1.2.1几个常见函数的导数

课时提升训练 三几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(40分钟90分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.在曲线f(x)=1x上切线的倾斜角为34的点的坐标为() A.(1，1)B.(-1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)或(-1，-1)【解析】选D.切线的斜率k=tan 34=-1，设切点为(x0，y0)，则f(x0)=-1，又f(x)=-1x2，所以-1x02=-1，所以x0=1或-1，所以切点坐标为(1，1)或(-1，-1).2.下列命题中正确的是()若f(x)=cos x，则f(x)=sin x若f(x)=0，则f(x)=1若f(x)=sin x，则f(x)=cos x若f(x)=1x，则f(x)=1x2A.B.C.D.【解析】选C.当f(x)=sin x+1时，f(x)=cos x;当f(x)=2时，f(x)=0;若f(x)=1x，则f(x)=-1x2.3.若f(x)=sin x，f()=12，则下列的值中满足条件的是()A.3B.6C.23D.56【解析】选A.因为f(x)=sin x，所以f(x)=cos x.又因为f()=cos =12，所以=2k3(kZ).当k=0时，=3.4.若曲线y=x-12在点(a，a-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A.64B.32C.16D.8【解题指南】先根据导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线的方程，再求出切线与两坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式列方程求a的值.【解析】选A.因为y=-12x-32，所以当x=a时，y=-12a-32，所以在点(a，a-12)处的切线方程为y-a-12=-12a-32(x-a)，令x=0，得y=32a-12，令y=0，得x=3a.所以123a32a-12=18，解得a=64.【补偿训练】函数y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为()A.94e2B.2e2C.e2D.e22【解析】选D.因为当x=2时，y=e2，所以切线方程为y-e2=e2(x-2).当x=0时，y=-e2，当y=0时，x=1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为12|-e2|1=e22.5.对任意的x，有f(x)=4x3，f(1)=-1，则此函数解析式可以为()A.f(x)=x3B.f(x)=x4-2C.f(x)=x3+1D.f(x)=x4-1【解析】选B.由f(x)=4x3知f(x)中含有x4项，所以A，C不正确，然后将x=1代入B，D中验证可得B正确.6.观察(x2)=2x，(x4)=4x3，(cos x)=-sin x，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)等于()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】选D.由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为f(x)是偶函数，则g(x)=f(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x).7.设曲线y=xn+1(nN*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为()A.1nB.1n+1C.nn+1D.1【解析】选B.对y=xn+1(nN*)求导，得y=(n+1)xn.令x=1，得在点(1，1)处切线的斜率k=n+1.在点(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)，令y=0，则xn=nn+1，故x1x2xn=122334nn+1=1n+1.8.(2016山东高考)若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3【解题指南】利用基本初等函数的导数公式求导后，表示出两“切线”的斜率，判断它们的乘积是否为-1.【解析】选A.对于函数y=sin x，y=cos x，设图象上存在这样的两点(x1，sin x1)，(x2，sin x2)，那么两切线的斜率k1=cos x1，k2=cos x2，令k1k2=cos x1cos x2=-1，则x1=2k，x2=2k+(或x2=2k，x1=2k+)，kZ，即存在这样的两点，所以具有T性质.对于函数y=ln x，y=1x，k1k2=1x11x2，而x10，x20，所以k1k2-1，所以函数y=ln x不具有T性质.对于函数y=ex，y=ex，k1=ex1，k2=ex2，显然均大于0.所以函数y=ex不具有T性质.对于函数y=x3，y=3x2，k1=3x12，k2=3x22，显然k1k2-1，所以函数y=x3不具有T性质.二、填空题(每小题5分，共10分)9.直线y=12x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线，则实数b=.【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0=ln x0.因为y=(ln x)=1x，由题意知1x0=12，所以x0=2，y0=ln 2.由ln 2=122+b，得b=ln 2-1.答案:ln 2-1【补偿训练】已知函数y=f(x)的图象在M(1，f(1)处的切线方程是y=12x+2，则f(1)+f(1)=.【解析】依题意知，f(1)=121+2=52，f(1)=12，所以f(1)+f(1)=52+12=3.答案:310.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直，则实数a的值为.【解析】因为y=ln x的导数为y=1x，即有曲线y=ln x在x=e处的切线斜率k=1e，由于切线与直线ax-y+3=0垂直，则a1e=-1，解得a=-e.答案:-e三、解答题(每小题10分，共20分)11.已知曲线y=5x，求:(1)这条曲线与直线y=2x-4平行的切线方程.(2)过点P(0，5)且与曲线相切的切线方程.【解析】(1)设切点为(x0，y0)，由y=5x，得y=52x，所以切线斜率为52x0，因为切线与直线y=2x-4平行，所以52x0=2.所以x0=2516，所以y0=254.则所求切线方程为y-254=2x-2516，即16x-8y+25=0.(2)因为点P(0，5)不在曲线y=5x上，设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为52t，又切线斜率为u-5t，所以52t=u-5t=5t-5t.所以2t-2t=t，又t0，解得t=4. 所以切点为M(4，10)，斜率为54.所以切线方程为y-10=54(x-4)，即5x-4y+20=0.12.已知P(-1，1)，Q(2，4)是曲线y=x2上的两点.(1)求过点P，Q的曲线y=x2的切线方程.(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.【解析】(1)因为y=2x.P(-1，1)，Q(2，4)都是曲线y=x2上的点.过P点的切线的斜率k1=-2，过Q点的切线的斜率k2=4，过P点的切线方程为y-1=-2(x+1)，即2x+y+1=0.过Q点的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设所求切线与曲线y=x2的切点为M(x0，y0).因为y=2x，直线PQ的斜率k=4-12+1=1，切线的斜率k=2x0=1，所以x0=12，所以切点M12,14，与PQ平行的切线方程为y-14=x-12，即4x-4y-1=0.【补偿训练】设抛物线y=x2与直线y=x+a (a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求a值变化时l1与l2交点的轨迹.【解析】将y=x+a代入y=x2整理得x2-x-a=0，因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以=(-1)2+4a0，得a-14.设两交点为(，2)，(，2)，由y=x2知y=2x，则切线l1，l2的方程分别为y=2x-2，y=2x-2.设两切线交点为(x，y)，则x=+2,y=,因为，是的解，由根与系数的关系，可知+=1，=-a.代入可得x=12，y=-a14.从而，所求的轨迹为直线x=12上的y0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1，其中kN*，若a1=16，则a1+a3+a5的值是.【解析】因为y=2x，所以过点(ak，ak2)的切线方程为y-ak2=2ak(x-ak)，又该切线与x轴的交点为(ak+1，0)，所以ak+1=12ak，即数列ak是等比数列，首项a1=16，其公比q=12，所以a3=4，a5=1，所以a1+a3+a5=21.答案:213.(10分)已知曲线y=f(x)=1x.(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程.(2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程.(3)求满足斜率为-13的曲线的切线方程.【解析】因为y=1x，所以y=f(x)=-1x2.(1)显然P(1，1)是曲线上的点.所以P为切点，所求切线斜率为函数y=1x在P(1，1)点处的导数值.即k=f(1)=-1.所以曲线在P(1，1)处的切线方程为y-1=-(x-1)，即为y=-x+2.(2)显然Q(1，0)不在曲线y=1x上.则可设过该点的切线的切点为Aa,1a，那么该切线斜率为k=f(a)=-1a2.