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水力学 第3章水动力学基础 3 1描述液体运动的两种方法 1 拉格朗日法1 把流场中流体看作是无数连续的质点所组成的质点系 2 追踪流体质点的运动 对每一质点的运动进行描述 以研究单个液体质点的运动过程作为基础 综合所有质点的运动 构成整个液体的运动 质点标志把流体质点在某一时间t0时的坐标 a b c 作为该质点的标志 则不同的 a b c 就表示流动空间的不同质点 这样 流场中的全部质点 都包含在 a b c 变数中 若给定a b c 即为某一质点的运动轨迹线方程 液体质点在任意时刻的速度 速度分量可写为 加速度分量可写为 2 欧拉法以固定空间点为研究对象 描述各瞬时物理量在空间的分布来研究流体运动的方法 速度分量 x y z t称为欧拉变数 加速度分量 3 2 1恒定流和非恒定流1 恒定流流场中所有空间点上一切运动要素不随时间改变 这种流动称为恒定流2 非恒定流反之 只要有一个运动要素随时间而变化 就是非恒定流 本课程主要讨论恒定流运动 3 2欧拉法的基本概念 3 2 2一元流 二元流 三元流1 三元流动若运动要素是三个空间坐标和时间的函数 这种流动称为三元流动 2 二元流动若运动要素是两个空间坐标和时间的函数 这种流动称为二元流动 3 一元流动若运动要素是一个空间坐标和时间的函数 这种流动称为一元流动 3 2 3流线与迹线 1 流线1 定义 是指某一瞬时 在流场中绘出的一条光滑的矢量曲线 其上所有各点的速度向量都与该曲线相切2 性质 1 一般情况下 流线不能相交 2 流线只能是一条光滑曲线 3 流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小 4 恒定流情况下 流线和迹线重合3 微分方程2 迹线 是指某液体质点在运动过程中 不同时刻所流经的空间点所连成的线 3 2 4一元流动模型流管 元流 总流 过流断面 流量和平均流速 dA 流量 单位时间内通过某一过水断面的液体的量体积流量 常用单位m3 s 以符号Q表示质量流量 常用单位kg s 以符号M表示重量流量 常用单位kN s 以符号G表示 断面平均流速 是一个想像的流速 如果过水断面上各点的流速都相等并等于V 此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等 则该流速V称为断面平均流速 即为旋转抛物体的体积 断面平均流速V 即为柱体的体积 A x 端面平均流速V可以将多元流简化为一元流 如 则管道中的流速分布为v v x 3 2 5均匀流和非均匀流1 水流的分类 1 按运动要素是否随时间变化 表征液体运动的物理量 如流速 加速度 动水压强等 恒定流 非恒定流 图示 2 按运动要素随空间坐标的变化 一元流 二元流 三元流 图示 3 按流线是否为彼此平行的直线 均匀流 非均匀流 图示 渐变流 急变流 图示 2 均匀流 渐变流过水断面的重要特性1 均匀流 是流线为彼此平行的直线有以下特性 1 过水断面为平面 且过水断面的形状和尺寸沿程不变 2 同一流线上不同点的流速应相等 从而各过流断面上的流速分布相同 断面平均流速相等 3 均匀流 包括渐变流 过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同 即在同一过水断面上各点的测压管水头为一常数 证明 dA 在均匀流 与流线正交的n方向上无加速度 所以有 即 积分得 2 非均匀流 是流线彼此不平行的曲线 1 分类按流线图形变化的缓慢程度分 渐变流 各流线接近于平行直线的流动急变流 2 动水压强分布规律渐变流 可按均匀流处理急变流 流线图 均匀流 均匀流 非均匀流 均匀流 非均匀流 均匀流 非均匀流 非均匀流 渐变流 急变流 急变流 急变流 3 3恒定总流的连续性方程 在恒定总流中 取一微小流束 依质量守恒定律 设 则 即有 恒定元流的连续性方程 1 恒定元流连续性方程 若有支流 2 恒定总流连续性方程 一 恒定元流总能量方程推证功能原理 运动物体在某一时段内各外力 除重力外 对物体所作的功等于机械能 动能和势能 的增量 力学模型 不可压缩 无粘性 恒定流 3 4恒定元流能量方程 