解析几何解题方法分析.doc

1 富源县第一中学富源县第一中学 解析几何方法分析解析几何方法分析 李华老师 一 高考要求一 高考要求 1 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程 从直线的点斜式 方程出发推导出直线方程的其他形式 斜截式 两点式 截距式 能根据已知 条件 熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程 熟练地进行直线方程的不 同形式之间的转化 能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了 2 能正确画出二元一次不等式 组 表示的平面区域 知道线性规划的意 义 知道线性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解等基本概念 能正确地利用图解法解决线性规划问题 并用之解决简单的实际问题 了解线 性规划方法在数学方面的应用 会用线性规划方法解决一些实际问题 3 理解 曲线的方程 方程的曲线 的意义 了解解析几何的基本思 想 掌握求曲线的方程的方法 4 掌握圆的标准方程 r 0 明确方程中各字母 222 rbyax 的几何意义 能根据圆心坐标 半径熟练地写出圆的标准方程 能从圆的标准 方程中熟练地求出圆心坐标和半径 掌握圆的一般方程 知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方0 22 FEyDxyx 程和标准方程的互化 能根据条件 用待定系数法求出圆的方程 理解圆的参 数方程 为参数 明确各字母的意义 掌握直线与圆的位置关 cos sin xr yr 系的判定方法 5 正确理解椭圆 双曲线和抛物线的定义 明确焦点 焦距的概念 能 根据椭圆 双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程 记住椭圆 双曲线和 抛物线的各种标准方程 能根据条件 求出椭圆 双曲线和抛物线的标准方程 掌握椭圆 双曲线和抛物线的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 准线 2 双曲线的渐近线 等 从而能迅速 正确地画出椭圆 双曲线和抛物线 掌 握 a b c p e 之间的关系及相应的几何意义 利用椭圆 双曲线和抛物线 的几何性质 确定椭圆 双曲线和抛物线的标准方程 并解决简单问题 理解 椭圆 双曲线和抛物线的参数方程 并掌握它的应用 掌握直线与椭圆 双曲 线和抛物线位置关系的判定方法 二 主要内容及高频考点 一 直线和圆的方程 1 理解直线的斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 掌握直线方程 的点斜式 两点式 一般式 并能根据条件熟练地求出直线方程 2 掌握两条直线平行与垂直的条件 两条直线所成的角和点到直线的距离 公式 能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 3 了解二元一次不等式表示平面区域 4 了解线性规划的意义 并会简单的应用 5 了解解析几何的基本思想 了解坐标法 6 掌握圆的标准方程和一般方程 了解参数方程的概念 理解圆的参数方 程 二 圆锥曲线方程 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 2 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 3 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 4 了解圆锥曲线的初步应用 三 知识归纳三 知识归纳 基础知识详析 高考解析几何试题一般共有 4 题 2 个选择题 1 个填空题 1 个解答题 共 计 27 分左右 考查的知识点约为 20 个左右 其命题一般紧扣课本 突出重 3 点 全面考查 选择题和填空题考查直线 圆 圆锥曲线 参数方程和极坐标 系中的基础知识 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点 通过知识的重组 与链接 使知识形成网络 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 求解有时还 要用到平几的基本知识和向量的基本方法 这一点值得强化 一 直线的方程 1 点斜式 2 截距式 11 xxkyy bkxy 3 两点式 4 截距式 12 1 12 1 xx xx yy yy 1 b y a x 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0 CByAx 二 两条直线的位置关系 两条直线 有三种位置关系 平行 没有公共点 相交 有且只有一 1 l 2 l 个公共点 重合 有无数个公共点 在这三种位置关系中 我们重点研究平 行与相交 设直线 直线 则 1 ly 1 kx 1 b 2 ly 2 kx 2 b 的充要条件是 且 的充要条件是 1 1 l 2 l 1 k 2 k 1 b 2 b 1 l 2 l 1 k 2 k 三 线性规划问题 1 线性规划问题涉及如下概念 存在一定的限制条件 这些约束条件如果由 x y 的一次不等式 或方程 组成的不等式组来表示 称为线性约束条件 都有一个目标要求 就是要求依赖于 x y 的某个函数 称为目标函数 达到最大值或最小值 特殊地 若此函数是 x y 的一次解析式 就称为线性目 标函数 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 统称为线性规 划问题 满足线性约束条件的解 x y 叫做可行解 所有可行解组成的集合 叫做可行域 4 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的最优解 2 线性规划问题有以下基本定理 一个线性规划问题 若有可行解 