2019年1月北京市西城区高三数学期末理科数学试题及答案.doc

1 12 20192019年年1 1月北京市西城区高三数学期末理科数学试题及答案月北京市西城区高三数学期末理科数学试题及答案 高三数学 理科 2018 1 第第 卷卷 选择题 共40分 一 选择题 本大题共8小题 每小题5分 共40分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题 目要求的一项 1 若集合 03 Axx 12 Bxx 则 AB A 1 3 xx B 1 0 xx C 0 2 xx D 2 3 xx 2 下列函数中 在区间 0 上单调递增的是 A 1yx B 1 yx C sinyx D 1 2 yx 3 执行如图所示的程序框图 输出的S值为 A 2 B 6 C 30 D 270 4 已知M为曲线C 3cos sin x y 为参数 上的动点 设O为原点 则 OM 的最 大值是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 实数 x y满足 10 10 10 x xy xy 则2x y 的取值范围是 A 0 2 B 0 2 12 C 1 2 D 0 6 设 a b是非零向量 且 a b不共线 则 ab 是 2 2 abab 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 已知A B是函数 2 x y 的图象上的相异两点 若点A B到直线 1 2 y 的距离相等 则点A B的横坐标之和的取值范围是 A 1 B 2 C 1 D 2 8 在标准温度和大气压下 人体血液中氢离子的物质的量的浓度 单位mol L 记作 H 和氢氧根离子的物质的量的浓度 单位mol L 记作 OH 的乘积等于常数 14 10 已 知pH值的定义为pH lg H 健康人体血液的pH值保持在7 35 7 45之间 那么健康 人体血液中的 H OH 可以为 参考数据 lg2 0 30 lg3 0 48 A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 10 3 12 第第 卷卷 非选择题 共110分 二 填空题 本大题共6小题 每小题5分 共30分 9 在复平面内 复数 2i 1i 对应的点的坐标为 10 数列 n a 是公比为2的等比数列 其前n项和为 n S 若 2 1 2 a 则 n a 5 S 11 在 ABC中 3a 3 C ABC的面积为 3 3 4 则 c 12 把4件不同的产品摆成一排 若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧 则不同的 摆法有 种 用数字作答 13 从一个长方体中截取部分几何体 得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体 其三视图如图所示 该几何 体的表面积是 14 已知函数 2 2 1 3 xxxc f x cx x 若 0c 则 f x 的值域是 若 f x 的值域是 1 2 4 则实数c的取值范围是 4 12 三 解答题 本大题共6小题 共80分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分13分 已知函数 2 2sincos 2 3 f xxx 求 f x 的最小正周期 求 f x 在区间 0 2 上的最大值 16 本小题满分13分 已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 表1 某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 1月1日7 364月9日5 467月9日4 5310月8日6 17 1月21日7 314月28日5 197月27日5 0710月26日6 36 2月10日7 145月16日4 598月14日5 2411月13日6 56 3月2日6 476月3日4 479月2日5 4212月1日7 16 3月22日6 156月22日4 469月20日5 5912月20日7 31 表2 某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 2月1日7 232月11日7 132月21日6 59 2月3日7 222月13日7 112月23日6 57 2月5日7 202月15日7 082月25日6 55 2月7日7 172月17日7 052月27日6 52 2月9日7 152月19日7 022月28日6 49 从表1的日期中随机选出一天 试估计这一天的升旗时刻早于7 00的概率 甲 乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗 且两人的选择相互独立 记X为这两人中观看升旗的时刻早于7 00的人数 求X的分布列和数学期望 E X 将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据 如7 31化为 31 7 60 记表2中所 有升旗时刻对应数据的方差为 2 s 表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为 2 s 判 5 12 断 2 s 与 2 s 的大小 只需写出结论 17 本小题满分14分 如图 三棱柱 111 ABCA B C 中 AB 平面 11 AAC C 1 2AAABAC 1 60A AC 过 1 AA 的平面交 11 B C 于点E 交BC于点F 求证 1 AC 平面 1 ABC 求证 四边形 1 AA EF 为平行四边形 若 2 3 BF BC 求二面角 1 BACF 的大小 18 本小题满分13分 已知函数 esin1 ax f xx 其中 0a 当 1a 时 求曲线 yf x 在点 0 0 f 处的切线方程 证明 f x 在区间 0 上恰有2个零点 19 本小题满分14分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 过点 2 0 A 且离心率为 3 2 求椭圆C的方程 设直线 3ykx 与椭圆C交于 M N 两点 若直线 3x 上存在点P 使得四边形 PAMN是平行四边形 求k 的值 20 本小题满分13分 数列 n A 12 4 n aaan 满足 1 1a n am 1 0 kk aa 或1 1 2 1 kn 6 12 对任意 i j 都存在 s t 使得 ijst aaaa 其中 1 2 i j s tn 且两两不相等 若 2m 写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 记 12n Saaa 若 3m 证明 20S 若 2018m 求n的最小值 北京市西城区2017 2018学年度第一学期期末 高三数学 理科 参考答案及评分标准 2018 1 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共8 