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分数指数幂 高一数学备课组 复习 在初中 我们学习过的整数指数幂是怎样定义的 a0 a n a0 1 a 0 a n a 0 n N 正整数指数幂的运算性质是 指数的范围扩大到整数集Z之后 am an am n m n Z am n amn m n Z ab n anbn n Z 注意 无论是 还是 都要遵守零指数幂 负整数指数幂的底数不能等于0的规定 am an am n m n N am n amn m n N ab n anbn n N am an am n a 0 m n N 且m n a b n an bn b 0 且n N 一般地 如果一个实数x满足xn a n 1 且n N 那么称x为a的n次实数方根 根式的概念 巩固训练 1 25的平方根是 2 27的三次方根是 3 32的五次方根是 4 0的7次方根是 5 16的四次方根是 6 a6的三次方根是 5 3 2 0 2 a2 思考 通过分析 你能否得到一个一般性的结论 当n是奇数时 实数a的n次方根用符号表示 当n是偶数时 正数a的n次方根用符号 表示 式子叫做根式 其中n叫做根指数 a叫做被开方数 1 正数的奇次方根是一个正数 负数的奇次方根是一个负数 2 正数的偶次方根是两个相反的数 负数的偶次方根没有意义 方根的性质 奇次方根的性质 在实数范围内 正数的奇次方根是一个正数 负数的奇次方根是一个负数 偶次方根的性质 在实数范围内 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数 负数的偶次方根没有意义 0的任何次方根都是0 记作 0 注意 当a 0时 0 所以类似 2的写法是错误的 三组常用公式 根据n次方根的定义 易得到以下三组常用公式 当n为任意正整数时 n a 当n为奇数时 a 当n为偶数时 a 根式的基本性质 a 0 注意 中的a 0十分重要 无此条件则公式不成立 请用文字叙述一下上面的三条性质 求值 2 3 4 5 6b 1 下列说法中正确的是 A 2是16的四次方根 B 正数的n次方根有两个 C a的n次方根就是 D 例2 求下列各式的值 1 2 3 4 5 分数指数幂 从形式上来看 就是说 当根式的被开方式的指数能被根指数整除时 根式可以写成分数指数幂的形式 问题 那么当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时 能不能也写成分数指数幂的形式呢 观察下面的例子 a2 a10 5 a 0 a4 a12 3 a 0 正分数指数幂的意义 我们给出正数的正分数指数幂的定义 a 0 m n N 且n 1 用语言叙述 正数的m n次幂 m n N 且n 1 等于这个正数的m次幂的n次算术根 注意 底数a 0这个条件不可少 若无此条件会引起混乱 例如 1 1 3和 1 2 6应当具有同样的意义 但由分数指数幂的意义可得出不同的结果 1 1 这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义 在把根式化成分数指数幂时 要注意使底数大于0 例如 a 0 若无a 0这个条件时 同时 负数开奇数次方根是有意义的 所以当奇数次根式要化成分数指数幂时 先要把负号移到根号外面去 然后再按规定化成分数指数幂 例如 注意 以后当看到指数是分数时 如果没有特别的说明 底数都表示正数 负分数指数幂的意义 回忆负整数指数幂的意义 a n a 0 n N 正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿 就是 a 0 m n N 且n 1 规定 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 注意 负分数指数幂在有意义的情况下 总表示正数 而不是负数 负号只是出现在指数上 有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后 指数的概念就从整数指数推广到有理数指数 上述关于整数指数幂的运算性质 对于有理指数幂也同样适用 即对任意有理数r s 均有下面的性质 ar as ar s a 0 r s Q ar s ars a 0 r s Q ab r arbr a 0 b 0 r Q 说明 若a 0 p是一个无理数 则ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指数幂都适用 即当指数的范围扩大到实数集R后 幂的运算性质仍然是下述的3条 现在我们已有正整数指数幂 负整数指数幂 零指数幂 正 负分数指数幂的概念 而有理数是由整数 分数组成的 所以我们可以说建立了有理指数幂的概念了 正整数指数幂的运算性质有5条 当指数范围由正整数集扩大到整数集Z后 幂的运算性质可由5条合并简化为3条 当指数范围扩大到有理数集Q以至实数集R后 幂的运算性质仍