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12 2 4一元二次方程根与系数的关系 江油实验学校任晓梅 1252智慧课堂 一元二次方程的一般形式 方程的判别式当 时 方程才有解 可以用求根公式写出它的根求根公式 复习回顾 填写下表 猜想 如果一元二次方程的两个根分别是 那么 你可以发现什么结论 如果一元二次方程的两个根分别是 那么 这就是一元二次方程根与系数的关系 韦达 1540 1603 是法国数学家 最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系 因此 人们把这个关系称为韦达定理 韦达最重要的贡献是对代数学的推进 他最早系统地引入代数符号 推进了方程论的发展 韦达用 分析 这个词来概括当时代数的内容和方法 他创设了大量的代数符号 用字母代替未知数 系统阐述并改良了三 四次方程的解法 著有 分析方法入门 论方程的识别与订正 等多部著作 以两个数为根作一元二次方程 以两个数x1 x2为根的一元二次方程 二次项系数为1 是x2 x1 x2 x x1x2 0 你知道为什么吗 还有没有其他的方程 请举例说明 练习 已知一个一元二次方程的二次项系数是3 它的两个根分别是 2 4 写出这个方程 例1 设是方程的两个根 利用根与系数的关系 求下列各式的值 1 2 1 x12 x22 x1 x2 2 2x1 x2 设是方程的两个根 不解方程 求下列各式的值 巩固练习 例2 已知方程的一个根是2 求它的另一个根及k的值 解 设方程的两个根分别是 其中 所以 即 由于得 k 7答 方程的另一个根是 k 7 2 应用一元二次方程的根与系数关系时 首先要把已知方程化成一般形式 3 应用一元二次方程的根与系数关系时 要特别注意 方程有实根的条件 即在初中代数里 当且仅当时 才能应用根与系数的关系 1 一元二次方程根与系数的关系是什么 总结归纳 1若方程3x2 k2 3k 10 x 3k 0的两根互为相反数 k的值为 A 5B 2C 5或 2D 0 2 m为何实数时 方程4x2 m 2 x m 5 0的根都小于零 拓展延伸 B 分析 要使原方程的根都小于零 必需 0 3 已知方程X2 kX k 2 0的两个根是X1 X2 且X12 X22 4 求k的值 解 由根与系数的关系得 X1 X2 k X1 X2 k 2又X12 X22 4即 X1 X2 2 2X1X2 4K2 2 k 2 4K
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