则可行域一定是一个凸多边形 凸多边形的顶点个数是有限的 对于不是求最优整数解的线性规划问题 最优解一定在凸多边形的顶点 中找到 3 线性规划问题一般用图解法 四 圆的有关问题 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 r 0 称为圆的标准方程 其圆心坐标为 a b 222 rbyax 半径为 r 特别地 当圆心在原点 0 0 半径为 r 时 圆的方程为 222 ryx 2 2 圆的一般方程圆的一般方程 0 称为圆的一般方程 0 22 FEyDxyxFED4 22 其圆心坐标为 半径为 2 D 2 E FEDr4 2 1 22 当 0 时 方程表示一个点 FED4 22 2 D 2 E 当 0 时 方程不表示任何图形 FED4 22 3 3 圆的参数方程圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系 为参数 222 ryx cos sin xr yr 为参数 222 rbyax cos sin xar ybr 五 椭圆及其标准方程 1 椭圆的定义 椭圆的定义中 平面内动点与两定点 的距离的和 1 F 2 F 5 大于 这个条件不可忽视 若这个距离之和小于 则这样的点不存 1 F 2 F 1 F 2 F 在 若距离之和等于 则动点的轨迹是线段 1 F 2 F 1 F 2 F 2 椭圆的标准方程 0 0 1 2 2 2 2 b y a x ab1 2 2 2 2 b x a y ab 3 椭圆的标准方程判别方法 判别焦点在哪个轴只要看分母的大小 如果 项的分母大于项的分母 则椭圆的焦点在 x 轴上 反之 焦点在 y 轴上 2 x 2 y 4 求椭圆的标准方程的方法 正确判断焦点的位置 设出标准方程 后 运用待定系数法求解 六 椭圆的简单几何性质 1 椭圆的几何性质 设椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 b y a x ab 范围 a x a b x b 所以椭圆位于直线 x 和 y 所围成a b 的矩形里 对称性 分别关于 x 轴 y 轴成轴对称 关于原点中心对称 椭圆的对 称中心叫做椭圆的中心 顶点 有四个 a 0 a 0 0 b 0 b 1 A 2 A 1 B 2 B 线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别等于 2a 和 1 A 2 A 1 B 2 B 2b a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 所以椭圆和它的对称轴有四 个交点 称为椭圆的顶点 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率 它的值表示 a c e 椭圆的扁平程度 0 e 1 e 越接近于 1 时 椭圆越扁 反之 e 越接近于 0 时 椭圆就越接近于圆 2 椭圆的第二定义 定义 平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是 常数 e 1 时 这个动点的轨迹是椭圆 a c e 6 准线 根据椭圆的对称性 0 的准线有两条 它1 2 2 2 2 b y a x ab 们的方程为 对于椭圆 0 的准线方程 只要把 c a x 2 1 2 2 2 2 b x a y ab x 换成 y 就可以了 即 c a y 2 3 椭圆的焦半径 由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半 径 设 c 0 c 0 分别为椭圆 0 的左 1 F 2 F1 2 2 2 2 b y a x ab 右两焦点 M x y 是椭圆上任一点 则两条焦半径长分别为 exaMF 1 exaMF 2 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便 椭圆的四个主要元素 a b c e 中有 两个关系 因此确 2 a 2 b 2 c a c e 定椭圆的标准方程只需两个独立条件 七 椭圆的参数方程 椭圆 0 的参数方程为 为参数 1 2 2 2 2 b y a x ab cos sin xa yb 说明 这里参数 叫做椭圆的离心角 椭圆上点 P 的离心角 与直线 OP 的倾斜角 不同 tantan a b 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式1 2 2 2 2 b y a x 相比较而得到 所以椭圆的参数方程的实质是三角代换 1sincos 22 八 双曲线及其标准方程 1 双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常 1 F 2 F 数 2a 小于 的动点的轨迹叫做双曲线 在这个定义中 要注意条 1 F 2 FM 7 件 2a 这一条件可以用 三角形的两边之差小于第三边 加以理解 1 F 2 F 若 2a 则动点的轨迹是两条射线 若 2a 则无轨迹 1 F 2 F 1 F 2 F 若 时 动点的轨迹仅为双曲线的一个分支 又若 1 MF 2 MFM 1 MF 时 轨迹为双曲线的另一支 而双曲线是由两个分支组成的 故在定义中 2 MF 应为 差的绝对值 2 双曲线的标准方程 和 a 0 b 0 这里1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 其中 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与椭圆 222 acb 1 F 2 F 中的异同 3 双曲线的标准方程判别方法是 如果项的系数是正数 则焦点在 x 轴 2 x 上 如果项的系数是正数 则焦点在 y 轴上 对于双曲线 a 不一定大于 b 2 y 因此不能像椭圆那样 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 4 