高考数学 专题辅导与训练 5.3《空间向量及其应用》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1利用空间向量证明空间位置关系 例1 2011 西南师大附中模拟 棱长为的正四面体pabc中 e为bc的中点 f为pc的中点 1 求证 平面pae 平面abc 2 求二面角p ae f的大小 解题指导 1 利用传统解法 通过线面垂直证明面面垂直 2 作出二面角的平面角 然后求解 或利用向量法求解 先建立空间直角坐标系 将线面关系转化为点的坐标的运算 规范解答 方法一 1 由题知bc ae bc pe 又ae pe e bc 平面pae 平面pae 平面abc 2 由 1 知 所求二面角的大小与二面角f ae c的大小互余 取ab中点m 连接cm与ae交于点o 则o为 abc的重心 取co的中点n 连接fn 则fn 平面abc 作nh ae于点h 则h为oe的中点 连接fh 则 fhn即为f ae c的二面角 易求得fn tan fhn 所求角为 arctan 方法二 将正四面体置于正方体内 如图所示 则p 0 0 0 a 1 0 1 b 0 1 1 c 1 1 0 e f 0 1 设平面pae的一个法向量为 1 y z 则由有 1 0 1 同理可求平面abc的一个法向量为 1 1 1 1 0 1 0 平面pae 平面abc 2 设平面aef的一个法向量为 1 k r 则由有由 1 知平面pae的一个法向量为 1 0 1 所求二面角为arccos 互动探究 在本例中 判断ap与be是否垂直 解析 由例题解析方法二知p 0 0 0 a 1 0 1 b 0 1 1 e 1 0 1 ap be 1 利用空间向量证明平行关系 1 证明线线平行的方法 设分别是两条直线a b的方向向量 则 基线不重合 与共线 基线不重合 a b 2 证明线面平行的方法 只要在平面内找到一条直线的方向向量已知直线的方向向量为将问题转化为证明即可 或者已知直线上的a b两点坐标 在平面 内找出两点c d并写成坐标形式 x1 y1 z1 x2 y2 z2 只要证明x1 x2且y1 y2且z1 z2即可 3 证明面面平行的方法 在上面 1 2 的基础上 根据面面平行的判定定理即可得证 2 利用空间向量证明垂直关系 1 证明线线垂直的方法 先在两条直线上各取一个非零向量 或取分别是两条直线的方向向量 只要证明 0 便说明两条直线垂直 2 证明线面垂直或面面垂直时 利用 1 的结果作为基础 根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可得证 三棱柱abc a1b1c1中 侧面aa1c1c 底面abc aa1 a1c ac 2 ab bc 且ab bc o为ac中点 1 在bc1上确定一点e 使得oe 平面a1ab 并说明理由 2 求二面角a a1b c1的余弦值 解析 1 e为bc1中点 方法一 取bc中点f 连接of ef 所以可得of ab ef bb1 所以面oef 面a1ab 所以oe 平面a1ab 方法二 因为a1a a1c 且 为ac的中点 所以a1o ac 又由题意可知 平面aa1c1c 平面abc 交线为ac 且a1o 平面aa1c1c 所以a1o 平面abc 又ab bc 所以bo ac 以 为原点 ob oc oa1所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 由题意可知 a1a a1c ac 2 又ab bc ab bc ob ac 1 所以得 o 0 0 0 a 0 1 0 a1 0 0 c 0 1 0 c1 0 2 b 1 0 0 则有 0 1 0 1 1 1 0 设平面aa1b的一个法向量为 x y z 则有令y 1 得x 1 z 所以 1 1 设e x0 y0 z0 即 x0 1 y0 z0 1 2 得所以e 1 2 得 1 2 由已知oe 平面a1ab 得 0 即 1 2 0 得 即存在这样的点e e为bc1的中点 2 由 1 方法二 可知 1 0 0 2 0 设平面a1bc1的1个法向量为 a b c 则令c 所以 3 0 所以cos 由图可得二面角a a1b c1的余弦值为 热点考向2利用空间向量求空间角 例2 2011 成都模拟 如图1 在平面内 四边形abcd是 