元流伯努利方程 3 4 1理想液体恒定元流能量方程 外力作功为 动能增量为 位能增量为 根据功能原理上式称为恒定元流总能量方程式 全部重量液体的能量平衡方程 二 恒定元流单位重量能量方程 元流伯努利方程 将 a 式两边同时除以理想不可压缩液体恒定元流能量方程 元流伯努利方程 三 方程式的物理和能量意义 表明 在不可压缩理想液体恒定流情况下 元流内不同过水断面上 单位重量液体所具有的机械能保持相等 守恒 毕托管 用于测量水流和气流点流速的仪器 测压管 两端开口并与流向正交 测速管 两端开口并成直角弯曲 下端开口正对来流 与待测点处于同一水平面且相距很近 沿AB流线写元流能量方程 四 元流伯努利方程的应用 V B A Z Z 皮托管测速原理图 3 4 2实际液体恒定元流的能量方程 单位重量液体从断面1 1流至断面2 2所损失的能量 称为水头损失 3 5 1恒定总流能量方程 均匀流或渐变流过水断面上 动能修正系数 1 05 1 1 取平均的hw V u 3 5实际液体恒定总流的能量方程 3 5 2应用能量方程式的条件 1 恒定流 2 质量力只有重力 3 不可压缩流体 4 在所选取的两个过水断面上 水流应符合渐变流的条件 但所取的两个断面之间 水流可以不是渐变流 5 在所取的两个过水断面之间 流量保持不变 其间没有流量加入或分出 若有分支 则应对第一支水流建立能量方程式 例如图示有支流的情况下 能量方程为 6 流程中途没有能量H输入或输出 若有 则能量方程式应为 应用能量方程式的注意点 1 选取高程基准面 2 选取两过流断面 所选断面上水流应符合渐变流的条件 但两个断面之间 水流可以不是渐变流 3 选取压强的计算点 5 方程中各项单位的统一 3 5 3能量方程式的应用要点 五点 4 两断面压强采用相同的计算基准 文丘里流量计 文丘里量水槽 以管轴线为高程基准面 暂不计水头损失 对1 1 2 2断面列能量方程式 整理得 由连续性方程式可得 或 代入能量方程式 整理得 则 当水管直径及喉管直径确定后 K为一定值 可以预先算出来 若考虑水头损失 实际流量会减小 则 称为文丘里管的流量系数 一般约为0 95 0 98 例题 一救火水龙带 喷嘴和泵的相对位置如图所示 泵出口压力 A点压力 为2个大气压 表压 泵排出管断面直径为50mm 喷嘴出口C的直径20mm 水龙带的水头损失设为0 5m 喷嘴水头损失为0 1m 试求喷嘴出口流速 泵的排量及B点压力 解 取A C两断面写能量方程 通过A点的水平面为基准面 则 在大气中 水的重度重力加速度 水柱 即 将各量代入能量方程后 得 解得喷嘴出口流速为 而泵的排量为 为计算B点压力 取B C两断面计算 即 通过B点作水平面基准面 则 代入方程得 解得压力 3 6总水头线与测压管水头线 1 总水头和测压管水头 总水头 测压管水头 差值 2 总水头线 每一个断面的总水头 是上游断面总水头减去两断面之间的水头损失 根据这个关系 从最上游断面起 沿流向依次减去水头损失 求出各断面的总水头 一直到流动的结束 将这些总水头 以水流本身高度的尺寸比例 直接点绘在水流上 各断面总水头的连线就是总水头线 能量损失的表现形式 沿程 沿管长倾斜下降的直线局部 在障碍处铅直下降 2 测压管水头线 从断面的总水头减去同一断面的流速水头 即得该断面的测压管水头 各断面测压管水头的连线就是测压管水头线 3 总水头线坡度和测压管坡度1 总水头线坡度 单位长度上的水头损失 以J表示2 测压管坡度 单位长度上测压管水头的变化量 以Jp表示 1 1 s 2 2 3 3 4 4 5 5 i pi v0 hwi H0 总水头线 测压管水头线 H 1 1 s 2 2 3 3 4 4 5 5 i pi v0 hwi H0 总水头线 测压管水头线 H 3 7恒定气流能量方程式 一 以绝对压强表示的恒定气流能量方程式 二 以相对压强表示的恒定气流能量方程式 静压 动压 位压 全压 总压 例题 风管直径D 100mm 空气重度 在直径d 50mm的喉部装一细管与水池相连 高差H 150mm 当汞测压计中读数时 开始从水池中将水吸入管中 问此时空气流量为多大 3 8恒定总流动量方程3 8 1动量方程推导一般力学中动量定理表述为 在dt时间内 质点系的动量变化等于该质点所受外力的合力F在这一时间内的冲量 