求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方程后 运用待定系数法求解 九 双曲线的简单几何性质 1 双曲线的实轴长为 2a 虚轴长为 2b 离心率 1 离心1 2 2 2 2 b y a x a c e 率 e 越大 双曲线的开口越大 2 双曲线的渐近线方程为或表示为 若已1 2 2 2 2 b y a x x a b y 0 2 2 2 2 b y a x 知双曲线的渐近线方程是 即 那么双曲线的方程具有以x n m y 0 nymx 下形式 其中 k 是一个不为零的常数 kynxm 2222 3 双曲线的第二定义 平面内到定点 焦点 与到定直线 准线 距离的 比是一个大于 1 的常数 离心率 的点的轨迹叫做双曲线 对于双曲线 8 它的焦点坐标是 c 0 和 c 0 与它们对应的准线方程分1 2 2 2 2 b y a x 别是和 c a x 2 c a x 2 在双曲线中 a b c e 四个元素间有与的关系 与椭 a c e 222 bac 圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件 十 抛物线的标准方程和几何性质 1 抛物线的定义 平面内到一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等 的点的轨迹叫抛物线 这个定点 F 叫抛物线的焦点 这条定直线 l 叫抛物线的 准线 需强调的是 点 F 不在直线 l 上 否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线 而不是抛物线 2 抛物线的方程有四种类型 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 对于以上四种方程 应注意掌握它们的规律 曲线的对称轴是哪个轴 方 程中的该项即为一次项 一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的 正方向 一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向 3 抛物线的几何性质 以标准方程 y2 2px 为例 1 范围 x 0 2 对称轴 对称轴为 y 0 由方程和图像均可以看出 3 顶点 O 0 0 注 抛物线亦叫无心圆锥曲线 因为无中心 9 4 离心率 e 1 由于 e 是常数 所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的 5 准线方程 2 p x 6 焦半径公式 抛物线上一点 P x1 y1 F 为抛物线的焦点 对于 四种抛物线的焦半径公式分别为 p 0 22 11 22 11 2 2 22 2 2 22 pp ypx PFxypx PFx pp xpyPFyxpyPFy 7 焦点弦长公式 对于过抛物线焦点的弦长 可以用焦半径公式推导 出弦长公式 设过抛物线 y2 2px p O 的焦点 F 的弦为 AB A x1 y1 B x2 y2 AB 的倾斜角为 则有 AB x x p 12 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法 对于其它的弦 只能用 弦长公 式 来求 8 直线与抛物线的关系 直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方 程 x bx c 0 当 a 0 时 两者的位置关系的判定和椭圆 双曲线相同 用 2 判别式法即可 但如果 a 0 则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直 线 此时 直线和抛物线相交 但只有一个公共点 十一 轨迹方程 10 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形或轨迹 十二 注意事项 1 直线的斜率是一个非常重要的概念 斜率k反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度 当斜率k存在时 直线方程通常用点斜式或斜截式表示 当斜 率不存在时 直线方程为 x a a R R 因此 利用直线的点斜式或斜截式方程 解题时 斜率 k 存在与否 要分别考虑 直线的截距式是两点式的特例 a b 分别是直线在 x 轴 y 轴上的截距 因为 a 0 b 0 所以当直线平行于 x 轴 平行于 y 轴或直线经过原点 不能 用截距式求出它的方程 而应选择其它形式求解 求解直线方程的最后结果 如无特别强调 都应写成一般式 当直线或的斜率不存在时 可以通过画图容易判定两条直线是否平 1 l 2 l 行与垂直 在处理有关圆的问题 除了合理选择圆的方程 还要注意圆的对称性等 几何性质的运用 这样可以简化计算 2 用待定系数法求椭圆的标准方程时 要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴 上 还是两种都存在 注意椭圆定义 性质的运用 熟练地进行 a b c e 间的互求 并能 根据所给的方程画出椭圆 求双曲线的标准方程 应注意两个问题 正确判断焦点的位置 设出标准方程后 运用待定系数法求解 双曲线的渐近线方程为或表示为 若已1 2 2 2 2 b y a x x a b y 0 2 2 2 2 b y a x 知双曲线的渐近线方程是 即 那么双曲线的方程具有以x n m y 0 nymx 11 下形式 其中 k 是一个不为零的常数 kynxm 2222 双曲线的标准方程有两个和 a 0 b 0 这1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 里 其中 2c 要注意这里的 a b c 及它们之间的关系与 222 acb 1 F 2 F 椭圆中的异同 求抛物线的标准方程 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再 