bad 60 且ab a的菱形 add a1和cdd c1都是正方形 将两个正方形分别沿ad cd折起 使d 与d 重合于点d1 如图2 设直线l过点b且垂直于菱形abcd所在的平面 点e是直线l上的一个动点 且与点d1位于平面abcd同侧 设be t t 0 1 设二面角e ac d1的大小为 若求t的取值范围 2 在线段d1e上是否存在点p 使平面pa1c1 平面eac 若存在 求出p分所成的比 若不存在 请说明理由 解题指导 1 先建立空间直角坐标系 利用向量的夹角公式用t表示cos 再根据 得关于t的不等式求解即可 2 将平面平行转化为线面平行 进而得到一个平面内的直线与另一平面的法向量垂直 得出关于 的方程 求解即可 规范解答 设菱形abcd的中心为o 以o为原点 对角线ac bd所在的直线分别为x y轴 建立空间直角坐标系如图3 设be t t 0 1 a a 0 0 c a 0 0 d1 0 a e 0 t a a 0 0 设平面d1ac的一个法向量为 x1 y1 z1 则令z1 1得 0 2 1 设平面eac的一个法向量为 x2 y2 z2 令z2 a得 0 2t a 二面角e ac d1的大小为 则cos cos 解得所以t的取值范围是 2 假设存在满足题意的点p 令则p 0 a1 a 0 a 由平面pa1c1 平面eac 得a1p 平面eac 0 t 0 化简得 t a 即在线段d1e上存在点p 使平面pa1c1 平面eac p分所成的比 t a 向量法求空间角 1 用向量方法求两条异面直线所成的角 是通过两条直线的方向向量的夹角来求解 2 在求线面角时 应首先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角 再通过互余关系来得到相应的线面角 有时候也可以把所求角先转化为某两条直线所成的角 然后再利用向量的方法进行计算即可 这种方法吸取了数形结合与向量运算两者的优点 在不太复杂的图形中可以选用 3 二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角 或其补角 或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得 它等于这两个法向量的夹角或其补角 1 两异面直线所成角的范围是 0 两向量的夹角 的范围是 0 所以要注意二者的联系与区别 2 若平面的法向量与直线的方向向量的夹角为 可为锐角或钝角 则直线与平面所成的角 应满足sin cos 已知 abc是边长为2的等边三角形 pc 平面abc pc 2d是ap上一动点 1 若d是ap的中点 求直线bd与平面pbc所成的角的正弦值 2 d在运动过程中 是否有可能使ap 平面bcd 请说明理由 解析 1 取ac的中点e ap的中点f 连接fe be 则fe pc be ac fe 平面abc 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 1 0 b 0 0 c 0 1 0 p 0 1 2 f 0 0 设 x0 y0 z0 是平面pbc的一个法向量 0 0 2 1 0 则 0 且 0 2 0且 x0 y0 0 取则 1 0 由题设d是ap的中点 则d与f重合 即d的坐标为 0 0 直线bd与面pbc所成角的正弦值为 2 0 2 2 1 0 2 0 ap不垂直于bc ap不可能垂直于面bcd 即不存在d点 使ap 平面bcd 热点考向3利用空间向量求空间距离 例3 如图 bcd与 mcd都是边长为2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 1 求点a到平面mbc的距离 2 求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值 解题指导 解决此类问题可用以下两种方法 方法一 几何法 1 将点面距离问题转化为体积相等的问题 降低直接求解的难度 2 二面角的求法思路 一般是 作 证 求 其中 作 是关键 证 是难点 方法二 建立空间直角坐标系 利用空间向量 借助于法向量求解 使问题变得简单 规范解答 方法一 1 取cd中点o 连接ob om 则ob om ob cd mo cd 又平面mcd 平面bcd 则mo 平面bcd 又ab 