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5 3留数在定积分计算中的应用 一 形如的积分 二 形如的积分 三 形如的积分 一 形如的积分 思想方法 封闭路线的积分 围道积分法 把定积分化为一个复变函数沿某条 两个重要工作 1 积分区域的转化 2 被积函数的转化 从而积分化为沿正向单位圆周的积分 z的有理函数 且在单位圆周上分母不为零 满足留数定理的条件 包围在单位圆周内的诸孤立奇点 例1 解 故积分有意义 因此 例2计算 解 令 极点为 在单位圆内 在单位圆外 二 形如的积分 若有理函数R x 的分母至少比分子高两次 并且分母在实轴上无孤立奇点 一般设 分析 可先讨论 最后令 即可 2 积分区域的转化 取一条连接区间两端的按段光滑曲线 使与区间 一起构成一条封闭曲线 并使R z 在其内部除有 限孤立奇点外处处解析 此法常称为 围道积分法 1 被积函数的转化 当z在实轴上的区间内变动时 R z R x 可取f z R z 这里可补线 以原点为中心 R为半径 的在上半平面的半圆周 内部 除去有限孤立奇点 处处解析 取R适当大 使R z 所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内 根据留数定理得 R R x zn y CR 即 从而 例3计算积分 解 2020 2 6 17 例4计算积分 解 在上半平面有两个单极点 三 形如的积分 积分存在要求 R x 是x的有理函数而分母的次 数至少比分子的次数高一次 并且R x 在实轴上 无孤立奇点 zn 同前一类型 补线 由留数定理 就可以求出积分 则 约当引理 证 得 由约当不等式 如右图 从而 根据约当引理 及以上的讨论得 将实虚部分开 可得积分 例5计算积分 解 在上半平面只有二级极点 又 例6计算积分 解 因函数 在实轴上有一级极点 若被积函数中的R z 在实轴上有孤立奇点 则 小结与思考 本课应用 围道积分法 计算了三类实积分 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的
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