求抛物线的标准方程 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再由条件 确定参数 p 的值 同时 应明确抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者 相依并存 知道其中抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中一个 就可以求出其他两个 2010 年高考题例 2010 湖南文数 湖南文数 5 设抛物线 2 8yx 上一点 P 到 y 轴的距离是 4 则点 P 到该抛物线焦 点的距离是 A 4 B 6 C 8 D 12 2010 浙江理数 浙江理数 8 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 若 在双曲线右支上存在点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实 轴长 则该双曲线的渐近线方程为 A 340 xy B 350 xy C 430 xy D 540 xy 解析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系 得出 a 与 b 之间的等量关系 可知答案选 C 本题主要考察三角与双曲线的相关知识点 突出了对计算能力和综合运用 知识能力的考察 属中档题 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦 点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两点 若3AFFB 则k 12 A 1 B 2 C 3 D 2 答案 B 命题意图 本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB1垂直于 l A1 B 为垂足 过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E 由第二定义得 由 得 即 k 故选 B 20102010 陕西文数 陕西文数 9 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则 p的值为 C A 1 2 B 1 C 2 D 4 解析 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一 抛物线y2 2px p 0 的准线方程为 2 p x 因为抛物线y2 2px p 0 的准线 与圆 x 3 2 y2 16 相切 所以2 4 2 3 p p 法二 作图可知 抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切与点 1 0 所以2 1 2 p p 20102010 辽宁文数 辽宁文数 9 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线FB与 该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 解析 选 D 不妨设双曲线的焦点在x轴上 设其方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 F cBb 一条渐近线斜率为 b a 直线FB的斜率为 b c 1 bb ac 2 bac 13 22 0caac 解得 51 2 c e a 20102010 辽宁文数 辽宁文数 7 设抛物线 2 8yx 的焦点为F 准线为l P为抛物线上一点 PAl A为垂足 如果直线AF斜率为3 那么PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 解析 选 B 利用抛物线定义 易证PAF 为正三角形 则 4 8 sin30 PF 2010 辽宁理数 辽宁理数 9 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐 近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的焦点 虚轴 渐近线 离心率 考查了两条直线 垂直的条件 考查了方程思想 解析 设双曲线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则 F c 0 B 0 b 直线 FB bx cy bc 0 与渐近线 y b x a 垂直 所以1 b b c a A 即 b2 ac 所以 c2 a2 ac 即 e2 e 1 0 所以 15 2 e 或 15 2 e 舍去 2010 辽宁理数 辽宁理数 7 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 为抛物线上一点 PA l A 为 垂足 如果直线 AF 的斜率为 3 那么 PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 答案 B 命题立意 本题考查了抛物线的定义 抛物线的焦点与准线 直线与抛物线的位置关系 考查了等价转化的思想 解析 抛物线的焦点 F 2 0 直线 AF 的方程为3 2 yx 所以点 2 4 3 A 6 4 3 P 从而 PF 6 2 8 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 12 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 3 2 过右 焦点 F 且斜率为 k k 0 的直线于 C 相交于 A B 两点 若3AFFB 则 k A 1 B 2 C 3 D 2 14 解析解析 B B 1122 A x yB xy 3AFFB 12 3yy 3 2 e 设 设 2 3at ct b t 222 440 xyt 直线 直线 ABAB 方程为方程为 3xsyt 