平面bcd 所以mo ab mo 平面abc m o到平面abc的距离相等 作oh bc于点h 易证oh 平面abc 连接mh 则mh bc 求得oh oc sin60 设点a到平面mbc的距离为d 由va mbc vm abc得 s mbc d s abc oh 即解得d 2 延长am bo相交于点e 连接ce de ce是平面acm与平面bcd的交线 由 1 知 o是be的中点 则四边形bced是菱形 作bf ec于点f 连接af 则af ec afb就是二面角a ec b的平面角 设为 因为 bce 120 所以 bcf 60 bf 2sin60 所以平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值为 方法二 取cd的中点o 连接ob om 则ob cd om cd 又平面mcd 平面bcd 则mo 平面bcd 以o为原点 直线oc bo om为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系如图 ob om 则各点坐标分别为c 1 0 0 m 0 0 b 0 0 a 0 1 设 x y z 是平面mbc的一个法向量 则 1 0 0 由 得x y 0 由 得 0 取 1 1 0 0 2 则d 2 1 0 1 设平面acm的一个法向量为 x1 y1 z1 由得解得x1 z1 y1 z1 取 1 1 又平面bcd的一个法向量为 0 0 1 所以cos 设所求二面角为 则sin 1 空间中的常见距离的求法 1 点与点的距离 一般利用三角形求出 2 点到平面的距离 即点到平面的垂线段的长 一般用转化法或等积法去解决 3 线面距离转化为点面距离再进行转化去解决 2 用法向量求点到平面的距离的一般步骤 1 求出该平面的一个法向量 2 找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量 3 求出平面法向量与斜线段向量数量积的绝对值后除以法向量的模 即可求出点到平面的距离 可以视为平面的单位法向量 所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值 即d 如图 正四面体mbcd的棱长为2 ab 平面bcd ab 1 求点a到平面mbc的距离 2 求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值 解析 1 bcd为正三角形 取cd中点e 连结be 则be cd 又ab 平面bcd 则以b为原点 过b作直线l cd为x轴 be所在直线为y轴 ba所在直线为z轴建立空间直角坐标系 有b 0 0 0 c 1 0 m 0 a 0 0 设平面bcm的一个法向量为 x y z 得 0 0 设a到平面mbc的距离为d 则d 2 设平面amc的一个法向量为 x1 y1 z1 则 得 5 又平面bcd的一个法向量 0 0 1 设平面acm与平面bcd的二面角的大小为 则sin 热点考向4利用空间向量解决探索性问题 例4 15分 2011 浙江高考 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 在线段ap上是否存在点m 使得二面角a mc b为直二面角 若存在 求出am的长 若不存在 请说明理由 解题指导 先寻找两两垂直的三条直线 建立空间直角坐标系 然后求解本题 既可用向量法求解 也可用传统法求解 规范解答 方法一 1 如图 以o为原点 以射线op为z轴的正半轴 建立空间直角坐标系o xyz 1分则o 0 0 0 a 0 3 0 b 4 2 0 c 4 2 0 p 0 0 4 0 3 4 8 0 0 3分由此可得 0 5分所以即ap bc 6分 2 设 1 则 0 3 4 4 2 4 0 3 4 4 2 3 4 4 8分 4 5 0 8 0 0 设平面bmc的一个法向量 x1 y1 z1 平面apc的一个法向量 x2 y2 z2 由得即可取 0 1 10分 由即得可取 5 4 3 12分由 0 得4 3 0 解得 13分故am 3 14分综上所述 存在点m符合题意 am 3 15分 方法二 1 由ab ac d是bc的中点 得ad bc 1分又po 平面abc 得po bc 3分因为po ad o 所以bc 