Dup(1)第3章 质点动力学---动量.ppt

1 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 2 3 1力的时间累积效应 动量守恒定律 1 平动情形下力对物体作用的时间累积效应 角动量 动量矩 冲量矩 角动量定理 角动量守恒定律 2 转动情形下力对物体作用的时间累积效应 动量 冲量 动量定理 动量守恒定律 质心 内容结构 3 一 质点动量定理 1 动量 momentum 2 冲量 impulse 冲量 力对时间的累积矢量 单位 N s 积分形式 4 说明 冲量是矢量 大小 方向 一般与作用力方向不同运算法则 矢量合成法则独立性 每个力对物体产生的冲量 与是否存在别的力无关 或 多个力对同一物体产生的冲量 等于每一个力单独对物体产生的冲量的矢量和 冲量与力的方向 直角坐标系中 5 质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量 这一结论称为质点动量定理 3 动量定理 说明 力在时间上的累积是动量改变的原因 适用条件 动量定理建立在牛顿第二定律基础上 牛顿定律的适用条件 惯性参考系 也是动量定理的适用条件 6 学习要求 要学会计算变力的冲量 用平均冲力的冲量来代替变力的冲量 对于研究打桩 碰撞 打击 爆破等问题 物体之间的作用时间很短 作用力很大 是变力 且变化很快 冲力 变力的冲量 7 动量定理的矢量性 直角坐标系表示 4 单质点的动量守恒定律 当单质点所受合外力为零时 其动量为守恒量 动量守恒是一个普适的守恒定律 合外力的冲量方向和质点动量增量的方向一致 但不一定和质点初动量或末动量方向相同 8 5 动量定理的应用 可运用动量定理求解的问题特征 不考虑中间过程或中间过程很繁杂 而物体系状态量易求 或由物体系的状态量就可以求解的问题 动量定理应用的常用近似方法 A 平均冲力 由于碰撞问题中作用力的时间一般很短暂 因而 在没有特别注明情况下 一般将碰撞过程中随时间变化的冲力视为平均力 即平均冲力 B 忽略较小外力 一般情况下 冲力的大小比物体的重力 摩擦力等外力大一到二个数量级 因而 它们常可被忽略 9 解由动量定理 另解 10 例题3 2斜面 h 3m l 5m 摩擦系数 0 3 m由静止开始下滑 求在水平面上滑行的距离S 取g 10m s2 解1 斜面上 mgsin mgcos ma a gsin gcos 6m s y x 3 72m s 2 11 3 在水平面上滑行 2 3 72m s a g 2 3m 0 3 取g 10m s2 12 例题3 3m经时间t 以不变的速率 越过一水平光滑轨道60 的弯角 求轨道作用于质点的平均冲力的大小 解平均冲力可视为恒力 由动量定理有 三角形法 单位矢量法 平均冲力 13 于是平均冲力的大小为 1 三角形法 14 建立直角坐标系 如图 把每个矢量用单位矢量表示出来 2 单位矢量法 15 例题3 4煤粉自高h 0 8m高自由落下 流量为qm 40kg s 传送带A的速度 3m s 求卸煤的过程中 煤粉对传送带A的平均作用力 不计相对传送带静止的煤粉质量 取g 10m s2 取在时间dt内落下的煤粉dm qmdt为研究对象 由动量定理有 解煤粉下落h时的速度 16 1 单位矢量法 根据牛顿第三定律 煤粉对传送带A的平均作用力与此力大小相等而方向相反 3 o 4 53 1o 17 由图可求得煤粉对传送带A的平均作用力的大小 2 三角形法 3 o 4 53 1o 18 例题3 5均匀柔绳铅直地悬挂 下端刚好触到水平桌面 如果把绳的上端放开 试证明 在绳下落的过程中 任意时刻作用于桌面的压力 等于已落到桌面上的绳重量的三倍 此时落在桌面上的绳m h受力 证设绳的线密度为 任意时刻t 下落h时 绳的速度为 重力mg 桌面的支持力N 落下绳的冲力F 由右下图可知 N mg F 19 取时间t t dt内落下的绳dm dt为研究对象 由动量定理得F dt dm 2dt所以F 2 N mg F 所以F 2 2gh 2mg 最后得 N mg F 3mg即 作用于桌面的压力是重量的三倍 已知 20 质点系 系统 作为研究对象的质点的集合 内力 系统内各质点间的相互作用力 外力 系统以外的物体对系统内质点的作用力 处理质点系问题的思路是 把质点动量定理应用于质点系中的每一个质点 设系统有n个物体 其 二 质点系动量定理 然后将这些方程相加 就得到用于整个系统的动量定理 21 这就是质点系的动量定理 它表明系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量 