代入消去 代入消去 x 222 4 2 30systyt 2 1212 22 2 3 44 stt yyy y ss 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 解得 解得 2 1 2 s 2k 2010 浙江文数 浙江文数 10 设 O 为坐标原点 1 F 2 F是双曲线 22 22 xy 1 ab a 0 b 0 的 焦点 若在双曲线上存在点 P 满足 1 FP 2 F 60 OP 7a 则该双曲线的渐近线 方程为 A x 3y 0 B 3x y 0 C x 2y 0 D 2x y 0 解析 选 D 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 2010 重庆理数 重庆理数 10 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 2010 山东文数 山东文数 9 已知抛物线 2 2 0 ypx p 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物 线与A B两点 若线段AB的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 A 1x B 1x C 2x D 2x 答案 B 2010 四川理数 四川理数 9 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交点 为 A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 15 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 20102010 天津理数 天津理数 5 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 y 3x 它的一个焦点在抛物线 2 24yx 的准线上 则双曲线的方程为 A 22 1 36108 xy B 22 1 927 xy C 22 1 10836 xy D 22 1 279 xy 答案 B 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程 属于容易题 依题意知 22 222 3 69 27 b a cab ca b 所以双曲线的方程为 22 1 927 xy 温馨提示 选择 填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质 这 部分内容也是高考的热点内容之一 在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现 20102010 广东文数 广东文数 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的 离心率是 16 A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 20102010 福建文数 福建文数 11 若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点 点 P 为椭 圆上的任意一点 则OP FP A的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 00 xy 则有 22 00 1 43 xy 解得 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 00 1 FPxy 00 OPxy 所以 2 000 1 OP FPx xy 00 1 OP FPx x 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x 因为 0 22x 所以当 0 2x 时 OP FP 取得最大值 2 2 236 4 选 C 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量 的数量积的坐标运算 二次函数 的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算 能力 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 8 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 P 在 C 上 1 FP 2 F 0 60 则 12 PFPF A A 2 B 4 C 6 D 8 8 B 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数学思 想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 17 cos 1 FP 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 12 PFPF A4 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 12 PFPF A4 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 9 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点P在 C 上 1 FP 2 F 0 60 则P到x轴的距离为 A 3 2 B 6 2 C 3 D 6 2010 四川文数 四川文数 10 椭圆 22 22 10 xy a ab b 的右焦点为 F 其右准线与x轴 的交点为A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值 范围是 A 0 2 2 B 0 1 2 C 21 1 D 1 2 1 