从一堂概念课的不同导入谈数学史融入教学.pdf

2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期数学通报 4 7 从一堂概念课的不同导人谈数学史融人教学 王华民1侯斌2 1 江苏无锡市王华民名师工作室2 1 4 0 7 1 2 江苏省太湖高级中学2 1 4 1 2 5 普通高中数学课程标准 指出 数学是人类 文化的重要组成部分 数学课程应适当反映数学 的历史 应用和发展的趋势 将数学史融入 教学中 一直是国际数学教育界备受关注的研究 课题 也能体现数学的文化价值 前阶段有幸聆听 了几位教师的概念课 对数 1 包括两堂江 苏省数学教师评优课 给了我们一些思考和启发 概念是数学教学的重点内容 而概念的导入是其 关键 以下从三堂 对数 课的不同导入 谈谈笔者 对数学史融人概念教学的一些粗浅认识 导入方案筒述 方案1附带式 由数学逆运算的角度引 出对数概念 课后附带一点数学史 一 问题情境 课本第6 8 页例4 某种放射性物质不断 变化为其他物质 每经过1 年 这种物质剩留的 质量是原来的8 4 写出这种物质的剩留量关 于时间的函数关系式 设该物质最初的质量是1 则经过z 年 该物 质的剩留量为Y 0 8 4 问题1 我们建立这个函数关系式可以实现 计算预测的功能 只要知道时间z 就可以计算剩 留量Y 比如 经过了3 年 剩留量是多少 问题 经过了土年 剩留量是多少 数学语言0 8 4 3 0 5 9 2 7 0 4 指数运算a 6 一N 已知底数a 和指数b 运算类型 求幂N 问题2 反过来 如果我们知道了该物质的 剩留量Y 怎么求出所经过的时间z 呢 比如经 过多少年 剩留量为0 5 7 问题 经过多少年 剩留量为 数学语言 0 8 4 1 一o 5 则z 一 一种新运算 已知底数a 和幂值N 求 运算类型 指数b 已知底数和幂的值求指数 是一个新运算 这是本节课将要研究的问题 问题30 8 4 2 0 5 中的z 是否存在 是 否唯一 能否借助之前所学的指数函数内容加以 说明 师生活动 引导学生利用指数函数的图像和 性质分析得出0 8 4 o 5 中的z 存在且唯一 二 建构数学 1 定义概念 一般地 如果a 盘 0 口 1 的b 次幂等于 N 即口6 一N 那么就称b 是以a 为底N 的对数 1 0 9 a r i t h m 记作l o g N b 其中 a 叫做对数的 底数 b a s eo fl o g a r i t h m N 叫做真数 p r o p e r n u m b e r 2 概念解读 略 说明 课后作业补充 1 参看P 7 9 阅读 数学史内容 2 关于常用对数和自然对数 推荐同学们阅 读两本书 不可思议的8 漫话P 方案2介绍式 由数学史引出对数概 念 穿插数学史阅读 一 以古代名旬 现代生活热点导入 上课伊始 教师问 大家知道古代的思想家庄 子吗 乘势做一点介绍 庄子是战国时期著名的 万方数据 4 8 数学通报 2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 思想家 哲学家 文学家 是道家学派的代表人物 老子哲学思想的继承者和发展者 先秦庄子学派 的创始人 他的学说涵盖着当时社会生活的方方 面面 后世将他与老子并称为 老庄 他们的哲学 为 老庄哲学 他的思想包含着朴素辩证法因素 教师投影问题 1 庄子日 一尺之棰 日取其半 万世不竭 1 取1 次 还剩余多长 剩余0 5 尺 2 取多少次还剩余0 1 2 5 尺 丢 2 O 1 2 5 求z 思考 多少次后剩余不足0 0 0 1 尺 丢 2 o 0 0 1 求z 教师请学生比较 专 2 一o 1 2 5 丢 2 0 口 1 的b 次幂等 于N 称b 是以a 为底N 的对数 记作l o g N 6 其中 a 叫做对数的底数 N 叫做真数 2 指 对数互化 a 6 一N 甘6 一l o g N 注意 1 底数的限制条件真数 的限制条件 2 对数的写法 读法 3 两个等式所表示的是三个量a b N 的同 一个关系 不同的形式 数学运用 一组例题 一组练习及方法归纳 略 三 阅读对数发展史 让同学们浏览课本P 7 9 阅读 对数是由苏 格兰数学家纳皮尔 J N a p i e r 1 5 5 0 1 6 1 7 发明 的 纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算 在没有指数概念的情况下发明了对数 