式中i 1 2 对所有质点求和 就得 根据牛顿第三定律 22 说明 A 适用条件 惯性系 所有质点相对于同一参考系 B 内力对物体系的总动量改变量没有贡献 但对其中某一质点的动量改变有贡献 C 质点系的动量定理同样具有矢量的独立性 23 当质点系所受的合外力为零时 这一质点系的总动量矢量就保持不变 质点系的动量守恒定律 几点说明 1 一个系统总动量的改变完全由合外力来确定 与内力无关 如果外力比内力小得多 外力对质点系的总动量变化影响甚小 可近似满足动量守恒 内力能引起动量在系统内的物体间传递 而不能改变系统的总动量 三 动量守恒定律 24 2 系统动量守恒的条件是合外力为零 即 由此可见 如果质点系沿某坐标方向所受的合外力为零 则沿此坐标方向的总动量守恒 4 动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系 3 动量守恒表示式是矢量关系式 在实际问题中 常应用其沿坐标轴的分量式 Fx 0 则mi ix 常量Fy 0 则mi iy 常量Fz 0 则mi iz 常量 25 运用动量守恒解决碰撞问题 1 弹性碰撞 碰撞后物体可以完全恢复形变的碰撞 弹性碰撞中动量 能量均守恒 2 非弹性碰撞 碰撞后物体不能完全恢复其形变的碰撞 在非弹性碰撞过程中 动量守恒 但能量不守恒 3 完全非弹性碰撞 碰撞后物体不恢复其形变的碰撞 在完全非弹性碰撞过程中 动量守恒 但能量不守恒 且碰撞后物体结合在一体共同运动 26 例题3 6 恢复系数定义为两物体碰撞后分离速度 v2 v1 与两物体碰撞前接近速度 v10 v20 之比 证明 恢复系数等于恢复过程和压缩过程中的冲量之比I2 I1 恢复系数 其中 v为最大压缩时两球共同的速度根据动量守恒 球2对球1的冲量为 从两球接触瞬时开始到两球达到最大形变时为止 由动量定理 球1对球2的冲量I1为 如图 设质量分别为m1 m2的两个小球 它们的初速度分别为v10 v20 27 上面两式相减 可得 在恢复过程中 对两小球应用动量定理与动量守恒 联立求解上面最后两式 可得 28 例题3 7 如图 在光滑水平桌面上 光滑小球m1的直径为d 以初速度v10运动与另一直径相同的静止小球m2发生碰撞 两小球球心的间距为b 恢复系数为e 求碰撞后两小球的速度各为多少 解 如图 取两小球球心连线方向为x轴 垂直球心连线方向为y轴 建立坐标系 y方向 x方向 其中 由恢复系数的定义 29 于是 两小球各自的速度分别为 m s m s 其中 i j分别代表x y方向的单位矢量 联立求解上面各式可得 30 例题3 8大炮 含炮弹 质量为M 由静止沿光滑固定斜面下滑L距离时 从炮内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹 欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停止 炮弹的初速 o应是多少 解 1 炮车M沿斜面下滑L 匀加速直线运动 2 发炮 车 弹 斜面方向动量守恒 31 例题3 9地面光滑 小车M静止 小物体m以 o滑向车顶 设物体与车顶之间的摩擦系数为 求 1 从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间 2 要物体不滑下车顶 车长至少应为多少 解 M m 水平方向不受外力 故动量守恒 m o M m 式中 是相对静止时的速度 1 对物体m应用动量定理 有 mg t m m o解得 32 m相对地面的加速度 a gm相对地面运动的距离 S1 2 02 2aM相对地面的加速度 a0 mg MM相对地面运动的距离 S2 2 2a0 m o M m 故车的最小长度为 2 要物体不滑下车顶 车长至少应为多少 33 例题3 10 如图 质量为M的四分之一滑槽静止在光滑水平面上 质量为m的滑块自其顶部由静止开始下滑 求 当m滑至滑槽底部时 M移动的距离 解 选择M m为物体系 由于物体系在水平方向不受外力作用 因而动量守恒 两边同时对时间积分 令 34 注意 vx s是滑块相对于地面的水平速度和位移 相对于滑槽的水平位移为 说明 此距离值与弧形槽面是否光滑无关 只要水平面光滑就行 35 例题3 11 如图 A B C三物体质量均为M B C间由一长度为l0的轻绳连接 t 0时 B C距离为0 桌面光滑 求 1 A B运动后 经多长时间C开始运动 2 C刚开始运动时的速度 解 选择A B C为物体系 系统受到的外力有N Mg 