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 18 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 2010 四川文数 四川文数 3 抛物线 2 8yx 的焦点到准线的距离是 A 1 B 2 C 4 D 8 解析 由 y2 2px 8x 知 p 4 又交点到准线的距离就是 p 答案 C 2010 湖北文数 湖北文数 9 若直线yxb 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围 是 A 1 2 2 12 2 B 12 3 C 1 12 2 D 1 2 2 3 20102010 山东理数 山东理数 7 由曲线 y 2 x y 3 x围成的封闭图形面积为 A 1 12 B 1 4 C 1 3 D 7 12 答案 A 解析 由题意得 所求封闭图形的面积为 123 0 x x dx 111 1 1 3412 故选 A 19 命题意图 本题考查定积分的基础知识 由定积分求曲线围成封闭图形的面积 2010 安徽理数 5 双曲线方程为 22 21xy 则它的右焦点坐标为 A 2 0 2 B 5 0 2 C 6 0 2 D 3 0 5 C 解析 双曲线的 22 1 1 2 ab 2 3 2 c 6 2 c 所以右焦点为 6 0 2 误区警示 本题考查双曲线的交点 把双曲线方程先转化为标准方程 然后利用 222 cab 求出 c 即可得出交点坐标 但因方程不是标准形式 很多学生会误认为 2 1b 或 2 2b 从而得出错误结论 2010 湖北理数 9 若直线 y x b 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围是 A 1 12 2 B 1 2 2 12 2 C 1 2 2 3 D 12 3 9 答案 C 解析 曲线方程可化简为 22 2 3 4 13 xyy 即表示圆心为 2 3 半径 为 2 的半圆 依据数形结合 当直线yxb 与此半圆相切时须满足圆心 2 3 到直线 y x b 距离等于 2 解得12 212 2bb 或 因为是下半 圆故可得12 2b 舍 当直线过 0 3 时 解得 b 3 故 12 23 b 所以 C 正确 20102010 福建理数 福建理数 20 A B C D 答案 C 解析 经分析容易得出 正确 故选 C 命题意图 本题属新题型 考查函数的相关知识 20102010 福建理数 福建理数 7 若点 O 和点 2 0 F 分别是双曲线 2 2 2 1 a 0 a x y 的中心和左焦 点 点 P 为双曲线右支上的任意一点 则OP FP 的取值范围为 A 3 2 3 B 32 3 C 7 4 D 7 4 答案 B 解析 因为 2 0 F 是已知双曲线的左焦点 所以 2 14a 即 2 3a 所以双曲线 方程为 2 2 1 3 x y 设点 P 00 xy 则有 2 2 0 00 1 3 3 x yx 解得 2 2 0 00 1 3 3 x yx 因为 00 2 FPxy 00 OPxy 所以 2 000 2 OP FPx xy 00 2 x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x 此二次函数对应的抛 物线的对称轴为 0 3 4 x 因为 0 3x 所以当 0 3x 时 OP FP 取得最小值 4 32 31 3 32 3 故OP FP 的取值范围是 32 3 选 B 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线方程 考查平面向量的数量积的坐标运算 二 次函数的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 21 20102010 福建理数 福建理数 2 以抛物线 2 4yx 的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 A 22 x y 2x 0 B 22 x y x 0 C 22 x y x 0 D 22 x y 2x 0 答案 D 解析 因为已知抛物线的焦点坐标为 1 0 即所求圆的圆心 又圆过原点 所 以圆的半径为r 1 故所求圆的方程为 22 x 1 y 1 即 22 x 2x y 0 选 D 命题意图 本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法 属基础题 范例分析范例分析 例例 1 求与直线 3x 4y 12 0 平行 且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的 直线 l 的方程 分析分析 满足两个条件才能确定一条直线 一般地 求直线方程有两个解法 即用其中一个条件列出含待定系数的方程 再用另一个条件求出此参数 解法一解法一 先用 平行 这个条件设出 l 的方程为 3x 4y m 0 再用 面积 条件去求 m 直线 l 交 x 轴于 交 y 轴于由 0 3 m A 4 0 m B 24 432 1 mm 得 代入 得所求直线的方程为 24 m02443 yx 解法二解法二 先用面积这个条件列出 l 的方程 设 l 在 x 轴上截距离 a 在 y 轴 上截距 b 则有 因为 l 的倾角为钝角 所以 a b 同号 ab ab l 的24 2 1 ab 截距式为 即 48x a2y 48a 0 又该直线与 3x 4y 2 0 平行 1 48 a y a x 代入 得所求直线 l 的方程为 2 48 43 48 2 aa 8 a02443 yx 说明说明 与直线 Ax By C 0 平行的直线可写成 Ax By C1 0 的形式 与 Ax By C 0 垂直的直线的方程可表示为 Bx Ay C2 0 的形式 例例 2 若直线 mx y 2 0 与线段 AB 有交点 其中 A 2 3 B 3 2 求实 数 m 的取值范围 解解 直线 mx y 2 0 过一定点 C 0 2 