平面pad 5分故bc pa 6分 2 如图 在平面pab内作bm pa于点m 连接cm 由 1 知ap bc 得ap 平面bmc 7分又ap 平面apc 所以平面bmc 平面apc 8分 在rt adb中 ab2 ad2 bd2 41 得ab 9分在rt pod中 pd2 po2 od2 在rt pdb中 pb2 pd2 bd2 所以pb2 po2 od2 bd2 36 得pb 6 10分在rt poa中 pa2 ao2 op2 25 得pa 5 11分 又cos bpa 13分从而pm pbcos bpa 2 所以am pa pm 3 14分综上所述 存在点m符合题意 am 3 15分 常见的探索性问题有两种类型 一类是判断型 另一类是猜测型 所谓判断型 是指题目没有给出明确的结论 但是给出了结论的可能性范围 这往往就是解题的突破口 如 判断直线a和b的位置关系 并给出证明 这实质上是告诉我们在 相交 平行 异面 中去选择 猜测型问题 常常以 存在 不存在 是否存在 等形式出现 存在 就是适合某种条件或性质的对象 对这类题不管用什么方法 只要能找出一个 就说明存在 问题也就解决了 不存在 问题一般用反证法 是否存在 则有两种可能即存在与不存在 若存在 则需要找出来 若不存在 则应说明理由 空间向量解决这类立体几何中的探索性问题 只需通过坐标运算进行判断 在解题过程中 往往把 是否存在 问题转化为点的坐标是否有规定范围内的解 所以使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法解题 如图 在三棱锥p abc中 ac bc 2 acb 90 ap bp ab pc ac 点d为bc中点 1 求二面角a pd b的余弦值 2 在直线ab上是否存在点m 使得pm与平面pad所成角的正弦值为若存在 求出点m的位置 若不存在 说明理由 解析 1 ac bc pa pb pc pc pca pcb pca pcb pc ac pc cb pc 平面acb 且pc ca cb两两垂直 故以c为坐标原点 分别以cb ca cp所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 则c 0 0 0 a 0 2 0 d 1 0 0 p 0 0 2 1 2 0 1 0 2 设平面pad的一个法向量 x y z 2 1 1 平面pdb的一个法向量 0 2 0 cos 设二面角a pd b的平面角为 且 为钝角 cos 二面角a pd b的余弦值为 2 方法一 存在 m是ab中点或a是mb中点 设m x 2 x 0 x r x 2 x 2 cos 解得x 1或x 2 m 1 1 0 或m 2 4 0 在直线ab上存在点m 且m是ab中点或a是mb中点 使得pm与平面pad所成角的正弦值为 方法二 存在 m是ab中点或a是mb中点 设则 2 2 0 2 2 0 r 2 2 2 2 cos 解得 或 1 m是ab中点或a是mb中点 在直线ab上存在点m 且m是ab中点或a是mb中点 使得pm与平面pad所成角的正弦值为 数形结合思想在立体几何中的应用数形结合解立体几何的主要类型 1 证明线线 线面 面面的平行 垂直问题 2 求空间角 3 求空间距离 4 解立体几何中的探索性问题 利用空间向量解立体几何问题的一般步骤是 1 依据题意建立适当的空间直角坐标系 2 求出相关点的坐标 3 写出相关直线的方向向量 相关平面的法向量 4 根据线性相关 共面定理及数量积建立关系 然后进行判断和计算 求解时应注意的问题 1 建系要恰当 2 所求角与实际角的关系要搞清楚 3 运算要准确 典例 已知正方体abcd a b c d 的棱长为1 点m是棱aa 的中点 点o是对角线bd 的中点 1 求证 om为异面直线aa 和bd 的公垂线 2 求二面角m bc b 的大小 3 求三棱锥m obc的体积 解题指导 方法一 几何法 1 分别证明om aa om bd 即可 2 首先利用三垂线定理 作出二面角m bc b 的平面角 然后通过平面角所在的直角三角形 求出平面角的一个三角函数值 便可解决问题 3 选择便于计算的底面和高 利用等积法求出vo ma d 即可 方法二 建立空间直角坐标系 利用空间向量中的法向量求解 规范解答 方法一 1 连接ac 取ac的中点k 则k也为b