8小题小题 每小题每小题5 5分分 共共4040分分 1 A 2 D 3 C 4 D 5 D 6 C 7 B 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共6 6小题小题 每小题每小题5 5分分 共共3030分分 9 1 1 10 3 2n 31 4 11 13 12 8 13 36 14 1 4 1 1 2 注 第注 第10 1410 14题第一空题第一空2 2分分 第二空第二空3 3分分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共6 6小题小题 共共8080分分 其他正确解答过程其他正确解答过程 请参照评分标准给分请参照评分标准给分 15 本小题满分13分 解 因为 2 2sincos 2 3 f xxx 7 12 1cos2 cos2cossin2sin 33 xxx 4分 33 sin2cos21 22 xx 5分 3sin 2 1 3 x 7分 所以 f x 的最小正周期 2 2 T 8分 因为 0 2 x 所以 2 2 333 x 10分 当 2 32 x 即 5 12 x 时 11分 f x 取得最大值为 31 13分 16 本小题满分13分 解 记事件A为 从表1的日期中随机选出一天 这一天的升旗时刻早于7 00 1分 在表1的20个日期中 有15个日期的升旗时刻早于7 00 所以 153 A 204 P 3分 X可能的取值为0 1 2 4分 记事件B为 从表2的日期中随机选出一天 这一天的升旗时刻早于7 00 则 51 B 153 P 2 B 1 B 3 PP 5分 4 0 B B 9 P XPP 1 2 114 1 C 1 339 P X 1 2 B B 9 P XPP 8分 所以 X 的分布列为 8 12 X012 P 4 9 4 9 1 9 4412 012 9993 E X 10分 注 学生得到X 1 2 3 B 所以 12 2 33 E X 同样给分 22 ss 13分 17 本小题满分14分 解 因为 AB 平面 11 AAC C 所以 1 ACAB 1分 因为 三棱柱 111 ABCA B C 中 1 AAAC 所以 四边形 11 AAC C 为菱形 所以 11 ACAC 3分 所以 1 AC 平面 1 ABC 4分 因为 11 A A B B 1 A A 平面 11 BB C C 所以 1 A A 平面 11 BB C C 5分 因为 平面 1 AA EF 平面 11 BB C CEF 所以 1 A A EF 6分 因为 平面 ABC 平面 111 ABC 平面 1 AA EF 平面ABC AF 平面 1 AA EF 平面 1111 A B CA E 所以 1 AE AF 7分 所以 四边形 1 AA EF 为平行四边形 8分 在平面 11 AAC C 内 过A作Az AC 因为 AB 平面 11 AAC C 如图建立空间直角坐标系 Axyz 9分 由题意得 0 0 0 A 2 0 0 B 0 2 0 C 1 0 1 3 A 1 0 3 3 C 因为 2 3 BF BC 所以 24 4 0 33 3 BFBC 9 12 所以 2 4 0 3 3 F 由 得平面 1 ABC 的法向量为 1 0 1 3 AC 设平面 1 AC F 的法向量为 x y z n 则 1 0 0 AC AF n n 即 330 24 0 33 yz xy 令 1y 则 2x 3z 所以 2 1 3 n 11分 所以 1 1 1 2 cos 2 AC AC AC n n n 13分 由图知 二面角 1 BACF 的平面角是锐角 所以 二面角 1 BACF 的大小为45 14分 18 本小题满分13分 解 当 1a 时 esin1 x f xx 所以 e sincos x fxxx 2分 因为 0 1 f 0 1f 4分 所以曲线 yf x 在点 0 0 f 处的切线方程为 1yx 5分 e sincos ax fxaxx 6分 由 0fx 得 sincos0axx 7分 因为 0a 所以 0 2 f 8分 当 0 22 x 时 由 sincos0axx 得 1 tanx a 所以 存在唯一的 0 2 x 使得 0 1 tanx a 9分 10 12 f x 与 fx 在区间 0 上的情况如下 x 0 0 x 0 x 0 x fx 0 f x 极大值 所以 f x 在区间 0 0 x 上单调递增 在区间 0 x 上单调递减 11分 因为 0 2 0 e1e10 2 a f xf 12分 且 0 10ff 所以 f x 在区间 0 上恰有2个零点 13分 19 本小题满分14分 解 由题意得 2a 3 2 c e a 所以 3c 2分 因为 222 abc 3分 所以 1b 4分 所以 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 5分 若四边形PAMN是平行四边形 则 PA MN 且 PAMN 6分 所以 直线PA的方程为 2 yk x 所以 3 Pk 2 1PAk 7分 设 11 M x y 22 N xy 由 22 3 44 ykx xy 得 22 41 8 380kxkx 8分 11 12 由 0 得 2 1 2 k 且 12 2 8 3 41 k xx k 12 2 8 41 x x k 9分 所以 22 121 2 1 4 MNkxxx x 2 2 22 6432 1 41 k k k 10分 因为 PAMN 所以 2 22 22 6432 1 1 41 k kk k 整理得 42 1656330kk 12分 解得 3 2 k 或 11 2 k 13分 经检验均符合 0 但 3 2 k 时不满足PAMN是平行四边形 舍去 所以 3 2 k 或 11 2 k 14分 20 本小题满分13分 解 3分 注 只得到 或只得到 给 1分 有错解不给分 当 3m 时 设数列 n A 中1 2 3出现频数依次为 123 q q q 由题意 1 1 2 3 i qi 假设 1 4q 则有 12st aaaa 对任意 2st 与已知矛盾 所以 1 4q 同理可证 3 4q 5分 假设 2 1q 则存在唯一的 1 2 kn 使得 2 k a 12 12 那么 对 s t 有 1 12 kst aaaa k s t 两两不相等 与已知矛盾 所以 2 2q 7分 综上 132 4 4 2qqq 所以 3 1 20 i i Siq 8分 设1 2 2018 出现频数依次为 122018 q qq 同 的证明 可得 12018 4 4qq 22017 2 2qq 则 2026n 取 1201822017 4 2qqqq 1 3 4 5 2016 i qi 得到的数列为 1 1 1 1 2 2 3 4 2015 2016 2017 2017 2018 2018 2018 2018 n B 10分 下面证明 n B 满足题目要求 对 1 2 2026 i j 不妨令 ij aa 如果 1 ij aa 或 2018 ij aa 由于 12018 4 4qq 所以符合条件 如果 1 2 ij aa 或 2017