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第五章 矩阵对角化问题 1 1 方阵对角化的概念 寻找相似变换矩阵 使 这就称为把方阵对角化 说明 如果能找到可逆矩阵 使 则可对角化 如果找不到这样可逆矩阵 则不可对角化 2 2 定理的引入 设有可逆矩阵 使为对角阵 下面回答能否由确定 3 因而由和确定 也就是由确定 由于特征向量不是惟一的 所以矩阵也不是惟一确定的 4 反过来 是依次与之对应的特征向量 则 设矩阵的个特征值为 当可逆 即线性无关时 有 这表明方阵能否对角化完全可用的特征值和特征向量来刻画 5 由定理证明可知 如果矩阵A相似于对角矩阵 设 则矩阵P的列是A的线性无关的特征向量 对角矩阵的对角元素是P中列向量对应的矩阵A的特征值 若则的主对角元素即为的特征值 6 3 方阵可对角化的充要条件 定理4阶矩阵与对角阵相似 即能对角化 的充要条件是有个线性无关的特征向量 推论 若阶矩阵的个特征值互不相等 则与对角阵相似 逆命题不一定成立 说明 当的特征方程有重根时 不一定有个线性无关的特征向量 从而不一定能对角化 但是 有重根时 也有可能能对角化 所以 特征值互不相等只是与对角阵相似的充分条件 7 下述定理可将关于可对角化条件更精细地刻画出来 8 例判断下列实矩阵能否化为对角阵 解 得 9 得基础解系 当时 齐次线性方程组为 当时 齐次线性方程组为 10 2020 2 6 11 得基础解系 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量 所以A可以对角化 12 得基础解系 所以不能化为对角矩阵 当时 齐次线性方程组为 13 例设 问为何值时 矩阵能对角化 解 析 此例是定理的应用 定理表明 阶矩阵可对角化 有个线性无关特征向量 由此可推得另一个充要条件 对的每个不同的特征值 的重数 对应于的线性无关特征向量的个数 14 所以的特征值为1 二重 对应于单根 可求得线性无关的特征向量1个 对应于二重特征值1 若能对角化 则 15 要使 则 即 说明 解答此题的关键是将取值条件 可对角化 转化为 二重特征值1应满足 从而求得 矩阵能否对角化 取决于它的线性无关特征向量的个数 而与的秩 的行列式都无关 16 四 矩阵对角化的实现的步骤 若矩阵A可以对角化 3 用 2 中求得的特征向量形成矩阵 则有
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