并于1 6 1 4 年在 论述对数的奇迹 中 介绍了他的方法和研 究成果 欧拉 E u l e r 1 7 0 7 1 7 8 3 深刻地揭示了指数 与对数的密切联系 他曾说 对数源于指数 恩格斯在他的著作 自然辩证法 中充分肯定 了对数的真正价值 他把笛卡尔的坐标系 纳皮尔 的对数 牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为1 7 世 纪的三大数学发明 法国著名的数学家 天文学家 拉普拉斯 P S L a p l a c e 1 7 4 9 1 8 2 7 曾说 对数 可以缩短计算时间 在实际上等于把天文学家的 寿命延长了许多倍 方案3融入式 根据历史材料 编制数 学问题 1 计算引入 教师出示四道计算题 学生自 主完成 计算 1 3 2 2 5 6 一 2 4 0 9 6 1 2 8 3 1 6 4 一 4 弧丽一 学生回答 略 师 通过这组计算 大家有什么感觉 生 运算量大 很繁 2 对数发明的背景 教师介绍 1 6 世纪前半叶 欧洲人热衷于地 理探险和海洋贸易 特别是地理探险需要更为准 确的天文知识 对计算速度和准确性的要求与日 俱增 人们希望将乘除法归结为简单的加减法 3 对数产生的前奏 让学生观察两个数列 并找出规律 I o123456 7 89 1 01 1 1 21 31 41 5 I 12481 63 26 41 2 82 5 6 5 1 2 1 0 2 42 0 4 84 0 9 68 1 9 21 6 3 8 4 3 2 7 6 8 生答 前一排数设为咒 则后一排数可以表示 为2 教师肯定学生后 介绍数学史 德国数学家史 提非在观察上述两个数列时 称上排的数为 指 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期数学通报 4 9 数 下排的数为 原数 史提非发现 上一排数之 间的加 减运算结果与下一排数之间的乘 除运算 结果有一种对应关系 即假定我们想求下一排任 两个数之积 只要计算与这两个数对应的上一排 的数之和就行了 师 根据以上叙述 我们一起来尝试把开始的 四道计算题做一点改写 使运算简化 1 3 2 2 5 6 2 5 2 8 2 5 8 2 2 4 0 9 6 1 2 8 2 1 2 2 7 2 5 3 1 6 4 2 1 6 4 3 2 7 6 8 2 等一2 3 师 这四道问题的改写 其数学本质是什么 生 简化运算 化乘除为加减 乘方 开方为乘 除运算 教师故意提问 那么3 6 3 6 5 呢 能否用上述 表格来进行简化运算 8 5H 7 5 3 6 5 I lI3 5 0J 3 0 0 2 5 0f I 2 0 0 1 5 0 J 1 0 0 5 0 I L l O y y j j O 0f L 1 5 0 1 0 0L 5 00 5 0 1 0 0 1 5 G 学生开始议论 很多学生都对上述简便运算 的价值提出了质疑 有同学认为简化运算的实质 是把乘除转化成2 的指数幂的加减法运算 而 3 6 3 6 5 不是有理数次幂 那上述简化运算就失 效了 教师追问 3 6 和3 6 5 能否表示成2 的若干次 幂的形式 学生面面相觑 不知道 教师利用 几何画板 的测算功能 显示后 师 生共同发现3 6 25 1 6 9 9 3 3 6 5 2 8 5 1 17 5 计算 5 1 6 9 9 3 8 5 1 1 7 5 1 3 6 8 6 1 8 通过计算器求得 2 1 3 6 8 6 1 8 1 3 1 8 1 0 7 1 2 而3 6 3 6 5 1 3 1 4 0 师 数据的差异取决于近似计算的精确度 与 运算的本质无关 生 按照这样的思路我们只需制作一张包含 足够多数字的表格 就能算出各种各样数字的乘 除和开方 乘方运算了 师 经过刚才的探讨 可以断定这种方法是可 行的 我们可以不断地完善表格中的数据 实际上 在1 7 世纪许多人为了制作这样一张精确的表格 而奉献了自己毕生的精力 教师归纳 此法可推广到任何二个数的乘除 运算 并不仅仅限于以2 为底 比如计算3 6 3 6 5 设3 6 a 3 6 5 a y 则3 6 3 6 5 a 口 2 口什y 4 对数的产生 师 把我们的发现上升为一种全新的理论 对 于一般的口 N a 0 且a 1 若已知a 和N 需要求出指数z 则记为z l o g N 我们把z 称 作以a 为底N 的对数 其中a 叫做底数 N 叫做 真数 如 2 