在此先建立控制体的概念 所谓控制体是空间的一个固定不变的区域 它的边界面称为控制面 dt时间内总流的动量变化为 由动量定理得 上式即为恒定总流动量方程 3 8 2动量方程的应用要点1 过水断面符合渐变流条件 2 正确地选择并绘出计算流段的隔离体 3 动量方程是一个矢量方程 经常使用投影式 注意外力 速度和方向问题 它们与坐标方向一致时为正 反之为负 4 注意各个参数单位一致 5 作用力R方向确定 6 液流对固体边壁的作用力F与R是一对作用力与反作用力关系 7 理想和实际流体均适用 3 8 3动量方程式在工程中的应用 弯管内水流对管壁的作用力 水流对建筑物的作用力 射流对平面壁的冲击力 1 弯管内水流对管壁的作用力 管轴水平放置 管轴竖直放置 沿x方向列动量方程为 沿z方向列动量方程为 沿x方向列动量方程为 沿y方向列动量方程为 例题一变径弯管 轴线位于同一水平面 转角 直径由dA 200mm变为dB 150mm 在流量时 压强 求流对AB段弯管的作用力 不计弯管段的水头损失 解 求解流体与边界的作用力问题 一般需要联合使用连续性方程 能量方程和动量方程 2 水流对建筑物的作用力 沿x方向列动量方程为 3 射流对平面壁的冲击力 沿x方向列动量方程为 整理得 例 设有一股自喷嘴以速度v0喷射出来的水流 冲击在一个与水流方向成 角的固定平面壁上 当水流冲击到平面壁后 分成两面股水流流出冲击区 若不计重量 流动在一个水平面上 并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力 试推求射流施加于平面壁上的压力FP 并求出Q1和Q2各为多少 沿y方向列动量方程为 对0 0 1 1断面列能量方程为 可得 同理有 依据连续性方程有 沿x方向列动量方程为 整理得 所以 3 10连续性微分方程 一 直角坐标系下连续性微分方程式设在流场中任取一个微元平行六面体 其边长分别为dx dy和dz 如图所示 假设微元平行六面体形心的坐标为x y z 在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u v w 流体的密度为 现讨论流体经六面体各面的流动情况 先分析x轴方向 u和 都是坐标和时间的连续函数 即u u x y z t 和 x y z t 根据泰勒级数展开式 略去高于一阶的无穷小量 图流场中的微元平行六面体 在dt时间内 沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为 在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为 则可求出在dt时间内 六面体内因密度的变化而引起的质量变化为这就是连续性方程的一般形式 二 连续性微分方程式的简化1 对于恒定流则2 对于均匀不可压缩流体这就是流体运动时的连续性方程 恒定流和非恒定流 3 11流体微团运动的分析 一 运动形式刚体 平移和旋转流体 平移 旋转和变形运动 如图所示的平面运动中的流体微团 设在t时刻流体微团为矩形ABCD 经过时段后它移动到新的位置并变形为 又设t时刻角点A的速度为 根据泰勒级数展开 得B C点的速度分别为 各点的速度中均包含有 由图可见 是平移速度 1 线变形线变形速度 单位时间单位长度的线变形以AB为例 因为角点B沿x方向的速度比角点A快 或慢 所以经过时段后 AB边在x方向的伸长 或缩短 量为 则x方向的线变形速度为 1 平移运动 2 变形运动 同理 剪切变形速度 将平面上角变形速度之半定义为流体微团的由图根据三角形关系可知 故液体微团在xoy平面上的角变形速度之半为 2 剪切变形 故液体微团在yoz zox平面上的角变形速度之半为 旋转角速度 矩形平面中 BAD之平分线绕z轴旋转角速度为液体微团绕z轴的旋转角速度 根据几何关系 3 旋转运动 角速度矢量角速度大小 一有旋运动流体质点的旋转角速度的运动称为有旋运动 又称作漩涡运动 本节讨论的是有旋运动的基本概念 1 涡量 设流体微团的旋转角速度为 则 称为涡量 3 12有旋运动与无旋运动 2 涡线 涡管和涡束 1 涡线定义 某一瞬时涡量场中的一条曲线 曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致 