直线 o x y A B C 0 2 22 x 1 1 O 5 3 4 2 1 6 y 3x 5y 30 0 x 3y 4 0 x 2x y 0 5423 0 2 C A l l 6 l B 1 mx y 2 0 实际上表示的是过定点 0 2 的直线系 因为直线与线段 AB 有交点 则直线只能落在 ABC 的内部 设 BC CA 这两条直线的斜率分别为 k1 k2 则由斜率的定义可知 直线 mx y 2 0 的斜率 k 应满足 k k1或 k k2 A 2 3 B 3 2 2 5 3 4 21 kk m 或 m 即 m 或 m 3 4 2 5 3 4 2 5 说明说明 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题 这里要清楚直线 mx y 2 0 的斜率 m 应为倾角的正切 而当倾角在 0 90 或 90 180 内 角的正切函数都是单调递增的 因此当直线在 ACB 内部变化时 k 应大于或 等于 kBC 或者 k 小于或等于 kAC 当 A B 两点的坐标变化时 也要能求出 m 的范围 例例 3 3 已知 x y 满足约束条件 x 1 x 3y 4 3x 5y 30 求目标函数 z 2x y 的最大值和最小值 解 解 根据 x y 满足的约束条件作出可行 域 即如图所示的阴影部分 包括边界 作直线 2x y 0 再作一组平行于的直线 0 l 0 l 2x y t t R R l 可知 当 在的右下方时 直线 上的点 x y 满足 2x y 0 即 t 0 而l 0 ll 且直线 往右平移时 t 随之增大 当直线 平移至的位置时 直线经过可行ll 1 l 域上的点 B 此时所对应的 t 最大 当 在的左上方时 直线 上的点l 0 ll 23 6x 7y 0 7x 8y 0 6 2 4 O 264 A 8 x y 11 10 8 12 y 1 x 10 10 B l 12 y 5 x l0 x y 满足 2x y 0 即 t 0 而且直线 往左平移时 t 随之减小 当直线l 平移至的位置时 直线经过可行域上的点 C 此时所对应的 t 最小 l 2 l x 3y 4 0 由 解得点 B 的坐标为 5 3 3x 5y 30 0 x 1 由 解得点 C 的坐标为 1 5 27 3x 5y 30 0 所以 2 5 3 7 2 1 最大值 z 最小值 z 5 27 5 17 例例 4 4 某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型 卡车 有 11 名驾驶员 在建筑某段高速公路中 该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务 已知每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次 B 型卡车 7 次 每辆卡车每天的成本费 A 型车 350 元 B 型车 400 元 问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆 公司所花的成本费最低 最低为多少 解 解 设每天派出 A 型车与 B 型车各 x y 辆 并设公司每天的成本为 z 元 由题意 得 x 10 y 5 x y 11 48x 56y 60 x y N N 且 z 350 x 400y x 10 y 5 24 即 x y 11 6x 7y 55 x y N N 作出可行域 作直线 350 x 400y 0 即 7x 8y 0 0 l 作出一组平行直线 7x 8y t 中 t 为参数 经过可行域内的点和原点距离最 近的直线 此直线经过 6x 7y 60 和 y 5 的交点 A 5 由于点 A 的坐标 6 25 不都是整数 而 x y N N 所以可行域内的点 A 5 不是最优解 6 25 为求出最优解 必须进行定量分析 因为 7 8 5 69 2 所以经过可行域内的整点 横坐标和纵坐标 6 25 都是整数的点 且与原点最小的直线是 7x 8y 10 在可行域内满足该方程的整 数解只有 x 10 y 0 所以 10 0 是最优解 即当 通过 B 点时 l z 350 10 400 0 3500 元为最小 答 答 每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车 公司所化的成本费最低为 3500 元 例例 5 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点 AB 2 OT t 0 t 1 以 AB 为直腰作直角梯形 使BBAA 垂直且等于 AT 使垂直且等于AA BB BT 交半圆于 P Q 两点 建立如BA 图所示的直角坐标系 1 写出直线的方程 BA 2 计算出点 P Q 的坐标 3 证明 由点 P 发出的光线 经 AB 反射后 反射光线通过点 Q 解解 1 显然 于是 直线的方程为 tA 1 1 tB 11BA 1 txy 25 2 由方程组 解出 1 1 22 txy yx 10P 2 2 2 1 1 1 2 t t t t Q 3 tt kPT 1 0 01 ttt t t t t t t kQT 1 1 1 1 2 0 1 1 2 2 2 2 2 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知 由点 P 发出的光线经点 T 反射 反射光线通过点 Q 说明 说明 需要注意的是 Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式 有趣吗 例例 6 设 P 是圆 M x 5 2 y 5 2 1 上的动点 它关于 A 9 0 的对称点为 Q 把 P 绕原点依逆时针方向旋转 90 到点 S 求 SQ 的最值 解解 设 P x y 则 Q 18 x y 记 P 点对应的复数为 x yi 则 S 点对应的 复数为 x yi i y xi 即 S y x 22 18 xyyxSQ 22 22 22222 9 9 2 