3 6 z l 0 9 2 3 6 2 3 6 5 y l 0 9 23 6 5 教师简要介绍了数学家纳皮尔为对数的产生 所做的巨大贡献 物理学家伽利略发出了豪言壮 语 给我时间 空间和对数 我可以创造出一个宇 宙来 数学家拉普拉斯说 对数用缩短计算的时 间来使天文学家的寿命加倍 至此 本节课的重点即对数的概念已经产生 数学史融人对数的概念教学中 更使得学生产生 无尽的遐想 对比分析与感悟 普通高中数学课程标准 指出课堂教学应 努力揭示数学概念 结论发展过程 体会蕴涵在 其中的数学方法 追寻数学发展的历史足迹 把数 学的学术形态转化成学生易于接受的教育形态 对数 是高中数学中的一个核心概念 是学生在 高中第一次接触的一个全新的概念 又比较抽象 构成学生理解上的难点 对于上述三种导入方案 以下从融人数学史的角度进行分析 方案1 以教材中一道指数函数问题为背景 依次提出三个问题 引导学生回顾指数运算 让学 生发现 已知底数和幂的值求指数 的新问题 之 后又从两个角度引发学生的认知冲突 为引入对 数埋下伏笔 它是将突破点定位于新旧知识的结 万方数据 5 0 数学通报 2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 合点上 利用对数与指数的联系 从数学逆运算的 角度引出对数概念 突出了学习对数的必要性 课 后反馈 有不少学生觉得对数概念很抽象 难以理 解 因此 方案1 的教学效果不够理想 分析原因 笔者以为 对数的定义出现得稍显直白 学生缺乏 对 对数 概念发展过程的感受 对概念只能死记 硬背 事实上 数学的概念和结论并不是 天外来 物 而是人类文化的重要组成部分 它们的产生 和发展都有着丰富的历史文化背景 方案1 仅仅 把数学史的相关内容附带一点 作为课外阅读 其 效果无疑会打个折扣 方案2 从介绍古代思想家庄子的数学史料开 始 结合现代生活的热点问题 酒驾导人 引起 学生的兴趣和对生活热点的关注 在数学运用之 后 再穿插一段数学史的阅读材料 无疑比方案1 的导入更具有人文思想 让学生不仅了解对数及 对数发展的历程 动人 曲折的历史故事有益于激 发学生的求知欲 有助于学生理解 对数 的概念 这也是目前高中教学中将数学史融人数学教学的 普遍做法 操作很方便 但给我们有蜻蜓点水之 感 它只是将数学史渗透于教学中 层次较低 未 能发挥数学史融入课堂教学应有的作用 回顾方案3 的四个步骤 处处渗透着数学史 对数发明的背景 和 对数的产生 环节给学生展 示了一个波澜壮阔的大时代 使学生逐步认识对 数发明的意义 计算引入 和 对数产生的前奏 环节再现了历史真实 教师在教学过程中提供原 始问题和数据 让学生亲历原始思考过程 加深了 对数学学科的理解 求真务实 让学生亲历化 乘除为加减 化乘方 开方为乘除的过程 揭示出 对数的本质属性 降低运算级别所带来的简捷 性 这也正是历史上对数产生的意义所在 即通过 数学史的融入 让学生经历对数概念的发生 发展 过程 与此同时 通过学生不断思考 探索的过程 有助于培养他们的思维能力 还有那动人 曲折的 历史故事 激发了学生的求知欲 有利于学生形成 锲而不舍的钻研精神和科学态度等 这些都体现 了概念教学中融人数学史的意义 另外 教师的教 学设计并没有完全照搬历史 而是对数学史的资 源进行了再加工 例如在数学的发展史上 从指数 出发来定义对数 回避了 先有对数后有指数 还是先有指数后有对数 的争议 这是基于学生 的认知特点 容易被学生接受 正是由于上述数学 史的融入 才使抽象的对数概念更易于学生理解 接受 可见 与方案2 比较 方案3 是数学史在数 学课堂上较高层次的应用 新课程强调在数学概念的教学过程中应充分 揭示数学知识产生 发展的全过程 同时强调数学 概念的形成应该是 自然 的 符合学生的认知规 律的 教学中 有的概念比较抽象 构成学生理解 上的难点 如何揭开抽象概念那 冰冷美丽 的面 纱 实践表明 通过挖掘史料 以数学史融人教 学 则能揭示概念的背景 让学生经历概念发展的 历程 从而理解概念 在操作层面 要真正实现数学史有效融人数 学教学 教师必须深入理解数学史的知识意义和 方法意义 注意结合教材特点和学生的经验 体 验 对数学史资源进行选择 组合 改造与再加工 使学生容易接受 乐于接受 并能从中得到有益的 启迪 切实发挥以史激情 引趣 以史启真 促思的 功能 正像法国著名数学家包罗 朗之万所说 在数学教学中 加入历史具有百利而无一弊 上接第4 6 页 参考文献 1