由于系统受有合外力 因而系统动量不守恒 36 考虑到动量定理的矢量性和独立性以及合外力为恒力 在水平方向和竖直方向分别应用动量定理 水平方向 竖直方向 合外力作用时间 以及 联立求解得 37 2 C刚开始运动时的速度 C刚开始运动时 三个物体的速度应当相等 此时 相当于物体C与A B两物体组成的系统相碰撞 在物体碰撞时 冲力远大于重力 摩擦力等内力 因此 可以忽略物体A所受的重力 设碰撞前后物体系的速度分别为v V 由动量定理 水平方向 竖直方向 与问题1的分析类似 解此联立方程得 讨论 用动量定理解题时 一个重要的问题是分清楚所研究的物体系对象 如本题容易少分析N 38 1 质心 centerofmass 四 质心质心运动定理 讨论质点系的运动时 引入质量中心 质心 质心位置是质点位置以 质量为权重的平均值 39 质点系的总质量 或 2 质心坐标 40 对连续分布的物体 41 例3 12 计算半径为R的均匀半圆薄片的质心位置 解 如图建立坐标系 因为半圆薄片很薄 可认为厚度z 0 由均匀薄片的对称性 可以判断质心的y方向坐标yc 0设半圆薄片的面质量密度为 取宽度为dx的质量微元 因 质心坐标为 0 42R 0 42 3 质心运动定理 对质心坐标公式两端求时间导数 可得到质心的速度为 在将上式两端对时间求导数 质心运动定理 质点系的总动量 43 质心运动定理 质点系所受合外力 质点系的总质量 质心的加速度 质心运动定理表明 质心的运动规律 就像质点系的全部质量 全部外力都集中在质心上的一个质点的运动一样 1 质心的运动规律完全由合外力确定 与内力无关 2 系统所受合外力为零 这表明 质心原来静止就静止 质心原来运动就作匀速直线运动 44 3 系统所受合外力为零 系统动量守恒 2 2 5火箭飞行原理 自学 质心运动定理 45 例题3 13 如图 质量为50kg的人站在一条质量为200kg 长度l 4m的船的船头上 开始时船静止求 当人走到船尾时 船移动的距离 不记水的阻力 解 设开始时 人的质心坐标为x1 船的质心坐标为x2 则人和船组成的质点系的质心坐标xc为 46 因为船和人组成的质点系的质心坐标保持不变 即xc x c 又因为 联立求解上面两个方程有 d 当人走到船的另一端时 人的质心坐标为x 1 船的质心坐标为x 2 则人和船组成的质点系的质心坐标x c为 47 性质1 如果质点系所受合外力为零 则其总动量守恒 质心系作惯性运动 且为惯性系 反之 如果质点系所受合外力不为零 质心具有加速度 质心系为非惯性系性质2 不论质心系为惯性系还是非惯性系 在质心系中 质点系的总动量总等于零 因此 质心系又称为零动量系 证明2 设在质心系中 质点系各质点的位置矢量为rc 则质心的位置矢量为 4 质心坐标系及其性质 质心坐标系 选择原点固定在质心上 以与质心相同速度作平移 即坐标轴方向无转动 的参考系 48 性质3 不论质心系为惯性系还是非惯性系 质心系中质点系的功能原理 角动量定理以及它们各自对应的守恒定律仍然成立 在非惯性质心系中 惯性力所作的总功以及惯性力对质心的总力矩均为零 性质4 质点系在实验室惯性系中的总动能与质点系相对于质心系的总动能之间满足 质心速度 即 49 在实验室坐标系中观察 质点系的总动能为 如果坐标系K 是质心坐标系 则 代入上式 就证明了性质4的结论 2 2 5火箭飞行原理 自学 证明4 设质心系K 相对于实验室坐标系K的速度为V 质点i相对于实验室坐标系和质心坐标系的速度分别为vi和vi 由伽利略变换可得 50 五 质点的角动量 1 质点的角动量 angularmomentumofaparticle 质点m对惯性系中的固定点O的角动量定义为 单位 kg m2 s 大小 方向 决定的平面 右螺旋 51 质点作匀速率圆周运动时 对圆心的角动量的大小为 方向 圆面不变 L mvR 同一质点的同一运动 其角动量却可以随固 定点的不同而改变 例如 方向变化 方向竖直向上不变 52 2 质点的角动量定理 力矩 由 有 定义力对定点O的力矩 momentofforce 为 力臂 53 于是有 质点的角动量定理 或 积分 质点角动量定理 称冲量矩 力矩对时间的积累作用 积分形式 微分形式 角动量定理 合外力矩的冲量 冲量矩 等于质点角动量的增量 54 质点角动量守恒定律 1 mvrsin const 2 轨道在同一平面内 55 角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一 它不仅适用于宏观体系 也适用于微观体系 而且在高速低速范围均适用 德国天文学家开普勒 1