微分方程 设某一点上流体微团的瞬时角速度为取过该点涡线上的微元矢量为根据定义 这两个矢量方向一致 矢量积为0 即这就是涡线的微分方程 2 涡管定义 某一瞬时 在漩涡场中任取一封闭曲线c 不是涡线 通过曲线上每一点作涡线 这些涡线形成封闭的管形曲面 微元涡管 如果曲线c构成的是微小截面 那么该涡管称为微元涡管 涡管断面 横断涡管并与其中所有涡线垂直的断面 在微小断面上 各点的旋转角速度相同 3 涡束涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束 微元涡管中的涡束称为微元涡束 二无旋运动流场中各点的旋转角速度的运动 1 速度势函数1 定义 根据无旋流动的定义 无旋流动的前提条件 是某空间位置函数存在的必要和充分条件 和速度分量的关系为函数称为速度势函数 2 速度势函数的性质 1 对于任意方向导数等于该方向的分速 2 等势线与流线正交 3 流速势函数沿流线s方向增大 4 流速势函数是调和函数 2 流函数 即 它是使成为某一函数的全微分的充要条件 则有 故 1 定义 对于不可压缩流体的平面流动 其连续方程式为 就称为不可压缩流体平面流动的流函数 类似地可证 在极坐标中 因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的连续方程式 而连续方程式是任何流动都必须满足的 所以说任何平面流动中一定存在着一个流函数 2 流函数的性质 1 等流函数线为流线 2 两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差 3 等流函数线 流线 与等势线正交 4 在平面无旋流动中流函数是调和函数 平面势流存在流速势函数和流函数 流网 等势线与流线正交 等势线和流线两组曲线构成的正交网格 流网法 由给定边界条件绘制出流网 再根据流网特性 计算出网点流速 其方法简单 不需复杂数学理论 3 流网 1 匀速直线流动 流线方程 或 积分后得 它是一组斜率为平等直线 如图所示 设液体作匀速直线流动 流场中各点速度的大小和方向均相同 即均为定值 4 两种简单的平面无旋流动 而流函数为 由于 于是 速度势函数为 又 流体从某一点径向流出称为源 如图 a 所示 流体从某一点径向流入称为汇 如图 b 所示 设半径r方向水层的厚度为1 源 汇 的流量为Q 则 由此 2 源流与汇流 定义 由于源汇只有径向流动 所以圆周方向的速度分量 在极坐标中 积分得 式中分别是关于的积分常数 根据上面两个应该相等 得 式中分别是关于的积分常数 由两个应该相等 得 故 假定流出流量为正 则源流取 号 汇流取 号 源汇流的等势线为一组同心圆 3 13势流的叠加原理 由于势流的速度满足拉普拉斯方程 而拉普拉斯方程又是线性的 故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程 设有两个势流 其速度势分别为 则 此时 两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势流 其速度势 因为 即速度势叠加结果 代表一新的复合流动 其速度分量 同理可证明 新的复合流动的流函数 叠加两个或多个势流组成一新的复合势流 只需将各原始势流的速度势或流函数简单地相加 其速度将是各原始势流速度的矢量和 势流的叠加原理 若将位于点 强度为Q的源与位于B点等强度的汇叠加 图6 5 令分别为源与汇的速度势和流函数 则叠加后某点的速度势 流函数 1 源与汇叠加 偶极子 当偶极子位于原点 等势线 C 流线 C 2 均流 点源 已知 位于原点的强度为Q Q 0 的点源与沿x方向速度为U的均流叠加成一平面流场 求 1 流函数与速度势函数 2 速度分布式 3 流线方程 4 画出零流线及部分流线图 解 1 流函数与速度势函数的极坐标形式分别为 2 速度分布式为 3 流线方程为 常数C取不同值代表不同的流线 其中零流线的一部分为该流场绕流物体的轮廓线 a d c b e 通过驻点A b 0 的右半部分零流线由A点的流函数值决定 4 零流线的左半支是负x轴的一部分 驻点A b 0 由 c 式决定 零流线方程为 零流线及部分流线如图CE2 