818118182 22363618 yx yxyx xyyxxyyxyx 其中可以看作是点P 到定点B 9 9 的距离 共最大值为 22 9 9 yx 最小值为 则1532 rMB1532 rMB SQ 的最大值为 SQ 的最小值为21062 21062 例例 7 已知 M 轴上的动点 QA QB 分别切xQyx是 1 2 22 M 于 A B 两点 1 如果 求直线 MQ 的方程 3 24 AB 2 求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程 解解 1 由 可得 3 24 AB 26 由射影定理 得 3 1 3 22 1 2 2222 AB MAMP 在 Rt MOQ 中 3 2 MQMQMPMB得 523 2222 MOMQOQ 故 55 aa或 所以直线 AB 方程是 0525205252 yxyx或 2 连接 MB MQ 设由 0 aQyxP 点 M P Q 在一直线上 得 由射影定理得 22 x y a 2 MQMPMB 即 把 及 消去 a 14 2 222 ayx 并注意到 可得2 y 2 16 1 4 7 22 yyx 说明 说明 适时应用平面几何知识 这是快速解答本题的要害所在 例例 8 直线 过抛物线的焦点 且与抛物线相交于 Al 0 2 2 ppxy 两点 1 求证 2211 yxByx和 2 21 4pxx 2 求证 对于抛物线的任意给定的一条弦 CD 直线 l 不是 CD 的垂直平 分线 解解 1 易求得抛物线的焦点 0 2 PF 若 l x 轴 则 l 的方程为 4 2 2 21 P xx P x 显然 若 l 不垂直于 x 轴 可设 代入抛物线方程整理得 2 P xky 4 0 4 2 1 2 21 2 2 2 P xx P x k P Px 则 27 综上可知 2 21 4pxx 2 设 则 CD 的垂直平分线的方程为 dcd p d Dc p c C 且 2 2 22 l 4 22 22 p dc x p dcdc y 假设过 F 则整理得 l 42 22 0 22 p dcp p dcdc 0 2 222 dcpdc0 p 02 222 dcp0 dc 这时的方程为 y 0 从而与抛物线只相交于原点 而 l 与抛物线有 l l pxy2 2 两个不同的交点 因此与 l 不重合 l 不是 CD 的垂直平分线 l 说明 说明 此题是课本题的深化 课本是高考试题的生长点 复习要重视课本 例例 9 已知椭圆 能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一1 34 22 yx 点 M 使它到左准线的距离为它到两焦点 F1 F2距离的等比中项 若能找到 求出该点的坐标 若不能找到 请说明理由 解 解 假设存在满足条件的点 设 M x1 y1 a2 4 b2 3 a 2 c 1 3 b 2 1 e 点 M 到椭圆左准线的 2 1 2 1 22 1121 4 1 4 xxeaexaexaMFMF 距离 4 1 2 1 x c a xd 2 1 2 121 4 4 1 4 xxdrr 或 这与 x1 2 0 相矛盾 满足048325 1 2 1 xx4 1 x 5 12 1 x 条件的点 M 不存在 28 例例 10 已知椭圆中心在原点 焦点在轴上 焦距为 4 离心率为 y 3 2 求椭圆方程 设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M 又点 A 和点 B 在椭圆上 且 M 分有向线段所成的比为 2 求线段 AB 所在直线的方程 AB 解解 设椭圆方程为 由 2c 4 得 c 2 又 1 2 2 2 2 b x a y 3 2 a c 故 a 3 所求的椭圆方程为5 222 cab 22 1 95 yx 若 k 不存在 则 若 k 存在 则设直线 AB 的方程为 y kx 2 2 MB AM 又设 A 221 1 yxByx 由 得 1 95 2 22 yx kxy 02520 59 22 kxxk 12 2 20 95 k xx K 12 2 25 95 xx K 点 M 坐标为 M 0 2 2 2 2211 yxMByxAM 由 得2 MB AM MBAM2 2 2 2 2211 yxyx 代入 得 21 2xx 2 2 20 95 k x k 2 2 2 25 2 95 x k 由 得 2 2 20 2 95 k k 2 25 95k 2 1 3 k 3 3 k 线段 AB 所在直线的方程为 2 3 3 xy 说明说明 有向线段所成的比 线段的定比分点等概念 本身就是解析几何研 究的一类重要问题 向量概念的引入 使这类问题的解决显得简洁而流畅 求 29 解这类问题可以用定比分点公式 也可以直接用有向线段的比解题 另外 向量的长度 点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系 向量 与解析几何的结合 为解决这些问题开辟了新的解题途径 例例 11 已知直线 l 与椭圆有且仅有一个交点 Q 且与 0 1 2 2 2 2 ba b y a x x 轴 y 轴分别交于 R S 求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程 解 解 从直线 所处的位置 设出直线 的方程 ll 由已知 直线 l 不过椭圆的四个顶点 所以设直线 l 的方程为 0 kmkxy 代入椭圆方程 得 222222 bayaxb 2 22222222 bamkmxxkaxb 化简后 得关于的一元二次方程x 0 2 222222222 bamamxkaxbka 于是其判别式 4 4 2 222222222222222 mbkababamabkamka 由已知 得 0 即 2222 mbka 在直线方程中 分别令 y 0 x 0 求得mkxy 0 0 mS k m R 令顶点 P 的坐标为 x y 由已知 得 ym x y k my k m x 解得 代入 式并整理 得 即为所求顶点 P 的轨迹方程 1 2 2 2