓不唯一性是指某点的齐次坐标有无穷多点 不是单值确定的 例如是某点的齐次坐标 则也是该点的齐次坐标 2 齐次坐标的原点和坐标轴根据齐次坐标的定义 齐次坐标表示坐标原点 而 分别表示OX轴 OY轴和OZ轴的无穷远点 即表示直角坐标的OX轴 OY轴和OZ轴 2020 2 6 34 则有 其中 2020 2 6 35 3 4 2齐次变换和齐次矩阵 在引入齐次坐标之后 现在我们来看如何用齐次坐标来表示上一节中所讲的内容 在上一节的最后我们曾用笛卡尔标系统表示出了物体复合运动 最后我们得出了的结论 它表示了由到的变换 现在我们利用齐次坐标来表示出上式 2020 2 6 36 A矩阵称为齐次矩阵 Homogeneousmatrix 在机器人学中是个重要的术语 它将转动和移动组合在一个4 4矩阵中 其中为3 3的转动矩阵 为1 3的零阵 为表示移动的3 1的列阵 接下来我们将利用齐次矩阵来表示物体的运动 2020 2 6 37 3 4 2 1利用齐次矩阵表示平移变换 设向量 要和向量相加得V 即 欲求一变换矩阵H 使得U经过H变换之后变成向量V 即 考虑到式 和式 等效 根据式 可知 平移变换就是用于两个向量的相加 2020 2 6 38 此变换矩阵有一性质就是它的每一个元素乘上一个非零的元素后不会改变这个变换 由此可知得 2020 2 6 39 3 4 2 2利用齐次矩阵表示旋转变换 根据直角坐标和齐次坐标的关系 易得绕X Y Z轴旋转一个角的相应旋转变换是 2020 2 6 40 例如 已知一个向量U绕Z轴旋转90 变成V 则用旋转矩阵表示为 如 一个向量U先后绕X Y轴分别旋转90 60 得到V 用旋转矩阵表示为 2020 2 6 41 3 4 2 3利用齐次矩阵表示旋转加平移变换 把上述两种变换结合起来用齐次矩阵表示 这时的齐次变换矩阵就是 2020 2 6 42 可见 在齐次变换矩阵中旋转矩阵和表示平移的列阵确实是分离的 注意 一般情况下 2020 2 6 43 3 4 2 4利用齐次矩阵表示手的转动和移动 手的转动可以表示为绕X轴的侧摆 绕Y轴的俯仰和绕Z轴横滚 依次构成的复合转动 采用简化符号 则有 2020 2 6 44 上式表示了手的转动运动 如果手除了转动运动以外还可做移动运动 只需将上式中齐次矩阵的第4列用表示移动的矩阵块来代替 便可得到包括3个姿态转动和3个平移的6自由度运动的齐次矩阵 2020 2 6 45 3 4 3齐次变换的性质 3 4 3 1变换过程的相对性 相对变换 前面所介绍的所有旋转和平移变换都是相对于参考坐标系B系而言的 例如上述的变换过程是 手坐标系H首先绕着基坐标系B旋转 然后平移 这种变换的顺序是从右向左进行的 这样的过程也可以以相反的顺序进行 即从左向右进行 此时可以理解为首先手坐标系H在基坐标系B中平移然后绕当前的手坐标系H的轴旋转 2020 2 6 46 一般的变换过程可以分两种情况 1 如果我们用一个描述平移和 或 旋转的变换C 左乘一个坐标系的变换T 那么产生的平移和 或 旋转就是相对于静止坐标系进行的 2 如果我们用一个描述平移和 或 旋转的变换C 右乘一个坐标系的变换T 那么产生的平移和 或 旋转就是相对于运动坐标系进行的 真是那么精彩吗 2020 2 6 47 3 4 3 2变换过程的可逆性 逆变换 在机器人学中很多时候要用到齐次变换矩阵的逆阵 下面我们将导出齐次变换矩阵的逆阵的求法 2020 2 6 48 3 4 3 3变换过程的封闭性 变换方程的建立 在解机器人运动学和动力学方程时 要经常解变换方程 在这些变换方程里 一个坐标点往往要用两种或多种方式来描述 1 机器人变换Z 参考坐标系U 基坐标系B变换A 基坐标系B 手坐标系H变换E 手坐标系H 加工工具T 2 变位机变换P 参考坐标系U 变位机V变换Q 变位机V 被加工件W 2020 2 6 49 这种联系亦可由一有向变换图表述 见右图 如果我们希望解上述方程 求出变换A 就必须对方程左乘 然后右乘 得到实际上 可以从封闭的有向变换图的任一变换开始列变换方程 从某一变换弧开始 顺箭头方向为正方向 逆箭头方向为逆变换 一直连续列写到相邻于该变换弧为止 但不再包括该起点变换 如果包括该起点变换 则得到一个单位变换 2020 2 6 50 3 5机器人坐标系统 3 5 1机器人坐标系统的构成 现在让我们设想完成将一条螺栓拧入螺母这样一项简单的工作 如果是人来完成这件事情 每个人看来都是非常容易的 但是如果让机器人来完成这项工作 机器人必须规划出每个关节的运动过程 最终合成末端执行器的动作 在完成这样的工作时 我们必须为每个关节变量规划出运动轨迹 而这样的轨迹是相对于每个关节所对应的坐标系而言的 由此可见 我们必须为每一个关节定义出一个坐标系 除此之外 为了能与工件相配合完成既定的工作 也需要为工件和周围环境定义出坐标系统 所有上述的坐标系就构成了一个机器人的坐标系统 由上面的分析可以得出这样的坐标系统包括三大部分 1 机器人自身的坐标系 2 作业工件和变位机的坐标系 3 作为共同参考的世界坐标系其中 世界坐标系是联系前两种坐标系的纽带 下面我们举一个例子来说明如何建立机器人的坐标系统 2020 2 6 51 3 5 2变换方程的建立 机器人变换方程的建立主要是利用上一节所介绍的齐次变换的封闭性 接下来将利用图3 11的例子来说明如何建立变换方程 设由P系到U系的变换矩阵为 由B系到U系的变换矩阵为 由H系到B系的变换矩阵为 由E系到H系的变换矩阵为 B U B U T H H B T E P P U T E P T E H T 操作机坐标系及变换方程的建立 2020 2 6 52 于是 固定在钻头端点处的工具坐标系E系相对世界坐