4 4所示 右半部分所围区域称为兰金 Rankine 半体 在无穷远处 0和2 零流线的两支趋于平行 由 g 式可确定两支距x轴的距离分别为 f g 3 14理想流体的运动微分方程 在流动的理想流体中 取出一个微元平行六面体的微团 它的各边长度分别为dx dy和dz 如图所示 先分析x方向的运动 在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于由于是微元面积 所以这些压强可以作为各表面上的平均压强 设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为 图推导欧拉运动微分方程用图 X Y和Z 则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在X轴方向的分量为X dxdydz则根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程将上式各项除以流体微团的流体质量 dxdydz 化简后得 同理 如果把加速度写成展开式 可将欧拉运动微分方程写成如下形式 a 这就是理想流体的运动微分方程 又称为欧拉运动微分方程 理想流体恒定元流的伯努利方程1 公式推导理想流体的运动微分方程 a 只有在少数特殊情况下才能求解 在下列几个假定条件下 1 不可压缩理想流体的恒定流动 2 沿元流 也就是沿流线 积分 3 质量力只有重力 即可求得理想流体恒定元流的伯努利方程 假定流体是恒定流动 则有 因此式 a 可写成 假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx dy和dz 现用dx dy和dz分别乘以式 b 的第一式 第二式和第三式 则可得到 由流线微分方程有 将式 d 代入式 c 中的对应项 则得 将式 e 的三个方程相加 得到 f 由于式 f 中的dx dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量 所以要沿流线 或微元流束 进行积分 式 f 中的 假设质量力只有重力 X 0 Y 0 Z g 即z轴垂直向上 oxy为水平面 又 又假设为不可压缩均质流体 即 常数 则 f 式变为 积分后得 或 g 式 g 称为理想流体恒定元流的伯努利方程 方程右边的常数对不同的流线有不同的值 该方程的适用范围是 理想不可压缩均质流体在重力作用下作恒定流动 并沿同一流线 或微元流束 若1 2为同一条流线 或微元流束 上的任意两点 则式 g 也可写成 h 在特殊情况下 绝对静止流体V 0 由式 h 可以得到静力学基本方程 第三章习题 3 15已知虹吸管的直径d 150mm 布置形式如图所示 喷嘴出口直径 不计水头损失 求虹吸管的输水流量及管中A B C D各点压强值 解 1 取喷嘴出口为基准 列1 1和2 2断面的能量方程 3 19泄水管路如图所示 已知直径汞比压计读数 不计阻力 求流量和压力表读数 解 1 取两个测压管接口处为1 1 2 2断面 并设两断面高差为h 题3 19附图 注 压力表测得数据为相对压强 工程上称之为表压 又表盘刻度常用表示 应掌握其与的关系 3 32如图所示一弯管喷嘴 管径D 75mm 喷嘴出口直径d 25mm 压力表读数 求法兰上 中 下螺栓的受力情况 四个螺栓对角中心距为150mm 弯管及水重100N 作用位置如图示 解 此题是以动量方程为主 连续性方程 能量方程 动量矩方程综合运用的问题 1 以弯管入口和出口截面以管壁面包围的流体为控制体 列x轴和y轴方向的动量方程 例题a 有一等直径的虹吸管 1 试定性会出当通过实际水流时的总水头线和测管水头线 2 在图上标出可能产生的负压区 3 在图上标出真空值最大的断面 1 总水头线和测压管水头线 2 全部都可能为负压区 3 A A断面真空值最大 例题b 1 试定性绘出当实际水流通过图示管道时的总水头线和测压管水头线 2 在图上标注可能的负压区 3 在图上标注真空值最大的断面 例题c 注液瓶为了使下部管口的出流量不随时间而变 在上部瓶塞中插人通气管 试分析出流量恒定的原理和调节 调节 水面不低于通气管下端处 即水面高度不小于a 流量恒定 原理 出流时 水面下降 但通气管下端